Bài tập nhị thức Newton

Tìm số hạng có chứa x14y3 trong khai triển.. Với n là số nguyờn dương, chứng minh hệ thức sau: Bài 21.. Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của: Bài 32.. Tìm các số hạng khôn

III) TOÁN VỀ CÁC SỐ nP , Ak n , kCn:

Bài 1: Giải bất phương trình:

3

4 1

3 1 14

1 P A

C n

n





Bài 2: Tìm các số âm trong dãy số x1, x2, …, xn, … với: xn =

n n

n

P P

A

4

143 2

4

4 



Bài 3: Cho k, n là các số nguyên và 4  k  n; Chứng minh:

k n

k n

k n

k n

k n

k

C  4 1  6 2  4 3  4  4

Bài 4: Cho n  2 là số nguyên Chứng minh: Pn = 1 + P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n - 1)Pn - 1

Bài 5: Cho k và n là các số nguyên dương sao cho k < n Chứng minh rằng:

1 1 1

1 2

1



 k n k n k k k k

k

VI) NHỊ THỨC NEWTON:

Bài 1: Chứng minh rằng: C1 n3n1  2 C2 n3n2  3 C3 n3n3   n Cn n  n 4n1 Bài 2: Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức:

 1  x 9   1  x 10    1  x 14 ta sẽ được đa thức:P(x) = A0 + A1x + A2x2 + … +

A14x14

Hãy xác định hệ số A9

Bài 3: 1) Tính    

1 0

1 x ndx (n  N)

1

1 2

1

1 3

1

2

1



















n

C n

C C

n n n n

Bài 4: Chứng minh rằng: 2 1 Cn 2  3 2 C4 n   n  n  1  Cn n  n  n  1  2n2 Bài 5: Tính tổng S = C1 n 2 Cn 2 3 Cn 3 4 Cn 4  1 n1nCn n











Bài 6: Chứng minh rằng: 316C16 0  315C1 16  314C16 2   C16 16  216

Bài 7: Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức sau thành đa thức:

f(x) =  2 x  1 4   2 x  1 5   2 x  1 6   2 x  1 7

Bài 8: Trong khai triển của

10 3

2 3

1











  x thành đa thức:

P(x) = a0  a1x   a9x9  a10x10 Hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0  k  10)

Bài 9: Tìm số nguyên dương n sao cho: C0 n  2 C1 n  4 C2 n   2nCn n  243

2 3

3

32 2 2001 4 4 2001 2000 2000 2001 2000 2001

0

Bài 11: Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng:

n

C C

C

1

1 1 3

1 2

0











n

C

C

C

1

1 2

4

1 2 3

1 2 2

0











Bài 12: Cho đa thức P(x) = (3x - 2)10

1) Tìm hệ số của x2 trong khai triển trên của P(x)

2) Tính tổng của các hệ số trong khai triển trên của P(x)

Bài 13: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức:  n

x2  1 bằng 1024 hãy tìm hệ số a

(a là số tự nhiên) của số hạng a.x12 trong khai triển đó

Bài 14: Trong khai triển nhị thức:

n x

x x





















15

28

3 hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x

biết rằng: Cn n  Cn n1  Cn n 2  79

Bài15: Chứng minh:

1 4

4 3

3 2

1 1

2n Cn  n Cn  . n Cn  . n Cn   nCn n  n n

Bài 16: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức:

17

2

1

















 x

x

x  0

Bài 17: Khai triển nhị thức:

n x n n

n x x

n n

x n

x n

n x n

n x

x

C C

C C



















































































































3

1 3 2

1 1 3

1 2

1 1

2

1 0

2

2

1

2 2

2 2

2 2

2

2

Biết rằng trong khai triển đó C 3 n 5 C1 n và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x

Bài 18: Trong khai triển:

21 3













a

b b

a Tìm số hạng chứa a, b có số mũ bằng nhau.

Bµi 19: Chøng minh r»ng 20 22 24 22n 12 23 25 22n 1

2001 2000 4

2001 4 2 2001 2 0

Bµi 21: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P=C1010 3C101 32C102  33C103  310C1010

Bµi 22: T×m n nguyªn d¬ng sao cho 0 2 1 4 2 2 243









Bài 23: Tính giá trị của biểu thức A= n

n

n n

n

C

2

1 2

2

1 2 2

1

2 3 1 2















với n N

Bài 24: Tìm hệ số của x8 trong khai triển 13 5

( x ) , x>0n

1

4   



n

n

Bài 25: Tìm hệ số của x4 trong khai triển 12 3

( x ) , x>0n

x  biết tổng ba hệ số đầu tiên của khai

triển bằng 79

Bài 26: Tìm hệ số của x26 trong khai triển (

4

1

x +x

1 2 2

1 2 1

1

2n  C n   Cn n  

Bài 27: Cho khai triển

3

4 4 3

3

n

x

x y

y



với x, y >0 biết rằng 12 1 23 1 22n11 1024

      

a Tìm n nguyên dơng b Tìm số hạng có chứa x14y3 trong khai triển

Bài 28: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển 3 41

x

 với x>0 biết rằng Cn3  5 C1n

Bài 29: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển 1 19

x

 với x>0

Bài 30: Có bao nhiêu số hạng là các số nguyên dơng trong khai triển ( 7 35)121

3

a

b b

a

 hãy tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau

Bài 32: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển (a+b)n biết tổng các hệ số của khai triển là 4096

Bài 33: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất trong khai triển

8

1 2

3 3



Bài 34: Cho khai triển

10

1 2

Hãy tìm hệ số ak lớn nhất

trong khai triển trên (0 k 10)

Bài 35: Tìm hệ số của x6 trong khai triển (x+2)4(x+1)5

Bài 36: Tìm hệ số của số hạng chứa x10y4z3t3 trong khai triển (x+y+z+t)20

Bài 37: Gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển của đa thức (x2+1)n.(x+2)n Hãy tìm n nguyên

d-ơng để a3n-3=26n

Bài 38: Tìm hệ số của xn-1 trong khai triển 1 12 1

Bài 18 Chứng minh rằng:

Bài 19 Chứng minh rằng:

Bài 20 Với n là số nguyờn dương, chứng minh hệ thức sau:

Bài 21 Chứng minh rằng:

Bài 22 Tính tổng:

Bài 23 Tính tổng:

Bài 24 Chứng minh rằng:

Bài 25 Cho n là một số nguyên dương:

a Tính : I =  

1

0

) 1

b Tính tổng:

Bài 26 Tìm số nguyên dương n sao cho:

Bài 27 Tìm số nguyên dương n sao cho:

Bài 28 Tìm số tự nhiên n thảo mãn đẳng thức sau:

Bài 29 Tính tổng:

, biết rằng, với n là số nguyên dương:

Bài 30 Tìm số nguyên dương n sao cho:

Bài 31 Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của:

Bài 32 Gọi a3n - 3 là hệ số của x3n - 3 trong khai triển thanh đa thức của:(x2 + 1)n(x + 2)n Tìm n để a3n - 3 = 26n

Bài 33 Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của

n

x

x  









 7

4

1

1 2

2 1 2

1

1

2n  C n   Cn n  

C

Bài 34 Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của:

với x > 0

Bài 35 Tìm số hạng thứ 7 trong khai triển nhị thức:

;

Bài 36 Cho :

Sau khi khai triên và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng?

Bài 37 Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của

, biết rằng:

Tỡm hệ số của , biết ao+a1+a2 = 71

Bài 39 Tìm hệ số của x5 trong khai triển đa thức:

Bài 40 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức

n

x

x 











 3

2 1

Biết rằng:

Bài 41 Giải các phương trình:

;

;

Bài 42 Giải các hệ phương trình:

1 2

3 4

Bài 43 Giải các bất phương trình:

Các bài toán về đẳng thức tổ hợp Bài 18 Chứng minh rằng:

.

Bài 19 Chứng minh rằng:

Bài 20 Với n là số nguyên dơng, chứng minh hệ thức sau:

Bài 21 Chứng minh rằng:

Bài 22 Tính tổng:

Bài 23 Tính tổng:

Bài 24 Chứng minh rằng:

Bài 25 Cho n là một số nguyên dơng:

1 0

) 1 ( x n dx

b Tính tổng:

Bài 26 Tìm số nguyên dơng n sao cho:

Bài 27 Tìm số nguyên dơng n sao cho:

Bài 28 Tìm số tự nhiên n thảo mãn đẳng thức sau:

Bài 29 Tính tổng:

, biÕt r»ng, víi n lµ sè nguyªn d¬ng:

Bµi 30 T×m sè nguyªn d¬ng n sao cho:

Bài tập khai triển nhị thức Newton

Bài 31 Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của:

Bài 32

Gọi a3n - 3 là hệ số của x3n - 3 trong khai triển thanh đa thức của:(x2 + 1)n(x + 2)n Tìm n để a3n - 3 = 26n

Bài 33

Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của

n

x









4

1

1 2 2

1 2 1

1

2n  C n   Cn n  

C

Bài 34 Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của:

với x > 0

Bài 35 Tìm số hạng thứ 7 trong khai triển nhị thức:

;

Bài 36 Cho :

Sau khi khai triên và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng?

Bài 37 Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của

, biết rằng:

Bài 38 khai triển biểu thức (1 - 2x)n ta đợc đa thức có dạng:

Tỡm hệ số của , biết ao+a1+a2 = 71

Bài 39 Tìm hệ số của x5 trong khai triển đa thức:

Bài 40 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức

n

x











2 1

Biết rằng:

Bài tập về phơng trình, Hệ phơng trình, bất phơng trình

đại số tổ hợp

Bài 41 Giải các phơng trình:

Bài 42 Giải các hệ phơng trình:

Bài 43 Giải các bất phơng trình: