Lý thuyết dao động - Chương 5 pdf

Tuy vậy, có thể tập hợp một số tính chất chung tạo thành các đặc trưng sơ bộ về sự khác nhau giữa hệ phi tuyến và hệ tuyến tính: 1- Không thể áp dụng nguyên lý tổ hợp tuyến tính đối với

Chương V Cơ sở của lý thuyết dao động phi tuyến

Mở đầu

Lý thuết dao động phi tuyến nghiên cứu các chuyển động tuần hoàn được mô tả bởi các phương trình vi phân phi tuyến Nhiều hiện tượng quan sát được trong lĩnh vực kỹ thuật giao thông vận tải, động lực học máy, vô tuyến điện, động lực học nền móng v.v phải

được giải thích bằng dao động phi tuyến Lý thuyết dao động phi tuyến phản ánh tính chất của chuyển động dao động đầy đủ và chính xác hơn

Thực tế, lớp các lực phi tuyến vô cùng phong phú Tuy vậy, có thể tập hợp một số tính chất chung tạo thành các đặc trưng sơ bộ về sự khác nhau giữa hệ phi tuyến và hệ tuyến tính:

1- Không thể áp dụng nguyên lý tổ hợp tuyến tính đối với các hệ phi tuyến Nghĩa là, không thể lập NTQ của phương trình vi phân hệ phi tuyến bằng các NR độc lập

2- Dao động tự do của hệ tuyến tính bao giờ cũng tắt dần Dao động tuần hoàn thực sự của nó chỉ có thể xảy ra dưới dạng dao động cưỡng bức xuất hiện do tác động của các lực kích động tuần hoàn từ bên ngoài Trong hệ phi tuyến có thể xảy ra các dao động tự do tuần hoàn ổn định (ngay cả khi có cản), chẳng hạn như: Dao động của con lắc đồng hồ và nhiều

hệ dao động khác

3- Dao động cưỡng bức trong hệ tuyến tính do các lực điều hòa gây ra sẽ có cùng tần

số và chu kỳ với lực, còn trong hệ phi tuyến có thể xảy ra với chu kỳ lực kích động, nhưng cũng có thể xảy ra với chu kỳ bằng bội số nguyên hoặc phân số của chu kỳ lực kích động

Do đó đối với hệ phi tuyến một bậc tự do dưới tác dụng của một lực điều hoà có thể xảy ra nhiều chế độ cộng hưởng

4- Tần số riêng trong hệ tuyến tính không phụ thuộc vào điều kiện đầu và biên độ Phần lớn trong các hệ phi tuyến tần số phụ thuộc vào biên độ dao động

Ta minh hoạ một số thí dụ sau để làm rõ đặc trưng phi tuyến của hệ khảo sát:

Thí dụ 1: Con lắc toán học: (Hình 5-1) ta có:

O

mw=mg+T

Chiếu lên phương tiếp tuyến τ, thì:

mwτ =ưmgsinϕ⇒Lϕ•+gsinϕ=0

Lg = , ta nhận được:

Hình 5-1

τ

L

T

mg ϕ

Với dao động bé: .

6 sin

3 ϕ

ư ϕ

=

6 ( k

3

+

Như đã biết, ở phương trình (3) ta có dao động điều hoà với chu kỳ

g

L 2 k

2

chỉ phụ thuộc vào các tham số của hệ mà không phụ thuộc vào điều kiện đầu của chuyển

động Rõ ràng tính chất ấy sẽ không đúng với phương trình (2)

Thí dụ 2: Chất điểm nặng khối lượng m gắn

vào đầu thanh đàn hồi (Hình 5-2)

x m

y

x

y = f(x)

y=kx

O

Lực đàn hồi cho bởi hàm y = f(x)

Phương trình dao động có dạng:

mx•+ (x)=0 (4)

Việc tuyến tính hoá phương trình (4), tức thay

đường cong y = f(x) bởi đường thẳng y = kx được

chấp nhận với giá trị rất nhỏ của x và ta có:

Với x lớn thì phải xét đến hàm f(x) dưới dạng phi

Thí dụ 3: Xét hệ chỉ trên hình vẽ: (Hình 5-3)

Gọi L là độ dài ban đầu của lò xo, C là hệ số

cứng của nó Giả sử khi tải trọng ở vị trí trung bình lò

xo không căng, khi tải trọng lệch một khoảng x lò xo giãn ra một đoạn: x2 +L2 ưL

và lực căng của lò xo là: N=C( x2 +L2 ưL)

Hình 5-2

Thành phần ngang của lực xác định đặc tính đàn hồi của hệ sẽ bằng:

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

+

ư

= +

=

2

2 2

2

1

1 1

L x

Cx L x

x N

P

Gọi x là nhỏ so với L, có thể lấy:

2

2

x 2

1 1 L

x 1

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ư

≈ +

Hình 5-3

q

P

= x m

q = x

O

Như vậy, đặc trưng của hệ sẽ là phi tuyến và có: 2

2L

Cx

Nếu lò xo có sức căng ban đầu N0, thì khi tải trọng lệch một khoảng x, lực căng toàn phần bằng:

3 0

2

Cx L

x N L x

x N

+

Thí dụ 4: Khảo sát nhíp sau của ô-tô (Hình 5-4)

P

q=y

P

a

b

c

Giả sử ngoài nhíp cơ bản còn có các nhíp phụ (nhíp

con) Khi thùng xe có dịch chuyển không lớn, mút các nhíp

phụ không tiếp xúc với gối tựa và chỉ có nhíp cơ bản làm

việc Sự phụ thuộc vào các áp lực P lên nhíp và độ võng q = y

có thể coi là tuyến tính và được biểu diễn bởi đoạn ab

Khi có dịch chuyển lớn của thùng xe, mút các nhíp con

tựa lên giá đỡ của khung và độ cứng tương đương của nhíp

trở nên lớn Quan hệ giữa P và q = y được biểu diễn bằng

đoạn bc Như vậy đặc tính chung của nhíp làm việc là phi

tuyến: P = P(y) Gọi C1 là độ cứng của nhíp cơ bản, C2 là độ

cứng tương đương của các nhíp phụ thì độ cứng trên đoạn ab

là C1, còn trên đoạn bc là C1+C2

Hình 5-4

Đ5.1 Dao động tự do không cản của hệ một bậc tự do với đặc trưng phi tuyến của lực phục hồi

5.1.1 Phương trình vi phân cơ bản và nghiệm chính xác của nó

Phương trình vi phân dao động tự do không cản của hệ một bậc tự do với đặc trưng phi tuyến của lực phục hồi được thiết lập tương tự như đã trình bầy trong phần Đ1.1 của chương

thứ nhất, ở đây ta thay lực phục hồi tuyến tính bằng lực phục hồi phi tuyến: P = P(q) ta có:

(5-1) 0

) q ( q 0 ) q ( P q

ở đây đặt:

m

) q ( P ) q

Ta biểu diễn gia tốc ở dạng:

dq

q d q dt

dq dq

q d dt

q d q

•

•

•

•

•

=

=

=

dq

q d

•

•

Khi tích phân hệ thức trên, ta lấy thời điểm đầu có độ lệch lớn nhất (qmax = a), còn vận tốc bằng không ⎟, ta có:

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ =• 0 q

•

•

•

•

a

q q

a q

a

q

dq ) q ( dq ) q (

q dq ) q ( q

d q

2 2

0 Quan hệ này biểu thị quy luật bảo toàn năng lượng: Vế trái là động năng tích luỹ trong quá trình chuyển động của hệ từ vị trí biên (q = a, ) đến vị trí bất kỳ (q, ) Còn

vế phải là thế năng mất đi trong quá trình đó Năng lượng này sẽ được biểu thị bằng phần gạch chéo trên đồ thị (Hình 5-5) Từ biểu thức cuối ta nhận được:

0

• = =ư ∫a

q dq ) q ( dt

dq

q O

f(q)

Hướng chuyển động

ở đây dấu trước căn lấy dấu âm (-) vì trong

khoảng khảo sát chuyển động vận tốc âm (-)

Tích phân (5-3) cho ta thời gian t là hàm của

dịch chuyển:

∫

∫

∫

=

ư

q

q

q

dq ) q (

dq dq

) q (

dq t

2 2

Hình 5-5

Nếu tiến hành tích phân trong khoảng từ q = 0

đến q = a thì đối với hệ có đặc trưng đối xứng sẽ tìm được thời gian của một phần tư chu kỳ Chu kỳ của dao động tương ứng bằng:

∫

= a

a

q dq ) q (

dq T

0 2

2

Công thức (5-4) cho phép tìm sự phụ thuộc chính xác chu kỳ dao động tự do vào biên

độ của nó

Xét trường hợp đặc trưng đối xứng mô tả bởi quy luật:

ở đây α, n là các hằng số Do đó tìm được:

∫

= ξ ξ

ư

ξ α

=

ư α

ư

α

=

ư a

n n

n n

a

q

n n

a

q

; d a

n q

a n dq

q a n dq ) q (

0

1

1 2

2

2 2

1 1 2

Theo công thức (4-4) ta nhận được:

1

1 1

1 4

n n

d a

n

Từ đó ta thấy: chỉ khi n =1 chu kỳ T không phụ thuộc vào biên độ dao động (đặc trưng tuyến tính); trong các trường hợp còn lại tồn tại phụ thuộc giữa chu kỳ và biên độ Sự tồn tại mối liên hệ này là đặc tính chung đối với hệ phi tuyến

Bây giờ giả sử xét dao động của hệ đối với đặc trưng bậc ba:

3 q )

q

( =α khi đó n = 2 từ biểu thức (5-6) ta được:

ξ

ư

ξ

d a

2 a

4 T

Sử dụng bảng các hàm đặc biệt tính tích phân Eliptíc được 1,8541/ 2, do đó ta có:

a

4

α

=

T

Nghĩa là tần số tăng bậc nhất với sự tăng của biên độ

5.1.2 Nghiệm gần đúng của phương trình (5-1)

Mặc dù công thức (5-4) cho ta biểu diễn chu kỳ dao động tự do không cản của hệ một bậc tự do đối với đặc trưng phi tuyến của lực khôi phục về nguyên tắc là chính xác Nhưng thực tế tính toán rất cồng kềnh và thường không thể viết ở dạng kín Khó khăn này có thể

được khắc phục khi ta sử dụng các phương pháp gần đúng dưới đây:

5.1.2a Phương pháp đơn giản nhất

Lấy dao động của hệ khảo sát mô tả bằng quy luật như trong hệ tuyến tính, nghĩa là:

Như đã biết, biểu thức (5-8) chỉ là nghiệm chính xác trong trường hợp f(q) tuyến tính Trong trường hợp tổng quát khi thay (5-8) vào (5-1) sẽ không đưa nó trở thành đồng nhất thức Ta “mềm hoá” tính chính xác với điều kiện sao cho phương trình (5-1) thoả mãn ở thời

điểm khi độ lệch q đạt cực đại (tức bằng a) Khi này gia tốc cũng sẽ có giá trị cực đại:

• q 2

q• =ư

Do đó, tại thời điểm trên cần thoả mãn đẳng thức sau:

a

) a ( p 0 ) a (

ư

Hệ thức cuối cùng xác định tần số dao động tự do p phụ thuộc vào biên độ a của nó Mặc dù công thức này không chính xác, song nhờ nó có thể nhận được cách biểu diễn khái quát đúng về mối liên hệ a(p2)

Thí dụ: Cho đặc trưng phi tuyến ở dạng:

(q)=p20q+αq3 (p0, α là những số đã cho)

3 2

0 2

a p a

a a p

p0

2

a

α > 0

2

α < 0

α = 0

Đồ thị của sự phụ thuộc này biểu diễn trên (Hình 5-6)

Rõ ràng là: Tần số dao động riêng tăng cùng với biên độ khi

α > 0 (gọi là đặc trưng đàn hồi cứng) và tần số dao động riêng

giảm khi biên độ tăng với α < 0 (gọi là đặc trưng đàn hồi

mềm) Đường tương ứng với α = 0 ta quy ước gọi là đường

cong xương sống

Hình 5-6

5.1.2 Phương pháp tham số bé

Phương pháp này được trình bày và đặt cơ sở toán học bởi A.Poăngcarê Cơ sở của phương pháp là ở chỗ: Giả sử cho hệ có tính phi tuyến giảm yếu, chẳng hạn xét hệ mà dao

động của nó được miêu tả bằng phương trình:

Nếu thông số α đủ nhỏ, trong trường hợp này, nghiệm sẽ được tìm ở dạng khai triển theo chuỗi luỹ thừa tham số bé:

ở đây: qo, q1, q2, là các hàm chưa biết của thời gian t cần xác định

Ngoài khai triển (5-11) ta cũng dẫn ra khai triển hệ số p2

0:

p20 =p2 +C1α+C2α2 + (5-12) Trong đó: p2 là hằng số chưa biết mới; C1, C2, là các hằng số chưa xác định mà ta sẽ chỉ ra ở dưới

Thay (5-11) và (5-12) vào (5-10) và giới hạn chỉ ở các thành phần khai triển đã viết, ta có:

q•0+αq•1+α2q•2+(p2 +C1α+C2α2)(q0 +αq1 +α2q2)+α(q0 +αq1+α2q2)3 =0 Khi chỉ giữ lại các thành phần chứa α không lớn hơn bậc hai, ta được:

0 q q q C q C q p q q

q C q p q q

p

⎠

⎞

⎜

⎝

α +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

α +

•

Phương trình này đúng với mọi α vì vậy các hệ số của α , α, α, phải bằng không

điều này dẫn đến hệ:

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

ư

ư

ư

= +

ư

ư

= +

= +

•

•

•

1 2 0 1 1 0 2 2

2 2

3 0 0 1 1 2 1

0 2 0

q q q C q C q

p q

q q C q p q

0 q p q

Cấu trúc của các phương trình nhận được chỉ ra quá trình giải: Phương trình đầu cho

ta tìm q0, sau đó phương trình thứ hai cho ta tìm q1 và từ đó tìm q2 từ phương trình thứ ba Lấy điều kiện đầu ở dạng sau: Khi t = 0 thì q = a, = 0 Từ (5-11) nhận được:

• q

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

= α

+ α

+

= α

+ α

+

•

•

•

0 ) 0 ( q ) 0 ( q ) 0 ( q

a ) 0 ( q ) 0 ( q ) 0 ( q

2 2 1

0

2 2 1

0

Để các đẳng thức này thoả mãn với mọi α cần phải đồng thời thoả mãn sáu điều kiện sau:

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

=

=

=

=

•

•

•

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

2 2

1 1

0 0

) ( q

; ) ( q

) ( q

; ) ( q

) ( q

; a ) ( q

Khi giải phương trình đầu của hệ (5-13) có tính đến điều kiện đầu ở hệ (5-14) ta có:

Đặt biểu thức này vào phương trình thứ hai của hệ (5-13) ta được:

4 4

3 1

3 3 1

1 2

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

ư

=

ư

ư

= +

•

(5-15)

Giả thiết rằng hệ số của cospt khác không Khi đó nghiệm của phương trình này sẽ chứa

số hạng như đã biết trong dao động tuyến tính: tsinpt (gọi là thành phần đặc tính), trong đó coi

t là thừa số của hàm lượng giác Có thể sử dụng nghiệm dạng cộng hưởng này chỉ với giá trị t rất nhỏ Để nghiệm đúng với bất kỳ t cần loại bỏ thành phần đặc tính trong (5-15)

4

3 C 0 a 4

3 a

Nghiệm của (5-15) viết được ở dạng: q1 = C1cospt + C2sinpt + cos pt

p

a

3

32 2 3

Sau khi xác định các hằng số C1, C2 từ dòng thứ hai của điều kiện đầu (5-14), ta tìm

được:

(cos3pt cospt)

p 32

a

Như vậy, trong các khai triển (5-11), (5-12) hai số hạng đầu được xác định Nghiệm chính xác đến số hạng nhỏ bậc nhất có dạng:

p 32

a pt cos a

3

ư

α +

=

Hơn nữa, tương ứng với (5-12) và (5-16) ta có:

4

3 p

Sau khi thay q0, q1 vào phương trình thứ ba của hệ (5-13) và cũng tiến hành việc lặp lại quá trình trên, ta nhận được nghiệm chính xác đến các số hạng nhỏ bậc hai:

2

4 2 2 2

0 2

2

5 2 2

3

128

3 4

3

4 3 3 5 1024

3 32

2

p

a a

p p

) pt cos pt

cos pt

(cos p

a )

pt cos pt (cos p

a pt cos

a

q

α + α +

=

ư

ư

α +

ư +

=

(5-18)

Ta nhận thấy, đặc điểm quan trọng của nghiệm nhận được là quá trình dao động được mô tả không phải bằng một điều hoà mà bằng tổng các điều hoà, trong đó các điều hoà tiếp theo càng có biên độ nhỏ đi Một lẽ đương nhiên tần số của điều hoà cơ bản p phụ thuộc vào biên độ dao động a

5.1.2c Phương pháp Butnôp-Galepkin

Theo phương pháp này ta cho trước công thức xác định nghiệm cần tìm Cách đơn giản hơn cả, nghiệm của phương trình (5-1) thử tìm ở dạng giống như đối với hệ tuyến tính:

ở đây a, α, p là các hằng số

Thay nghiệm vào (5-1), tất nhiên không nhận được đẳng thức đồng nhất không chừng nào (5-19) không phải là nghiệm chính xác của phương trình (5-1) Theo ý tưởng cơ bản của phương pháp là ở chỗ: Yêu cầu sao cho tích phân sau đây lấy trong khoảng một chu kỳ bằng không:

π

•

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ + p 2

0

0 qdt ) q (

Thay (5-19) vào (5-20), ta nhận được:

π

= α + α

+ +

α +

ư p 2

0

2

0 dt ) pt cos(

)]

pt cos(

a [ ) pt cos(

Hay: ∫ [ ]

π

= α + α

+ +

π

ư

p 2

0

0 dt ) pt cos(

) pt cos(

a f pa

Ký hiệu: pt+α=ψ, Ta nhận được công thức đối với bình phương của tần số:

π

= 2 0

2

d cos ) cos a ( a

1

áp dụng: Trường hợp (q)=p02q+αq3, khi đó:

ap ) cos a (

π

0

3 3 2

0 2

d cos ) cos a cos

ap ( a

1 p

Vì: ∫π ψ ψ=π 2∫π ψ ψ= 43π

0 4 2

0

2

d cos

; d

4

3 p

Kết quả này trùng với kết quả nhận được theo phương pháp tham số bé

Phương pháp Butnôp-Galepkin có thể cho phép xây dựng nghiệm gần đúng cao hơn Khi này cần tìm nghiệm không phải chỉ là một hàm (5-19), mà ở dạng chuỗi hàm:

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +• T

q ) q ( q 0

2 1 0

5.1.2d phương pháp tuyến tính hoá điều hoà

Trường hợp đơn giản nhất của phương pháp N.M.Krưlôp và N.N.Bogoliubop Ta viết phương trình (5-1) ở dạng:

ở đây: p là tần số dao động chưa biết Thay vào vế phải đẳng thức trên công thức gần

đúng của nghiệm:

Ta nhận được phương trình dao động cưỡng bức của hệ tuyến tính:

Trong đó: F(t)=ap2cos(pt+α)ư [acos(pt+α)],

là hàm chu kỳ với chu kỳ bằng

p 2π

Khai triển F(t) thành chuỗi Fuariê, ta nhận được:

F(t)=a0 +a1cos(pt+α)+a2cos2(pt+α)+

Nếu a1 khác không thì số hạng a1cos(pt+α)là nguyên nhân xuất hiện thành phần đặc tính trong nghiệm của phương trình (5-23) Để loại trừ nó cần đặt hệ số Fuariê a1 bằng không, nghĩa là:

T

0

T

2 a

π

= α + α

+

ư α +

P

dt ) pt cos(

)]

pt cos(

a [ ) pt cos(

ap 2

0

2

0

Quan hệ cuối cùng trùng với phương trình cơ bản nhận được bằng phương pháp Butnôp-Galepkin (5-21)

5.1.2e Phương pháp tuyến tính hoá trực tiếp

a) Trường hợp f(q) đối xứng (hình 5-7)

Thay f(q) không tuyến tính bởi biểu thức tuyến tính f*(q):

ở đây hệ số p2 được chọn riêng, độ lệch r phụ thộc vào toạ độ q: r = r(q), ta có:

(q)= (q)ưf*(q)= (q)ưp2q

Vấn đề là chọn f*(q) sao cho rất gần f(q), nghĩa là r(q) tuân theo điều kiện cực tiểu của tích phân sau đây trên toàn khoảng thay đổi của toạ độ q:

0

2 dq r I Tích phân này phụ thuộc vào việc chọn thông số p2 và vì vậy sự cực tiểu đạt được

) p ( d

dI

Thực tế trong các bài toán về dao động thường tồn tại các độ lệch r lớn hơn trong các giá trị của toạ độ q lớn, vì vậy một cách tự nhiên ta xét độ lệch có trọng số:

ư

ư

= a a

2 2

I

Nghĩa là p2 xác định từ phương trình: 0

) p ( d

dI 2

Phương pháp này giả thiết rằng: Sai số gây ra bởi độ lệch tỷ lệ với giá trị toạ độ tương ứng Từ phương trình (5-25) tìm được:

ư

a

0

3 5

a

a

3 5

2

dq q )

q ( a

5 dq q ) q ( a 2

5

Sau khi xác định được p2, bài toán dẫn tới phương trình tuyến tính đã biết thay cho phương trình phi tuyến đã cho:

Và p là tần số của dao động tự do

Để minh hoạ điều trình bày, ta lấy: (q)=p20q+αq3

+

= α

+ a

0

7 5 2 0 3

3 2

0

7

a 5

a p dq q q q p

Theo công thức (5-26) ta được: 2 02 a2

7

5 p

p = + α (5-27)

So sánh độ chính xác các kết quả nhận được theo các phương pháp khác nhau trong trường hợp p0 = 0, nghĩa là f(q) = αq3; ta có:

Theo (5-17); (5-22): p = 0,866a α

a

f(q)

f*(q)

f(q)

r(q)

f(q) O

q

f*(q) f(q)

a2

a