Đai so 9 tron bo

Ta dùng tính chất này để đưa một biểu thức trong căn ra ngoài.. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: ta đưa về dạng bình phương và dùng công thức nhân.. phương pháp: ta biến đổi các số nguyên h

ÔN TẬP LỚP 9 - TUYỂN SINH VÀO 10.

vấn đề 1: căn bậc hai.

1 Cho số a ∈ R khi đó nếu có x ∈ R để x2=a thì ta gọi x là căn bậc hai của a

2 Vì x2≥ 0 nên để số a có căn bậc hai thì a ≥ 0

3 Nếu a = 0 ta thấy có một giá trị x =0 Nên có căn bậc hai bằng 0

4 Nếu a > 0 thì luôn có hai giá trị x đối nhau để x2=a Nên có hai giá trị một là √ a: căn bậc hai dương của a và –√ a: gọi là căn bậc hai âm

5 Vậy khi a > 0 thì phương trình: x2=a có hai nghiệm là x= ±√a

2 Điều kiện để A có nghĩa là giá trị của biến để : A ≥ 0

3 Thông thường ta nghĩ A2 =A nhưng điều này là sai lầm Ví dụ: ( 4) − 2 = − 4 làkhông được

5 Ta dùng tính chất này để đưa một biểu thức trong căn ra ngoài Ta làm như sau:

- B1: ta đưa biểu thức trong căn A = dạng bình phương theo HĐT số 1 hoặc2

Vấn đề: khai phương một tích Nhân các căn thức.

1 Khai phương là đưa ra ngoài dấu căn Ta có các công thức sau

2 A.B = A B. với A; B là các biểu thức không âm

3 Tùy bài mà ta dùng các công thức này linh hoạt để khai căn Ví dụ gặp bài

Vấn đề 4: khai phương một thương.

Để khai phương một thương ta dùng công thức : A A

B = B với A ≥ 0 và B >0.Bài tập:

2 2

Vấn đề: biến đổi và rút gọn căn thức bậc hai.

1 Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: ta đưa về dạng bình phương và dùng công thức nhân A B2 = A B;

2 Đưa thừa số vào trong dấu căn: A B = A B2 ;

3 Khử mẫu của biểu thức trong căn: là làm sao cho trong căn không còn mẫu nữa A B = B A B ;

4 Trục căn thức ở mẫu: là làm cho ở mẫu không còn căn nữa A A B.B

1 Đưa thừa số có căn đúng ra ngoài dấu căn:

12.Tính: 21 8 5 + + 21 8 5 −

13.Tính: 8 2 15 − − 8 2 15 +

Dạng 4: phân tích biểu thức thành tích ( nhân tử)

phương pháp: ta biến đổi các số nguyên hoặc các biểu thức thành căn thức sau đótạo thành nhân tử chung hoặc HĐT để dùng

Vấn đề: giải phương trình chứa căn bậc hai:

phương trình chứa căn bậc hai là phương trình có chứa ẩn x nằm trong biểu thức lấy căn

thực chất bài toán giải phương trình giống như bài tìm x để biểu thức sảy ra.phương pháp: ta cố gắng làm sao cho mất căn bậc hai để giải Ta có thể bình phương hai vế để mất căn nhưng khi bình phương phải chú ý là hai vế phải ≥ 0

để an toàn sau khi tìm được x ta thay vào thử để lấy nghiệm

dạng: f x( ) = g x( )ta đặt điều kiện f(x) ≥ 0 và bình phương ta được: f(x) =g(x).dạng: f x( ) =g x( )ta đặt điều kiện g(x) ≥ 0 và bình phương: f(x) = (g(x) )2

Vấn đề: giải phương trình chứa trị tuyệt đối:

Phương trình chưa trị tuyệt đối là phương trình có ẩn x nằm trong dấu lấy trị tuyệt đối

Phương pháp: ta biến đổi làm sao cho mất trị tuyệt đối rồi giải

Để mất trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa là xét dấu biểu thức trong trị tuyệt đối sau đó xét trường hợp để bỏ và giải

Mặt khác ta có thể bình phương hai vế nếu hai vế cùng ≥ 0

Ngoài ra ta có thể dùng tính chất: f x( ) =A với điều kiện a ≥ 0 thì xét hai trường hợp f(x) = a hoặc f(x) = -a để giải

Cho a là một số thực, khi đó tồn tại duy nhất một số x để: x3= a Giá trị x này gọi

là căn bậc ba của số a Kí hiệu: 3 a

a b

=

1 Muốn có hàm số trước hết có hai tập X và Y.

2 Hàm số là một quy tắc biến 1 phần tử của tập X thành 1 và chỉ 1 phần tử của tập Y

3 Để cho quy tắc này thì có thể cho dạng bảng giá trị nhưng thường dùng là cho qua công thức y=f(x) =….theo x

4 x gọi là biến

5 f(x) gọi là hàm số theo biến x

6 Khi cho hàm số f(x) = ……thì f(a) chính là giá trị của hàm số tại x=a

7 Muốn tính f(a) thì chỗ nào có x ta thay bỡi số a trong công thức f(x)=….và tính

11.2 Hàm số nghịch biến (giảm )trên (a;b) nếu … x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) 12.Để biết hàm số đồng biến hay nghịch biến ta làm như sau: ta lấy x1; x2 ∈ (a;b)

ta tính f(x1) và f(x2) sau đó so sánh: f(x1) và f(x2) xem thử cái nào lớn hơn đểkết luận

Chú ý: có thể lập hiệu : f(x1) - f(x2) xem âm hay dương khi x1-x2 < 0 Nếu hiệunày âm thì hàm số y=f(x) đồng biến còn nếu hiệu này dương thì hàm sốy= f(x) nghịch biến

b Hãy biểu diến các điểm tương ứng ở câu a lên mặt phẳng tọa độ oxy.

c Điểm M(1;1) có nằm trên đồ thị hàm số không?

d Điểm N( -2;1) có nằm trên đồ thị hàm số?

e Tìm giá trị a để P(4; a) nằm trên đồ thị hàm số

2 Cho bảng tương quan giữa giá trị x và y như sau:

a Bảng trên cho hàm số có công thức thế nào?

b Hãy chỉ ra TXĐ và tập đích (tập giá trị) của hàm số trên

3 Tính biến thiên: phụ thuộc vào hệ số a

- Nếu a > 0 thì hàm số y=ax+b tăng trên R

- Nếu a < 0 thì hàm số y=ax+b giảm trên R

4 Đồ thị hàm số y= ax+b là một đường thẳng Nên muốn vẽ đồ thị này ta chỉcần chỉ ra hai điểm nằm trên và nối lại là được đồ thị

- Nếu b = 0 thì hàm số y=ax có đồ thị là đường thẳng đi qua gốc tọa độO(0;0)

- Đồ thị hàm số y=ax+b và đồ thị hàm số y=ax là hai đường thẳng song songnếu b ≠ 0

- Đồ thị cắt trục hoành thì ta cho y=0 và tìm x là được điểm cắt.

- Đồ thị cắt trục tung là cho x=0 và thay vào tìm y là được điểm cắt

5 Để vẽ đồ thị ta xác định hai điểm đi qua thường thì cho x = 0 => y=… và choy=0 => x=… Nhưng nhiều khi tùy bài ta cho x=.? Để tìm y cho gọn thì dễ vẽhơn

Ví dụ: y= 1 5

2x−

6 Nếu cho đường thẳng d có phương trình hàm số y = ax+b

- Khi đó đường thẳng d’ song song d sẽ có phương trình dạng: y = ax+b’ vớib’ ≠ b

- Đường thẳng vuông góc với d có phương trình: y = 1 x b

Có nhận xét gì về hai đường thẳng này

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này

2 Vẽ trên cung một hệ trục tọa độ đồ thị các hàm số: y1= -3x+5 và y2 = 13x−10.

Có nhận xét gì về hai đường thẳng này

3 Viết phương trình hàm số có đồ thị là đường thẳng đi qua gốc O và điểmA(1;3)

4 Đường thẳng qua hai điểm A(-1;4) và B(2;6) là đồ thị của hàm số nào?

5 Trong các điểm sau: A(0;3); B(1;6); C(-1;2) và D(-1;3) điểm nào nằm trên đồthị hàm số: y = x+3 Vì sao?

6 Tìm m để điểm M(m;m-1) năm trên đồ thị hàm số: y = 2x+3

7 Tìm hệ số góc của đường thẳng y = ax biết đường thẳng này đi qua A(1;3)

8 Xác định hàm số y=ax+b biết đồ thị hàm số này:

a Qua A(1;4) và song song đường thẳng y=2x-3

b Qua B(-1;4) và vuông góc đường thảng y= 2x-4

c Có hệ số góc a= -2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ ½

1 TXĐ của hàm số là tập các giá trị của biến x để biểu thức f(x) có nghĩa

2 Khi xét biểu thức ta chú ý hai vấn đề:

- Biểu thức lấy căn bạc chẵn (hai, bốn, ) Thì phải ≥ 0

- Biểu thức ở mẫu thức phải khác 0.

- Nếu căn bậc chẵn mà là mẫu nữa thì phải > 0

- Ta lấy giao các điều kiện lại

x x

−

4 y= 2

1 4

x x

1 Phương trình đường thẳng song song trục hoành có dạng : y=b

2 Phương trình đường thẳng song song trục tung có dạng: x=a

3 Phương trình đường thẳng bình thường có dạng: y = ax+b với a là hệ số góc

4 Đường thẳng song song với đường thẳng y=ax+b có dạng: y= ax+b’ với b’ ≠ b

5 Đường thẳng vuông góc với đường thẳng y=ax+b có dạng: y= −1ax+b’

6 Đường thẳng có hệ số góc a có dạng: y=ax+b

Bài tập:

1 Tìm phương trình đường thẳng có hệ số góc a=3 và đi qua M(2;2)

2 Tìm phương trình của đường thẳng (d) qua M(1;-2) và song song với đườngthẳng (d’): y=x+2

3 Tìm phương trình của đường thẳng (d) qua M(1;3/2) và vuông góc với đườngthẳng (d’) :y=2x+1

4 Viết phương trình đường thẳng(d) qua A(1;3) và B(2;4)

5 Tìm phương trình đường thẳng (d) qua A(3;2) và song song với trục hoành

6 Tìm phương trình đường thẳng qua B(2;2) và song song với trục tung

Vấn đề: phương trình bậc nhất hai ẩn.

1 Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng: ax+by=c Trong đó a;b; c là các số thực và trong hai số a và b phải có một số khác 0 gọi là các hệusố

2 Nghiệm của phương trình: ax+by=c là cặp số (x;y) mà khi thay vào phươngtrình ta được đẳng thức đúng

Ví dụ: 2x-3y=7 có (5;1) là nghiệm Còn (3;1) không là nghiệm vì 2.3-3.1 =7sai

3 Vì phương trình: ax+by=c có cặp giá trị là nghiệm nên mỗi nghiệm xét trênmặt phẳng tọa độ là một điểm và tập nghiệm này là đường thẳng

Vậy ax+by=c là một đường thẳng

4 Mỗi phương trình : ax+by = c là có vô số nghiệm

5 Từ ax+by= c => by =c-ax => y=c−baxnếu b ≠ 0 vậy cặp (x0; ax 0

b

c−

) lànghiệm với mọi x0 bất kỳ

Nếu b=0 thì ta dùng : ax = c –by => x=…

3 Trên mặt phẳng Ôxy vẽ các đường thẳng: x+y=2; 2x-y=3 và 2x+y-2=0.

Vấn đề: hệ phương trình tương đương.

1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:{ax+by=c

3 Giải hệ là cũng đi tìm tập nghiệm của hệ đó

4 Ta thấy mỗi phương trình là một đường thẳng nên nghiệm là cặp giá trị nằmtrên hai đường thẳng Vậy nghiệm của hệ trên là giao điểm của hai đườngthẳng

5 Mà hai đường thẳng thì có thể song song; trùng nhau hoặc cắt nhau nên hệcũng sảy ra 3 trường hợp trên

6 Cho hệ phương trình: {ax+by=c

a'x+b'y=c' khi đó:

6.1 Nếu a a'≠ b b'thì hai đường thẳng cắt nahu => hệ có nghiệm duy nhất

6.2 Nếu a a'= b b' =c c' thì hai đường thẳng trùng nhau.=>hệ vô số nghiệm

6.3 Nếu a a'= b b' ≠ c c'thì hai đường thẳng song song => hệ vô nghiệm.

7 Hai hệ phương trình gọi là tương đương nếu chúng có tập nghiệm bằng nhau

Kí hiệu: (1) <=> (2)

8 Các phép biến đổi tương đương thường dùng:

8.1 Nhân (chia) vào hai vế một phương trình một số khác 0

8.2 Lấy một phương trình nhân số khác 0 ± cho phương trình kia nhân số

khác 0

9 Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: {ax+by=c (1)

a'x+b'y=c' (2).

9.1 Phương pháp cộng: ta lấy một phương trình nhân cho m rồi phương

trình kia nhân cho n và cộng lại => được phương trình mới Kết hộ 1phương trình cũ (dễ hơn)

9.2 Phương pháp thế: từ một trong hai phương trình ta lấy phương trình dễ

hơn rút một ẩn theo ẩn kia và thay vào phương trình còn lại ta đượcphương trình theo 1 ẩn và giải Sau đó thay vào tìm ẩn kia

9.3 Phương pháp giải bằng đồ thị:

9.4 Phương pháp giải bằng ẩn phụ: gặp những hệ phức tạp ta đặt một hoặc

hai ẩn phụ để đưa hệ về hệ đơn giản hơn để giải

Giải xong ta thay lại và giải tìm x; y

Vấn đề: giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình:

Nghĩa là từ bài toán đố đã cho ta tìm cách đặt ẩn và đưa về bài toán phương trình để giải

Các bước giải:

- Ta gọi x là một đại lượng nào đó (có 2 cách gọi: trực tiếp hoặc gián tiếp)

- Từ đại lượng đã gọi x ta đi biểu thị các đại lượng có trong bài theo x

- Ta xác định phương trình từ biểu thức so sánh hoặc đẳng thức trong đề bài

- Giải phương trình vừa lập để tìm nghiệm

- Ta đối chiếu lại điều kiện của đại lượng x để chọn nghiệm

1 Khi giải bài toán bằng cách lập hệ thì các bước làm tương tự Nhưng thay vào

đó là ta gọi bằng hai ẩn và lập được hai phương trình để giải

2 Vấn đề phân tích đề bài là rất quan trọng nên ta cố gắng phân tích kĩ trước khi giải.

Bài tâp:

1 Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 5 cm Tính các kích thước của hình chữ nhật biết chu vi là 70 cm

2 Tìm hai số có tổng bằng hiệu bình phương của chúng là 23

3 Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể cạn trong 6 giờ thì đầy Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ cùng vòi thứ hai chảy trong 3 giờ thì đầy 2/5 bể Tính thời gian để mỗi vòi chảy một mình đầy bể

4 Hai; ba và tư mỗi người có một ít vở Nếu tư đưa cho hai 1 quyển thì số vở của tư gấp đôi số vở của hai còn nếu hai đưa cho tư 3 quyển thì số vở của tư gấp bốn lần của hai Biết rằng số vở của ba bằng 2/7 tất cả số vở của ba người.Hỏi mỗi người có bao nhiêu vở

5 Tìm một số có tổng hai chữ số biết tổng hai chữ số đó bằng 8 và nếu đổi chỗ hai chữ số ấy cho nhau thì được số lớn hơn số đã cho 36 đơn vị

6 Hai ôtô khởi hành cùng một lúc tại hai địa điểm a và b đi ngược lại nhau Sau khi khởi hành được 2 giờ thì họ gặp nhau và cách trung điểm của ab là 15km Nếu khởi hành lại và vận tốc của ôtô chạy nhanh hơn lúc nãy giảm đi một nửavận tốc ban đầu thì hai xe sẽ gặp nhau sau khi khởi hành 2 giờ 48 phút Tìm vận tốc mỗi xe

Vấn đề: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=ax2

1 Hàm số y=ax2 là hàm số bậc hai nếu a ≠ 0

2 Đồ thị của hàm số này có tên gọi là Parabol Kí hiệu: (P)

6 (P) này có tính chất đối xứng qua trục Oy

7 Để vẽ đồ thị ta chọn một vài giá trị tại x= -2; -1; 0 ; 1 và 2 => y tương ứng và biểu diễn các điểm này lên mặt phẳng Oxy và nối theo đường cong trơn tạo ra

Tìm tọa độ giao điểm M và N của (P) và (d) trên.

Từ M kẽ MH⊥ xx’ và từ N kẽ NI ⊥ x’x Tính diện tích tứ giác MHIN

Vấn đề: giải phương trình bậc hai.

1 Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax2+bx+c = 0 với a ≠ 0 a; b và

c là các số thực gọi là hệ số

2 Các định nghĩa về nghiệm cũng như phương trình bậc nhất một ẩn

3 Phương pháp giải và biện luận:

3.1 Ta lập biệt thức ∆ = b2- 4ac

3.2 Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

3.3 Nếu ∆ =0 thì phương trình có nghiệm kép x1=x2= −2a b (nghiệm kép tức

là hai nghiệm trùng nhau.)

3.4 Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

2

2 2

b x

a b x

4 Ngoài ra ta có phương pháp nhẩm nghiệm rất nhanh( nhờ định lí viet):

- Nếu các hệ số thỏa a+b+c =0 thì phương trình có nghiệm x1=1 ; x2= c/a

- Nếu các hệ số thỏa a-b+c =0 thì pt có nghiệm x1=-1 ; x2= -c/a

5 Đồ thị của hàm số y=ax2+bx+c cũng là một (P) nếu a ≠ 0 Nó khác (P) y=x2 ở các điểm sau:

5.1 Thay đỉnh là gốc O(0;0) bỡi đỉnh là i2−b a;−4∆a÷

  Ta chỉ cần tính x= 2

b a

−

và thay vào phương trình là được y luôn khỏi tính ∆ cho mệt

5.2 Thay trục đối xứng Oy có phương trình x=0 bỡi trục đối xứng x= 2−b a5.3 Ta thay mốc của khoảng biến thiên Lúc trước chọn số 0 thay bỡi số −2a b5.4 Còn các tính chất đối xứng , biến thiên và dáng điệu cơ bản không thay

đổi gì

6 Ta có thể dùng đồ thị để biện luận nghiệm của phương trình chứa tham số m:6.1 Ta vẽ đồ thị hàm số y=ax2+bx +c

6.2 Ta chuyển phương trình chứa tham số về dạng ax2+bx+c = f(m)

6.3 Khi đó dựa vào đồ thị mà ta xét đường thẳng y=f(m) cắt đồ thị tại bao

nhiêu điểm

Ví dụ: dùng đồ thị để giải và biện luận phương trình : 2x2- 5x +3-m = 0

7 Định lí viet: dùng khi phương trình bậc hai có nghiệm tức là khi ∆≥ 0 Chú ý

là hệ số a ≠ 0 mới có phương trình bậc hai mới lập được ∆

Đlí: cho phương trình bậc hai : ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm x1; x2 khi đó:

x1+x2 = −a b và x1.x2 = a c

Ta dùng định lí này để nhẩm nghiệm cho nhanh mà không cần giải

Dùng để tính tổng, tích, ……của hai nghiệm mà không cần phải giải.

Vấn đề: áp dụng định lí viet để giải toán về phương trình bậc hai.

1 Định lí viet: dùng khi phương trình bậc hai có nghiệm tức là khi ∆≥ 0 Chú ý

là hệ số a ≠ 0 mới có phương trình bậc hai mới lập được ∆

Đlí: cho phương trình bậc hai : ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm x1; x2 khi đó:

x1+x2 = −a b và x1.x2 = a c

2 Muốn tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai ta xét:

- Xem a+b+c = 0 ? Nếu Đ=>…………

- Xem a-b+c = 0 ? Nếu Đ=> …………

- Ta nhẩm 2 số có tổng là : -b/a và tích bằng c/a và nhẩm tìm hai số đó:

- ta được phương trình nhận x1 và x2 l àm nghiệm l à: x2-Sx+P=0

Chú ý: để phương trình có nghiệm thì phải có điều kiện: S2-4P ≥ 0 Nên ta thử nếu lập S và P thỏa : S2 -4P ≥ 0 thì lập phương trình còn không thỏa thì kết luận không có phương trình bậc hai nào nhận x1 và x2 làm nghiệm

ta có thể làm cách khác như sau: x1 và x2 luôn là nghiệm của phương trình bậc hai: (x-x1)(x-x2) = 0 Sau đó ta nhân ra là xong

Ví dụ: tìm phương trình bậc hai nhận 4 và -3 làm nghiệm:

ta có tổng S=4+(-3) = 1 và tích P= 4.(-3) = -12 nên 4 và -3 là nghiệm phương trình: x2+x-12 = 0

hoặc ta có 4 và -3 là nghiệm phương trình (x-4)(x-(-3)) = 0 nhân ra ta được: x2+x-12 = 0

Ta có nhận xét là mọi cặp số đều có phương trình nhận nó làm nghiệm

4 Muốn tìm hai số thỏa mãn điều kiện đã cho nào đó ta đưa các biểu thức đề bài cho về dạng chỉ có tổng và tích của hai số Sau đó tìm cho được tổng và tích của hai số đó Chẳng hạn: a+b= S và a.b =P

Cuối cùng ta giải phương trình: x2-Sx+P= 0 và khẳng định a; b

Chú ý: thường là ta được hai cặp vì vai trò của a ; b đổi được cho nhau

5 Cho phương trình bậc hai Yêu cầu không giải phương trình hãy tính biểu thứccủa hai nghiệm Ví dụ: A= x1+x2-x1.x2;

trước hết ta chú ý hệ số a ≠ 0 và Điều kiện ∆≥ 0 để có nghiệm mới dùng Viet

nếu a=0 thì ta có phương trình bạc nhất và có nghiệm ngay.

Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm không tính được giá trị biểu thức

Ta cố gắng biến đổi đưa biểu thức cần tính về dạng chỉ có tổng và tích của x1

và x2

cuối cùng ta áp dụng Viet để thay vào được ngay giá trị biểu thức đó

Khó nhất trong bài này là đưa biểu thức về dạng có tổng và tích hai nghiệm

Ta thường dùng các HĐT: a2+b2=(a+b)2-2ab (a-b)2= (a+b)2- 4ab

6 Cho một phương trình bậc hai có nghiệm x1; x2 hãy lập phương trình bậc hai

có nghiệm y1; y2 phụ thuộc theo hai nghiệm trên