Khi xét dao động dọc của thanh thẳng ta coi tiết diện ngang của thanh phẳng và các phần tử của thanh không thực hiện dịch chuyển ngang mà chỉ dịch chuyển theo hướng dọc thanh.. Phương tr
Trang 1Chương III Dao động tuyến tính của hệ có vô số bậc tự do
Hệ có khối lượng phân bố liên tục có vô số bậc tự do (tức là có vô số tần số riêng và dạng dao động riêng)
Khác với hệ hữu hạn bậc tự do phương trình toán học mô tả quá trình dao động là hệ phương trình vi phân thường, ở đây dẫn tới phương trình vi phân đạo hàm riêng Do đó ngoài các điều kiện ban đầu, cần xét đến các điều kiện biên
Ta xét một số hệ liên tục đơn giản thường gặp trong kỹ thuật
Đ.3.1 Dao động dọc của thanh tiết diện không đổi
3.1.1 Phương trình vi phân dao động dọc của thanh
Khi xét dao động dọc của thanh thẳng ta coi tiết diện ngang của thanh phẳng và các phần tử của thanh không thực hiện dịch chuyển ngang mà chỉ dịch chuyển theo hướng dọc thanh
Cho thanh thẳng dài L Chọn trục Ox hướng dọc thanh như hình vẽ (Hình 3-1)
L
U
dx
N
X O
N ∂N
∂x dx
Hình 3-1
U + ∂U
∂x dx
Ký hiệu: ρ là khối lượng riêng của vật liệu thanh; E là Môđun đàn hồi của nó; F là diện tích tiết diện ngang của thanh
Xét phân tố giới hạn bởi hai mặt cắt m, n Gọi U là dịch chuyển dọc của tiết diện ngang bất kỳ m có toạ độ x khi dao động Dịch chuyển này sẽ là hàm của x và t: U = U(x,t)
Khi đó dịch chuyển ở tiết diện lân cận n sẽ bằng: U + dx
x
U
∂
∂ Từ đó độ dãn dài tuyệt đối của
phân tố thanh dx là dx
x
U
∂
∂
; và độ dãn dài tương đối của nó bằng: ε =
x
U
∂
∂ (3-1)
Trang 2Lực dọc tác dụng tại tiết diện ngang m có toạ độ x được tính theo biểu thức:
x
U
∂
∂
(3-2)
EF gọi là độ cứng của thanh khi kéo, nén Lực dọc tác dụng tại tiết diện ngang lân cận
có toạ độ (x + dx) bằng:
x
N
∂
∂
dx
Khối lượng phân tố thanh khảo sát là: ρFdx, nên lực quán tính đặt lên nó là: ưρFdx 22
t
U
∂
∂
áp dụng nguyên lý Đa-lăm-be đối với phân tố thanh, phương trình vi phân chuyển
2
=
∂
∂ ρ
ư
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂ + +
ư
t
U Fdx dx
x
N N N
2
t
U F x
N
∂
∂ ρ
=
∂
∂
(3-3)
Thay (3-2) vào (3-3) nhận được: 2
2 2 2 2
x
U a t
U
∂
∂
=
∂
∂
(3-4)
Trong đó:
ρ
= F
a là tốc độ truyền sóng dọc trong thanh; (3-4) là phương trình dao
động dọc của thanh tiết diện không đổi
3.1.2 Giải phương trình (3-4) bằng phương pháp Furiê
Phương trình (3-4) là phương trình đạo hàm riêng cấp hai gọi là phương trình sóng Hàm U = U(x,t) NR của (3-4) tìm dưới dạng:
U = X(x)T(t) (3-5) Nghĩa là tìm U ở dạng tích hai hàm X(x) chỉ là hàm của x, T(t) chỉ là hàm của t Thay (3-5) vào (3-4) ta có:
T
T X
X a
•
=
′′
2
Vế trái của đẳng thức chỉ phụ thuộc vào x, vế phải chỉ phụ thuộc t Để đẳng thức đúng với mọi x, t thì chúng phải bằng hằng số Ta ký hiệu hằng số này qua: - p2 Do đó:
2 2
2
p T
T
; p X
X
a ′′ =ư =ư
•
Ta có hai phương trình sau:
a
p X
; 0 T p T
2
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
′′
= +
•
(3-6)
Phương trình đầu của (3-6) có nghiệm:
T = Asin(pt + α) (3-7)
Trang 3Nó đặc trưng cho quá trình dao động, ở đó p chưa biết có ý nghĩa như tần số dao
động tự do
Phương trình thứ hai của (3-6) có nghiệm:
x a
p cos D x a
p sin C
Nó xác định dạng riêng của dao động
Phương trình xác định đại lượng chưa biết p được thiết lập khi xét các điều kiện biên gọi là phương trình tần số
Nói chung phương trình này luôn là phương trình siêu việt và có vô số nghiệm pn (n = 1, 2 ) Nghiệm viết ở dạng (3-5) chỉ là một NR của phương trình sóng NTQ của (3-4) nhận được bằng cách hợp các NR:
∑∞
=
=
1 n
n
n(x)T (t) X
Hàm Xn (x) gọi là hàm riêng, mô tả dạng riêng của dao động, nó không phụ thuộc vào
điều kiện đầu và thoả mãn điều kiện trực giao Khi F = const, m ≠ n, ta có:
L
n
m(x).X (x)dx X
0
0 (3-10)
3.1.3 Các điều kiện biên của thanh, phương trình tần số
2.1.3a Thanh có hai đầu tự do (Hình 3-2)
Hình 3-2
L
x
X
Trong trường hợp này lực dọc ở hai đầu
thanh bằng không, nên độ dãn dài tương đối bằng
không
Ta có:
x
U
∂
∂
= 0 khi x = 0 và x = L
Hay: X′T=0 khi x = 0 và x = L
Các điều kiện trên được thực hiện nếu:
0
0
=
= x
dx
dX
và =0
=L x
dx
dX
(3-11)
Từ (3-8) với C và D bất kỳ, nên điều kiện đầu của (3-11) được thoả mãn khi đặt C = 0;
điều kiện thứ hai được thoả mãn nếu: =0
a
pL sin (3-12)
(3-12) gọi là phương trình tần số Nó cho phép xác định tần số riêng của dao động dọc thanh với các mút tự do
Ta có: = nπ
a
L
; n = 1, 2, 3 (3-13)
Trang 4Khi n = 1, ta có tần số dao động cơ bản:
ρ
π
=
π
L L
a
p1 (3-14)
Chu kỳ tương ứng bằng:
E
L p
T = π = ρ
2 2
1
Như vậy, ta có vô số tần số dao động riêng, mỗi tần số tương ứng với một dạng dao
động riêng xác định bởi hàm riêng Xn(x) =
L
x n cos π
Vì thế, NTQ dao động tự do của thanh
với hai đầu mút tự do được biểu diễn ở dạng:
L
x n cos )
t ( T ) x ( X
1 n 1
n
n
=
∞
=
⎠
⎞
⎜
⎝
π
=∑∞
at n sin b L
at n cos a L
x n cos
n 1
(3-16)
Các hằng số an, bn có thể chọn sao cho thoả mãn điều kiện đầu Giả sử tại t = 0 thì
) x ( f U );
x
(
U
t t
1 0 0
=
=
=
•
=
Thay điều kiện này vào (3-16) ta được:
L
x n cos a ) x ( n n
π
=∑∞
=1
;
L
x n cos L
a n b ) x ( f
n n
π π
=∑∞
=1 1
L
x n cos ) x ( L a
L
0
2
π
L
x n cos ) x ( f a n
b
0 1
2
(3-17)
3.1.3b Thanh một đầu ngàm chặt, một đầu tự do (Hình 3-3)
Giả sử thanh bị ngàm ở đầu x = 0, đầu còn
lại x = L tự do Điều kiện biên có dạng:
Hình 3-3
L
x
X
0 =
= x
∂
∂
=L x
x U
Hay: XT = 0 khi x = 0 và X′T=0 khi x = L
Điều này được thực hiện nếu:
0 =
= x
X ; ′ =L =0
x
Tương tự cách lý giải như 3.1.3a, để thoả mãn (3-18) phải có D = 0 và ta suy ra
phương trình tần số: cos
a
pL = 0 (3-19)
Giải ra ta có: pn =
L
a n 2 π
; n = 1, 3, 5 (3-20)
Trang 5Với n = 1 thì: p1 =
ρ
π
=
L L
a 2
NTQ dao động dọc của thanh trong trường hợp này có dạng:
⎠
⎞
⎜
⎝
π
at n sin b L
at n cos a L
x n sin
,
(3-22)
Hằng số an, bn cũng được xác định bằng điều kiện đầu tại t = 0 Giả sử thanh được kéo bởi lực dọc P tại mút tự do Tại t = 0 lập tức cắt bỏ lực P và thanh còn tự do Ký hiệu ε là độ dãn dài tương đối ban đầu thì ε = P/EF Ta viết được điều kiện đầu ở dạng:
0
=
=
• t
U
Điều kiện này cho ta xác định an và bn Khi đó ta có:
1
2
π
ε
n
L a
=
ư
π π
ư π
ε
=
, n
n
L
at n cos L
x n sin n
) ( L
U
5 1
2 1
2 2
2 2
1 8
(3-23)
Tóm lại, từ các điều kiện biên ta sẽ xác định được các tần số riêng và các hàm riêng Bảng 4: Ta thống kê một số dạng cơ bản các điều kiện biên của bài toán khi xét dao
động dọc của thanh
Bảng 4: Các điều kiện biên của vài dạng liên kết khi xét dao động dọc của thanh
Sơ đồ Dạng liên kết Điều kiện biên
X
O
0 =
∂
∂ x
) t ( U EF
X
N
x
) t ( U
∂
∂ 0
X
O
C
X
C O
Liên kết đàn hồi tuyến tính
CU x
) t ( U
∂
∂ 0
CU x
) t L ( U
∂
∂
X
m
O
X
O
m
Đầu thanh gắn khối lượng m
2
2 0
t
U m x
) t ( U EF
∂
∂
=
∂
∂
2 2
t
U m x
) t L ( U EF
∂
∂
ư
=
∂
∂
Trang 6Đ.3.2 Dao động xoắn của trục tròn tiết diện không đổi
3.2.1 Phương trình cơ bản và nghiệm của nó
Về mặt toán học việc thiết lập phương trình vi phân dao động xoắn của trục tròn giống như khảo sát dao động dọc của thanh
Cho trục tròn dài L Chọn trục Ox dọc trục như hình vẽ (Hình 3-4) Gọi ρ là mật độ khối lượng của vật liệu trục; G là môđun đàn hồi trượt của nó; JP là mômen quán tính độc cực của tiết diện ngang trục; khi đó: GJP = C là độ cứng tiết diện ngang trục khi xoắn
X
O
n m M L
Xét yếu tố thanh giới hạn bởi hai mặt cắt m, n gần kề nhau Mômen xoắn tác dụng ở
hai tiết diện này tương ứng bằng: M và M +
x
M
∂
∂
dx
Gọi θ là góc xoay của tiết diện m có toạ độ x, khi đó biến dạng góc tương đối là
x
∂
θ
Theo công thức đã biết trong SBVL, ta có:
x
∂
θ (3-24)
Lực quán tính tác dụng lên yếu tố của trục bằng: ư ρJPdx 2
2
t
∂
θ
∂
áp dụng nguyên lý Đa-lăm-be, phương trình cân bằng mômen đối với trục Ox:
0
2
2
=
∂
θ
∂ ρ
ư
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂ + +
ư
t dx J dx x
M M
Từ đó: 2
2
t
J x
M
P
∂
θ
∂ ρ
=
∂
∂
Thay (3-24) vào (3-25) ta nhận được:
2
2 2 1 2 2
x
a
θ
∂
=
∂
θ
∂
(3-26)
Trong đó:
ρ
= G
a1 là vận tốc truyền sóng trượt
Phương trình (3-26) là phương trình vi phân dao động xoắn của trục tròn tiết diện không đổi Nó có dạng giống phương trình (3-4)
Hình 3-4
M+∂M dx
∂x
Trang 7NTQ của (3-26) có dạng:
=
= θ 1 n
n
n(x)T (t)
Trong đó: Xn(x) = Cn sin
1
n n 1
n
a
x p cos D a
x p
Tn(t) = An sin ( pnt + αn)
Các hằng số An, α n được xác định từ điều kiện đầu Các tần số riêng và hàm riêng
được xác định từ các điều kiện biên
3.2.2 Các điều kiện biên - phương trình tần số
3.2.2a Trục có hai đầu tự do (Hình 3-5)
L
X
x
Hình 3-5
Trong trường hợp này mômen xoắn ở hai đầu bằng không Nên:
0
=
∂
θ
= x
∂
θ
=L x
x
Hay có thể viết: 0
0 =
′ = x
X và ′ =L =0
x
X (3-29)
Để thoả mãn điều kiện (3-29), ta phải có: C = 0 và: sin
1 a
pL = 0 (3-30)
(3-30) là phương trình tần số trong trường hợp khảo sát Giải ra:
1
a
L
= nπ; n = 1, 2, 3 (3-31)
⎠
⎞
⎜
⎝
+ π π
=
θ ∑∞
t a n sin b L
t a n cos a L
x n
n 1 n
1 n
3.2.2b Trục có gắn các đĩa (bánh đà) ở hai
đầu mút (Hình 3-6)
Trong trường hợp này mômen xoắn ở các đầu
trục bằng mômen các lực quán tính của các đĩa
(bánh đà)
J
J
1
2
L
x
Hình 3-6
Trang 8Điều kiện biên khi này có dạng sau:
x
GJ t
∂
θ
=
∂
θ
∂ khi x = 0
x
GJ t
2
θ
ư
=
∂
θ
∂ khi x = L
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
′
ư
=
′
=
′
=
′
L x khi X GJ X
p J
x khi X
GJ X p J
P
P 2
2
2
Khi cho thoả mãn các điều kiện trên ta nhận được phương trình tần số:
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
ư
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ư
1 1
1 1
2 1
1 1
1
2
a
pL cos GJ
pa a
pL sin GJ a
p J
a
pL sin GJ
J pa a
pL cos p
p P
P
(3-33)
Đặt: =β
1
a
pL
g
LJ J
; n J
J
; m J
J LJ
g
0 0
2
0 1
P
γ
Phương trình (3-33) đưa về dạng: βn(1 – mβtgβ) = ư (tgβ+ mβ)
Hay suy ra:
1
2ư β
β +
= β mn
) n m (
Nếu β1, β2, βn là nghiệm của phương trình (3-34) thì NTQ đối với trường hợp khảo sát là:
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
+
β
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
β
ư
β
= θ 1
1 1
n
n n n
n n n n
L
t a sin b L
t a cos a L
x sin m L
x
Đ.3.3 Dao động uốn của dầm tiết diện không đổi
3.3.1 Phương trình cơ bản
Giả sử dầm có mặt phẳng đối xứng và dao động xảy ra trong mặt phẳng này, nghĩa là dầm chỉ thực hiện dao động uốn theo phương y Trong trường hợp mặt cắt dầm không đối xứng qua hai trục thì dầm sẽ thực hiện dao động xoắn và uốn đồng thời mà ta không xét ở đây
Mặt khác ta cũng giả thiết rằng: Các mặt cắt của dầm luôn luôn phẳng và vông góc với trục võng của dầm Ta ký hiệu EJ là độ cứng của dầm khi uốn, q là khối lượng đơn vị trên chiều dài dầm, y là dịch chuyển của tiết diện dầm
Xét phân tố dầm dx giới hạn bởi hai mặt cắt kế nhau m và n (Hình 3-7)
Mômen uốn và lực cắt tác dụng lên phân tố dầm ở hai mặt cắt m và n tương ứng bằng:
dx x
Q Q , Q và dx x
M M , M
∂
∂ +
∂
∂ + Lực quán tính tác dụng lên phân tố dầm khảo sát: qdx 2
2
t
y
∂
∂
Trang 9áp dụng nguyên lý Đa-lăm-be, Ta có:
- Tổng hình chiếu các lực lên phương thẳng đứng Oy:
0 2
2
=
∂
∂ +
∂
∂
t
y q x
Q
(1)
n m
dx
L
x
- Tổng mômen các lực đối với trục thuộc tiết diện m thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ:
0
=
ư
∂
∂ Q x
M
(2)
Đạo hàm (2) theo x: 2 0
2
=
∂
∂
ư
∂
∂
x
Q x
M
Thay (1) vào (3) ta được: 2 0
2
2
2
=
∂
∂ +
∂
∂
t
y q x
M
(3-36)
áp dụng công thức về lý thuyết uốn của thanh trong SBVL: M
x
y
∂
∂ 2
2
(3-37)
Thay (3-37) vào (3-36) ta có: 2 0
2
2 2
2
2
=
∂
∂ +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
t
y q x
y EJ
Nếu dầm có tiết diện không đổi thì EJ = const ta suy ra: 4
4 2 2 2 2
x
y a t
y
∂
∂
=
∂
∂
(3-39)
Trong đó:
q
EJ
a =2 , (3-39) là phương trình vi phân dao động uốn của dầm tiết diện
không đổi
dx
Q
M
x y
y
∂M
∂x
∂Q qdx ∂2
y
∂t2
∂x dx Q+
nh 3-7 Hì
Trang 103.3.2 Giải phương trình (3-39)
Tương tự như các trường hợp trên, ta tìm nghiệm phương trình (3-39) dưới dạng:
y = X(x).T(t) (3-40) Thay (3-40) vào (3-39) ta được:
X
X a T
2
ư
) IV (
•
Để hệ thức này luôn luôn là đồng nhất thức thì vế trái và vế phải của nó phải bằng hằng số: (-p2) Do đó, ta nhận được:
T•+p2T=0 và 0
2
=
⎟
⎠
⎜
⎝
a
Phương trình đầu của (3-41) mô tả chuyển động có đặc tr
⎞
⎛ p ) IV (
ưng dao động với tần số p
ương trình sau của (3-41) xác định ương trình này là:
sinkx, coskx, shkx, chkx NTQ của nó biểu diễn ở dạng:
X = C1sin kx + C2coskx + C3shkx + C4chkx (3-42)
2 4
2
qp p
Các hằng số C1, C2, C3, C4 được xác định từ các điều kiện biên
ng trình tần số
Thay các điều kiện biên vào (3-42) sẽ dẫn tới các phương trình thuần nhất đối với các
phải bằng không Điều đó sẽ dẫn tới phương trình tần số Ta minh hoạ điều này bằng vài trường hợp sau:
y = XT = 0 và M = EJ.X′′T = 0
3.3.3 Phươ
số C1, C2, C3, C4 Để các hằng số không đồng thời bằng không
3.3.3a Dầm có hai gối tựa bản lề (Hình 3-8)
Trong trường hợp này mô men uốn M và độ võng y tại các gối tựa bằng không
L
x
y
Hình 3-8
Hay: 0
0 =
= x
0 =
′′ = x
x
x
X (3-44)
Ta viết nghiệm (3-42) ở dạng sau:
Trang 11) shkx kx
(sin C
) shkx kx
(sin C ) chkx kx
(cos C ) chkx kx
(cos C X
ư +
+ +
ư +
+
=
4
3 2
1
0 X
; 0 X
Từ điều kiện đầu của (3-44): x=0 = ′′x=0 = Suy ra rằng: C1, C2 có thể đặt bằng không
Từ các điều kiện còn lại của (3-44): X 0; X L 0 3 4
(3-46) l
x L
x= = ′′ = = Ta nhận được: C = C và
(3-à phương trình tần số trong trường hợp khảo sát, giải phương trình n(3-ày ta có:
3 , 2 , 1 n
; n
kL= π = (3-47) Khi chú tới (3-43) ta ný hận được:
q
EJ
n2π2 L
pn = 2
3.3.3b Dầm có các mút tự do (Hình 3-9)
Hình 3-9
ường hợp này lực cắt Q và mômen uốn M ở hai đầu thanh bằng không, ta có:
Hay: khi x=0, x=L (3-49)
Ta vẫn sử dụng biểu thức nghiệm (3-45) Khi đó từ điều kiện:
(3-48)
x
L y
Trong tr
L x , x T
X EJ M
T X EJ Q
=
=
⎩
⎨
⎧
=
′′
=
=
′′′
=
0 khi 0 0
⎩
⎨X′′ 0=
⎧X′′′ 0=
0 0
0
0
0 = ′′′
X
x
Nên: X = C (coskx+chkx) + C (sinkx+shkx) 1 3
Từ điều kiện còn lại: X′′ = =0 và X′′′ = =0 ta nhận được:
L x L
x
)
⎧
= +
= +
ư + +
ư
0
0
shkL kL
sin C chkL kL
cos C
cos C
shkL kL
sin C
Nghiệm C1, C2 khác không nhận được chỉ trong trường hợp định thức của hệ bằng không Ta có phương trình tần số sau:
(-coskL + chkL)2 - (sh2kL - sin2kL) = 0
(3-50) Chú ý rằng: ch2kL - sh2kL =1; cos2kL + sin2kL = 1
Ta nhận được: coskL.chkL =1
Trang 12Sáu nghiệm đầu
L k L
tiên của phương trình này như sau:
Trong bảng 5, ta dẫn ra các điều kiện biên của một vài dạng liên kết khi xét dao động uốn của dầm
Chú ý:
y các phương trình (3-4), (3-26), và (3-39) có dạng sau:
Với thanh (dầm) có khối lượng phân bố liên tục, tiết diện của nó biến đổi theo chiều dài, khi đó tha
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
θ
∂
⎤
⎡ θ∂
∂
∂
=
⎥⎦
⎢⎣ ∂
∂
2
2 t
F x
F x a
⎨
⎧
∂
∂
ư
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
=
⎥⎦
⎢⎣ ∂
∂
∂
⎤
⎡ ∂
∂
2 2
2 2
2 2
2 2
1
2 2
t
y q x
y EJ x
t
J x
J x a
U U
) (
) (
) (
53 3
52 3
51 3
ư
ư
ư
Bảng 5: Các điều kiện biên của một số dạng liên kết khi xét dao động uốn của dầm
Sơ đồ Dạng liên kết Điều kiện biên
Đầu tự do
0
0⇒ ′′=
=
′′
=EJX T X Q
0
0⇒ ′′=
=
′′
=EJX T X M
Bản lề
Y = XT = 0 => X = 0
0
0⇒ ′′=
=
′′
=EJX T X M
x O
Ngàm
Y = XT = 0 => X = 0
0
0⇒ ′=
=
′
=
m0
O
x
m 0
O
x
Đầu thanh gắn khối lượng m0
0
0⇒ ′′=
=
′′
=EJX T X M
Q = ư m0 y• => m0p2 X = ±EJX′′
C
C
Liên kết đàn hồi tuyến tính
0
0⇒ ′′=
=
′′
CX X
EJ R
Q= ⇒ ′′=±
(R = Cy)
