Nhị thức Newton

C«ng thøc nhÞ thøc Niut¬n hay.

nhIÖT LIÖT Chµo

mõng

c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o

cïng toµn thÓ c¸c em

häc sinh dù bµi häc h«m nay!

KiÓm tra bµi cò:

, k , k

P A C

C©u hái: Nêu các công thức tính:

vµ c¸c hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c sè Cn k

C¸c c«ng thøc

n

!

k

n

n A

n k

=

−

!

k n

n C

k n k

=

−

0 = n = 1;

1

( 0! = 1)

C¸c hÖ thøc liªn hÖ:

1 = n− 1 =

1 Khai triển : ( a + b ) 2 ; ( a + b ) 3

2 Hãy dự đoán công thức khai triển cña :

(a + b) 4 ; ( a + b ) 10

C a C ab C b

C a C a b C ab C b

10 0 10 1 9 1 2 8 2 9 1 9 10 10

( a b + ) = C a + C a b + C a b + + C a b + C b

4 0 4 1 3 1 2 2 2 3 1 3 4 4

( a b + ) = C a + C a b + C a b + C a b + C b

( a b + ) = 1 a + 2 ab + 1 b

( a b + ) = a + a b + ab + b

TRUNG T¢M GDTX TØNH B¾C GIANG

C«ng thøc nhÞ thøc niut¬n

25/12/1642 - 20/3/1727

TiÕt 53

+ n =

.(a b)

+

0 n

C an C a b1 n 1 1n − + C a2 n 2 2n − b + + C ak n k kn − b +

Tiết 53: Công thức nhị thức niutơn

1 Công thức nhị thức Niutơn

Với mọi số tự nhiên n ≥ 1 và với mọi cặp số (a; b) ta có:

−

n k=0

C (a+

Có thể viết công thức nhị thức Niutơn dưới dạng:

0 3 3

C a = a3

3

k = 0

k = 1 C a b31 2 1 = 3a b2

k = 2

2 1 2 3

C a b

3 3 3

C b

2

3

= ab

3 2 2 3

a 3a b 3ab b

TiÕt 53: C«ng thøc nhÞ thøc niut¬n

1 C«ng thøc nhÞ thøc Niut¬n

3

3 3

0

k k k k

C a b−

=

∑

TiÕt 53: C«ng thøc nhÞ thøc niut¬n

1 C«ng thøc nhÞ thøc Niut¬n

+ = 0 + 1 1 + 2 2 2 + + + +

n k

n

n

a b C a C a b C a b C a b C b

VÝ dô 1 Khai triÓn nhÞ thøc (2x − 3)5

Ta cã:

− 5 = + − 5

(2x 3) (2x ( 3))

= 0 5 + 1 4 − 1 + 2 3 − 2 +

5 (2 ) 5.(2 ) ( 3) 5 (2 ) ( 3)

+ (2 ) ( 3)C x C (2 ) ( 3)x C ( 3)

= 0 5 + 1 4 − 1 1 + 2 3 − 2 2 +

5 (2 ) 5.(2 ) ( 1) (3) 5 (2 ) ( 1) (3)

3 2 3 3 4 1 4 4 5 5 5

+ (2 ) ( 1) (3)C x C .(2 ) ( 1) (3)x C .( 1) (3)

= 32x5 − 240x4 + 720x3 −1080x2 + 810x − 243

−

=

5 0

(2 3) ( 1) (2 ) 3k k k k

k

= 0 5 +

5 .(2 )

5.(2 ) ( 1) (3)

C x + 2 3 − 2 2

5 (2 ) ( 1) (3)

C x

−

3 2 3 3 5

+ (2 ) ( 1) (3)C x + 4 1 − 4 4

5 (2 ) ( 1) (3)

C x + 5 − 5 5

5 .( 1) (3)

C

= 32x5 − 240x4 + 720x3 −1080x2 + 810x − 243

Chú ý:

.( a b − )n = − 1 n− 1

n

C a b + 2 n− 2 2 −

n

n

C a b

n n

n

C b

+( 1) − n

0 n

n

C a

−

=

−

∑

n

0

n k

C a b ( n ≥ 1 )

TiÕt 53: C«ng thøc nhÞ thøc niut¬n

1 C«ng thøc nhÞ thøc Niut¬n

hay

− − −

− −

n 0 n 1 n 1 1 2 n 2 2 k n k k

n 1 1 n 1 n n

Tiết 53: Công thức nhị thức niutơn

2 Các tính chất của công thức nhị thức Niutơn

1) Số các số hạng của công thức bằng

2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng:

3) Số hạng tổng quát có dạng: T k 1 = C a n k n k k − b

4) Cỏc hệ số cỏch đều số hai số hạng đầu và số hạng cuối bằng nhau vì

−

=

k n k

n n

+ n =

5) (a b) a n + na b n 1 − + n(n 1) a b n 2 2

1.2

−

n k k

n(n 1) (n k 1) a b

1.2 k

−

(1 x)n

Khai triển nhị thức (1+x)n

Thế x = 1 và x = - 1 vào khai triển đó

− −

+ + + + + + +

0 1 2 2 k k n 1 n 1 n n

2

6)2 (1 1)n 0 + 1 + 2 + + k + + n 1− + n

− + − + − + + −

0 1 2 k k n n

n n n n n

= − =

7)0 (1 1)

n+1

(n - k)+ k = n

LUYÖN TËP :

1.Viết d¹ng khai triển cña nhÞ thøc ( x - 2y )6

2 T×m sè h¹ng thø 5 trong khai triÓn cña nhÞ thøc

TiÕt 53: C«ng thøc nhÞ thøc niut¬n

Cõu 1 : Tớnh tổng :

5 5

5

4 5

4

3 5

3

2 5

2

1 5

0

5 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C C

a) -1 b) 243 c) 32 d) Đỏp số khỏc

Câu 2 Tìm hệ số của x3 trong khai triển ( 3x + 4 )6

BàI TậP CủNG Cố

Hướng dẫn

Câu1 Biến đổi

0 1 1 4 2 2 3 3 3 2 4 4 1 5 5

5 52 1 5 2 1 5 2 1 5 2 1 5 2

A C = + C + C + C + C + C

=(1 + 2)5= 35= 243

Câu2

( 3x + 4 ) = ∑ C (3x) 4 = ∑ C 3 4 x

Số hạng tổng quát: + = 6−

1 6k .3 4 k k k k

Suy ra, hệ số của x3 là: C3.3 43 6 3− = 3 4 3 3 C3

C¶m ¬n sù quan t©m theo dâi cña c¸c thÇy gi¸o,

c« gi¸o cïng toµn thÓ c¸c em häc sinh!