phương trình đường tròn 10nc

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN... Theo phương trình 1 thì để viết phương trình đường tròn ta phải biết các yếu tố nào?. Ta cần biết toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đó... bCho hai điểm A

Cho đường tròn (C) có tâm I(2;3), bán kính bằng 5 Điểm

nào sau đây thuộc (C) :A(-4;5), B(-2;0), D(-1;-1), E(3;2)

I

2

3

M

x

y

O

5

B

E

Vì IA=10 > R nên điểm A không thuộc đường tròn (C)

Vì IB=ID =5= R nên điểm B,D thuộc đường tròn (C)

Vì IE= < R nên điểm E khôngt huộc đường tròn (C) 2

A

I

2

3

M

x O

5

Điều kiện cần và đủ để 1 điểm M thuộc (C) tâm I(2;3) bán kính R=5 ?

M thuộc (C)  IM=R=5

Chú ý: Nếu M(x;y) thì

M(x;y)

x

y

O R

Với đường tròn (C) tâm I(a;b) , bán kính R, điểm M(x;y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi nào ?

M(x;y) thuộc (C)

M(x;y) thuộc (C) IM=R IM2=R2

 (x-a)2+(y-b)2=R2

1 Phương trình đường tròn tâm I(a;b),bán kính R:

*Phương trình

*Phương trình (x- a )2+(y- b )2= R2 (1)

được gọi là phương trình đường tròn tâm

I(a;b), bán kính R

§6 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Theo phương trình (1) thì để viết phương trình đường tròn ta phải biết

các yếu tố nào?

Ta cần biết toạ độ tâm và bán kính của

đường tròn đó

CÁC VÍ DỤ:

VD1:

a)Viết phương trình đường tròn tâm I(2,3) bán kính R=5.

GIẢI

a) Phương trình đường tròn có tâm I(2;3) bán kính R=5 là: (x-2)2 + (y-3)2 = 25

b)Cho hai điểm A(3; -4) và B(-3;4).Viết phương trình

đường tròn nhận AB làm đường kính

GIẢI

Đường tròn nhận AB làm đường kính vậy

tâm đường là trung điểm I của AB

và bán kính đường tròn là

2

AB

R =

I

Đường tròn (C) nhận

AB làm đường kính

Vậy tâm của đường tròn

nằm ở đâu, bán kính được xác định như thế

nào ?

2 2 2 2

3 3

0

4 4

0

10

5



I

I

x x x

I

y y y

AB R

Vậy phương trình đường tròn là :

Hãy nhận xét toạ độ tâm I ở trên ?

2 2

25

y

LƯU Ý

 Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O(0;0) có bán kính R là:

x

y

O

1.Biết đường tròn có phương trình (x-7)2 +(y+3) 2 =4 Hãy khoanh tròn vào chữ cái trước khẳng định đúng về tâm và bán kính của đường tròn đó :

a Toạ độ tâm (-7;3) và bán kính bằng 4.

b Toạ độ tâm (7;-3) và bán kính bằng 4.

c Toạ độ tâm (7;-3) và bán kính bằng 2

d Toạ độ tâm (-7;3) và bán kính bằng 2

Cột 1

Phương trình của đường tròn

1 (x-2)2+(y+6)2=1

2 (x-1) + y = 25

2 Hãy nối mỗi dòng ở cột 1 đến một dòng ở cột 2 để được một khẳng định đúng

Cột 2

a Tâm (0;-3) bán kính

b Tâm (-3;0) bán kính R=6

C

6

R =

VD2

2) NHẬN XÉT:

Cho đường tròn ( C ) có phương trình

(x-a)2 + (y-b)2 =R2 ( 1 )

Phương trình đường tròn có dạng như

phương trình (1) , phương trình đường tròn còn có dạng nào khác nữa không?

Ta có:

(x-a)2 + (y-b)2 = R2

x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = R2

x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - R2 = 0

Đặt a2 + b2 – R2 = c Khi đó ta có phương trình

Đây là dạng khác của phương trình đường tròn

(C) ở trên

Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán

kính

⇔

c

⇔

⇔

Ngược lại cho phương trình

x2 + y2 -2ax -2by + c =0 (2) Khi đó phương trình ( 2) có chắc chắn là phương trình của một đường tròn nào đó

không ?

(x-a)2 +(y-b)2 = a2 +b2 –c

⇔

⇔

Với điều kiện a2 + b2 – c > 0 , ta đặt a2 + b2 –c = R2

Lúc đó ta có phương trình

Ta có:

X2 + y2 -2ax -2by +c =0

X2 -2ax +a2 +y2 -2by +b2 –a2 –b2+c =0

Tóm lại , ta có nhận xét sau:

 Phương trình đường tròn (x-a)2 +(y-b)2=R2 có thể được viết dưới dạng x2+y2 -2ax -2by +c = 0, trong đó

c = a2 +b2 –R2

 Ngược lại , phương trình x2 +y2 -2ax -2by +c =0 (2) là phương trình của đường tròn khi và chỉ khi

phương trình của đường tròn khi và chỉ khi

a2 + b2- c >0 Khi đó đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính

R = a2 + b2 − c

Hãy nhận xét về hệ số của x 2 và y 2 trong phương trình

Ví dụ

 Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình đường tròn xác định tâm và bán kính của đường tròn đó:

a) 2x2 +y2 -8x +2y -1 = 0

b) x2 + y2 + 2x -4y -4 =0

c) x + y -2x -6y +20 = 0

3) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:

Cho điểm M o (x o ;y o ) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a;b).

Gọi là tiếp tuyến với (C) tại M o

Do đó có phương trình (x o -a)(x-x o ) + (y o -b)(y-y o ) = 0

Ta có M o thuộc và vectơ

IM o =(x o -a;y o -b) là vectơ pháp tuyến của

*I

Mo

(3)

Phương trình (3) là phương trình tiếp tuyến của đường

M

Ví dụ:

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1;1) thuộc đường tròn (C) : (x -2)2 +(y-3)2 = 5

Giải

(C) Có tâm I(2;3) , vậy phương trình tiếp

tuyến với (C) tại M(1;1) là

(1-2)(x-1) +(1-3)(y-1) = 0

- x - 2y +3 = 0⇔

Khẳng định Đ hay S Cách xác định

A Phương trình của đường tròn có

tâm O(0;0), bán kính R=1 là: x 2 +y 2 =1

B Phương trình của đường tròn có tâm

K(-2;0) bán kính R= 4 là :

VD 2: Xác định tính đúng(Đ), sai (S) của các khẳng định dưới đây

C Phương trình của đường tròn có

đường kính MN, với M(-1;2), N(3;-1) là :

D Phương trình của đường tròn đi qua ba

Đ S

Đ