khao sat ham so - luyen thi dai hoc

Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau... Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng mà từ đó kẻ được đến P hai tiếp tuyến vuông góc với nhau ĐS : những điểm trên đường thẳng y

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

TÌM GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG

1 Tìm m để (C) : y = –2x3 + x + 1 cắt (P) : y = m(x2 – 1)

tại ba điểm phân biệt

ĐS :

5 m

2

 ≠ −





 < − ∨ > +



2 Tìm m để (Cm) : y = x3 – (m + 2)x2 + (1 + 2m – m2) x

cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ không dương

ĐS : 1 2 m 0 4 m 1 2

5

− < < ∨ < < +

3 Tìm m để (C) : y = x4 cắt (P) : y = (3m + 4)x2 – m2 tại 4

5

− < ≠

4 Cho (C) : y = x3–3(m+1)x2 + 2(m2+ 4m+ 1) x –

4m(m+1) Tìm m để (C) cắt Ox tại 3 điểm có

hoành độ lớn hơn 1 (ĐS : 1 m 1

2< ≠ )

5 Biện luận theo m số giao điểm các đồ thị sau :

a) (Pm) : y = x2 + mx + 2m – 1 và d : y = x + 1

b) (C) : y = x3 – 4x2 + 4x và d : y = mx

c) (Cm) : y = x4 + 2(m – 2)x2 + m2 và trục Ox

d) (P1) : y = x2 + 2x – 2m và (P2) : y = mx2 + mx + 3

e) (Cm) : y = mx3 + x + 8m và (P) : y = x2 + 3x

f) (C) : y = x2 2x 2

x 1

− +

− và d : y = – x + m – 1

6 Cho (C) : y x2 x m

x m

− + +

=

+ Tìm các giá trị của m để (C)

cắt đường thẳng y = x – 1 tại 2 điểm phân biệt Khi

đó gọi y1 , y2 là tung độ các giao điểm Tìm hệ thức

liên hệ giữa y1 và y2 không phụ thuộc vào m

ĐS : m <– 6 – 4 2; m > – 6 + 4 2 và m≠0

2(y1 + y2 +2) – (y1 + 1)(y2 + 1) = 2

7 Tìm m để (C) : y = x2 x 1

x 1

− +

− cắt đường thẳng y = m

tại hai điểm AB sao cho AB = 2

ĐS : m = 1 ± 6

8 Cho (C) : y = x3 – 3x2 – 9x + m Tìm m để (C) cắt Ox

tại 3 điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng

ĐS : m = 11

9 Cho (C) : y = x4 – 2(m+1)x2 + 2m + 1 = 0 Tìm m để (C) cắt Ox tại 4 điểm có hoành độ lập thành một cấp

số cộng (ĐS : m = 4 hay m = - 4/9 )

10 a) CMR : Nếu đồ thị hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d cắt

Ox tại 3 điểm cách đều nhau thì điểm uốn thuộc 0x b) Cho y = x3 – 3mx2 + 2m(m- 4)x + 9m2 – m Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau

ĐS : b) m = 1

11 CMR : y = 32x3+ (cosa – 3sina)x2– 8(cos2a + 1)x +1 luôn có cực đại và cực tiểu tại x1 và x2 thoả :

2 2

1 2

x +x 18≤

12 Cho a < b < c Xét hàm số y = (x – a)(x – b) (x – c)

a) CMR : hàm số luôn có cực đại và cực tiểu b) So sánh hoành độ cực đại và cực tiểu với a , b ,c c) Cho b = 0 Tìm điều kiện giữa a và c để điểm uốn thuộc đồ thị hàm số y = x3

ĐS : b) a < x1 < b < x2 < c ; c) a+c = 0

13 Cho (C) : y x2 2x 2

x 1

− +

=

− và d: y = – x + m

a) Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm A , B đối xứng qua đường thẳng d1 : y = x+3

b) Tìm k để trên (C) có 2 điểm P ,Q khác nhau thỏa :

P p

Q Q

+ =



 + =

CMR : khi đó P ,Q thuộc 1 nhánh của (C)

ĐS : a) m = 9 ; b) k 1 2 2 k 1 2 2< − ∨ > +

14 Cho (Cm) :y x2 (m 2)x m

x 1

+ + −

=

+

a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu b) Tìm m để đường thẳng y = – x – 4 cắt đồ thị tại 2 điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y = x

ĐS : a) m < –1/2 ; b) m = 1 SỰ TIẾP XÚC GIỮA 2 ĐƯỜNG

TIẾP TUYẾN

15 Cho (C): y = (x + 1)2(x – 1)2

a) Tìm b để (P) : y = 2x2 + b tiếp xúc với (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến chung tại tiếp điểm

ĐS : a) b = 1hay b = -3 ; b) y = 1 hay y = 4 2x 7± −

16 Cho y = 2x3 + 3(m+3)x2 + 18mx + 8 Tìm m để đồ thị

hàm số tiếp xúc với trục hoành

ĐS : m = 1 hay m = 4 ± 2 6 hay m = 35/27

17 Cho (C) : y = x3 + 3x2+ 3x + 5

a) CMR : trên (C) không tồn tại 2 điểm sao cho tiếp

tuyến với (C) tại 2 điểm đó vuông góc với nhau

b) Tìm k để trên (C) có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến

tại điểm đó vuông góc với đường thẳng y = kx

ĐS : k < 0

18 Cho hàm số y = x2 3x 3

x 2

+ + +

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị vuông góc

với đường thẳng 3y – x + 6 = 0

c) Xác định tọa độ các tiếp điểm trên

ĐS : 2) y = - 3x – 3 ; y = - 3x -11

19 Cho hàm số y = x + 4x2+2x 1+ Tìm những điểm

trên trục tung sao cho từ đó kẻ được ít nhất một tiếp

tuyến đến đồ thị

ĐS : (0,m) với 1 m 1

2

− < ≤

20 Cho y = x3– 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2

a) Tìm m để hàm số đồng biến trên(0,+∞)

b) Khi m = 2 Từ A(–2,5) kẻ được mấy tiếp tuyến đến

đồ thị

ĐS : a) m 5

12

≤ ; b) Có 3 tiếp tuyến

21 Cho (C) : y = x3– 3x2 + 2

a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) qua A(23/9,–2)

b) Tìm trên đường thẳng y = –2 các điểm mà từ đó kẻ

được đến (C) 2 tiếp tuyến vuông góc

ĐS : a) y =-2,y = 9x-25,y = -5x/3 + 61/27 ; b) (55/27,-2)

22 Cho (H) : y x2 3x 4

2x 2

− +

=

−

a) M là một điểm tùy ý trên (H) Tiếp tuyến với (H)

tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại A và

B CMR : M là trung điểm AB và diện tích tam giác

IAB không phụ thuộc vị trí điểm M ( với I là giao

điểm 2 tiệm cận )

b) Tìm trên (H) những điểm đối xứng nhau qua đường

thẳng có phương trình y = x

ĐS : a) S = 2 ; b) (15 57 15, 57)

23 Cho y (3m 1)x m2 m

x m

+ − +

=

của đồ thị với Ox , tiếp tuyến với đồ thị song song với đường thẳng y +10 = x Viết pt tiếp tuyến ấy

ĐS : m = –1 ; m = –1/5 ; y = x + 1 ; y = x – 3/5

24 Cho (C) : y = x2 2x 2

x 1

+ + +

a) Lấy A trên (C) với xa = a Viết phương trình tiếp tuyến ta với (C) tại A

b) Tìm a để ta qua (1,0) CMR : có 2 giá trị của a thỏa và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

ĐS : b) a 3 5

2

− ±

=

25 Cho hàm số y = x3 3mx2 2

m

a) Tìm m để đồ thị hàm số có tâm đối xứng là (1,0) b) Cho m = 2 Tìm những điểm trên đường thẳng

y = 2 mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị

ĐS : a) m = 1 ; b) (a,2) với a 1 5 a 2

3

< − ∨ < ≠

26 Cho hàm số y = (m 1)x2 2mx (m3 m2 2)

x m

m≠ −1 a) Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng (0,2)

b) CMR : Tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một parabol cố định

c) Tìm m để tâm đối xứng của đồ thị thuộc Parabol :

y = x2 + 1 Khảo sát hàm số với m vừa tìm d) Tìm trên Ox những điểm sao cho từ đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyến với đồ thị (C)

ĐS : a) Không có m ; b) y = – x2/4 + 3x/2 – ¼ c) m = 1 ; d) (1,0) ; (0,0)

27 Cho 3 điểm A, B, C trên (C) : y = x3– 3x + 2 Các tiếp tuyến với (C) tại A, B, C cắt lại (C) tại M, N, P CMR : Nếu A, B, C thẳng hàng thì M, N, P thẳng hàng

BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

28 a) Khảo sát hàm số y = x2 2x 1

x 2

− +

− Biện luận theo

m số nghiệm pt : x2 – (m + 2)x + 2m + 1 = 0

b) Khảo sát hàm số y = x2 3x

x 1

−

− Biện luận theo m

số nghiệm dương của pt : x2 + (m – 4)x + 1 – m = 0

c) Khảo sát hàm số y = x3 – 3x + 2 Biện luận theo m

số nghiệm pt : x3 – 3x – m2 – 7 = 0

d) Khảo sát hàm số y = – x3 +3x2 – 3x + 2 Biện luận

theo m số nghiệm pt : x3 – 3x2 + 3x + m – 2 = 0 và

so sánh các nghiệm đó với 2 số 1 và –1

e) Khảo sát hàm số y = 2x 1

x 2

+ + Biện luận theo m số

nghiệm lớn hơn – 3 của pt : (3m – 2)x + 6m – 1 = 0

29 Định m để phương trình :

a) sin2x + (m – 2)cosx + 1 – m = 0 có nghiệm

b) x2 + (3 – m)x + 3 – 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt

thuộc đọan [–3, 0]

c) x4 – 4x3 + 4x2 = m2 – m có 4 nghiệm phân biệt

d) x3 – x2 + 18mx – 2m = 0 có 3 nghiệm dương phân

biệt

e) (m – 1)x2+(3 – m)x+m – 2 = 0 có nghiệm thuộc

[0,5]

f) msin2x + (m – 1)sinx + m – 1 = 0 có nghiệm

g) sin4x + (1 + sinx)4 = m có nghiệm

h) 2cos3x + 3cos2x + 6cosx + 6 = m có nghiệm

i) cos2x – (2m+1)cosx + m + 1 = 0 có nghiệm thuộc

khoảng ( , ) 3

2 2

π π

j) x4 – 6x3 + mx2 – 12x + 4 = 0 có nghiệm

k) x + 2x2+ 1 = m có nghiệm

l) x + 3 = m x2+ 1 có nghiệm

m) 4 (4 x)(2 x) − + = − x2+ 2x m 18 − + có nghiệm

n) (x2 + 2x)2 – (m + 1)(x2 + 2x) + m + 1 = 0 có 3

nghiệm phân biệt thuộc đoạn [– 3, 0]

o) (4 x)(6 x) x + − = 2− 2x m + có 2 nghiệm phân

biệt thuộc [0, 6]

ĐS : a) m ≤ 2 ; b) 1 < m ≤ 3/2 ;

− < < ∨ < < +

e) 3 2 3 m 2

3

g) 1/8 ≤ m ≤ 17 ; h) 1/18 ≤ m ≤ 17/18

i) –1 ≤ m < 0 ; j) m ≤ 13 ;

2

≥ ; l) − < ≤ 1 m 10 ; m) 6 ≤ m ≤ 10 n) – 3/2 < m < –1 ; o) 2 6 ≤ m < 6

30 Biện luận theo m số nghiệm các phương trình

a) x4 + 4x3 + 8x = m b) x3 – 3x + 2 = 2(m2 1)

m

+

2

x+ + =1 − + +

−

31 a) Khảo sát hàm số y = x4 – 4x3 + 3 b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình

x4 – 4x3 + 8x + m = 0

32 a) Khảo sát hàm số y = (x+1)2(2–x) Biện luận theo m số nghiệm pt : (x + 1)2(2 – x) = (m + 1)2(2 – m) b) Khảo sát hàm số y = (x + 1)2(x – 1)2 Biện luận theo m số nghiệm của pt : (x2 – 1)2 – 2m + 1 = 0

33 Khảo sát hàm số y =

2 3 3

2

+ + +

x x

nghiệm phương trình và so sánh với – 3 và –1 :

x2 + (3-m)x + 3 – 2m = 0

34 Khảo sát hàm số y = x2 x 2

x 3

− +

− Biện luận theo m

số nghiệm x∈ [ 0 ,π] của phương trình :

cos2x – (m+1)cosx + 3m + 2 = 0

HỌ ĐƯỜNG CONG

35 CMR : đồ thị hàm số sau luôn đi qua một điểm cố

định y = x3– 3(m+1)x2– 2(m2+4m+1)x – 4m(m+1)

36 CMR : đồ thị hàm số y = x2(m – x) – m luôn cắt đường thẳng y = kx + k + 1 tại một điểm cố định

ĐS : (–1,1)

37 Cho hàm số y = (m 1)(x2 2x) 4 m

mx m

− − + +

mọi m khác 0 và –1/4 , đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận cố định , còn tiệm cận thứ 2 luôn đi qua một điểm cố định

ĐS : x = –1 ; Tiệm cận thứ 2 qua (3,0)

38 Cho (Cm) : y = 2x3 + 3(m+3)x2 + 18mx – 8 CMR : trên (P) : y = x2 có 2 điểm không thuộc đường nào của họ (Cm)

ĐS : (0,0) và (6,36)

39 CMR : Họ đường cong sau luôn đi qua một điểm cố

định y = x3– (m+1)x2 – (2m2–3m+2)x + 2m(2m–1) Từ đó tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox

ĐS : (2,0) ; m = –2 , 3/2 , 1/3

40 Cho (Cm) : y = 2x2 (m 2)x

x 1

+ −

tọa độ những điểm mà không có đường cong nào

của họ đồ thị đi qua

ĐS : Những điểm trên đường thẳng x = 1, x = 0 trừ (0,0)

41 Cho (Cm) : y = (3m 1)x m2 m

x m

+ − +

a) CMR: (Cm) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định

b) Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm mà không

có đường cong nào của họ đi qua

ĐS : a) y = x + 1 ; y = 9x + 1 ; b) (a,1) với 2 < a < 10

42 CMR : Parabol y = x2 + (2m+1)x + m2 – 1 luôn tiếp

xúc với một đường thẳng cố định

ĐS : y = x – 1

43 Cho (Cm) : y = x3+ (m +m)x2 – 4x – 4(m +m)

Tìm điểm cố định của họ đường cong

ĐS : (2,0) ; (–2,0)

TẬP HỢP ĐIỂM

44 Cho (C) : y = x2 4x 3

x 2

+ + +

a) Khảo sát hàm số

b) Tìm k để d: y = kx + 1 cắt (C) tại 2 điểm A, B

c) Tìm quỹ tích trung điểm của đoạn AB

ĐS : k 1;y 2x2 5x 2

2(x 1)

+ +

≠ =

+

45 Cho (C) : y = x4 3x2 5

2 − +2 Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm M trên (C) có hoành độ a

a) Tìm a để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, P ,Q

b) Tìm quỹ tích trung điểm I của PQ

ĐS : a/ 1 a≠ <2 3 ; b/y 7x4 9x2 5;1 x2 3

=− + + ≠ <

46 CMR : với mọi m, (Cm) : y = x3 + 3x2 + mx +1 luôn cắt

(C) : y = x3 + 2x2 + 7 tại 2 điểm phân biệt A ,B Tìm

quỹ tích trung điểm của AB

ĐS : y = 4x3 + 4x2 + 18x + 9

47 Cho (C) : y =

1

4 2

+

+

x x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b) Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng d: y = –2x + m

c) Khi d cắt (C) tại 2 điểm A, B Tìm quỹ tích trung điểm của đoạn AB

ĐS : c) y = 2x + 4 với x < -2 hay x > 0

48 Cho (Hm) : y = x2 mx 6

x 2m

− − +

a) Tìm m để (Hm) là hypebol b) Khi đó , tìm quỹ tích các tâm đối xứng của (Hm)

49 Cho (Cm) : y = x2 mx 2m 4

x 2

+ − − +

a) Tìm m để hàm số có 2 cực trị b) Tìm quỹ tích các điểm cực trị

ĐS : a) m < 0 ; b) y = – x2/4 + x – 1 trừ (–2 ,–4)

50 Cho (P) : y = x2 – 2x – 3 Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng mà từ đó kẻ được đến (P) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

ĐS : những điểm trên đường thẳng y = –17/4

51 Cho (C) : y = (4 - x)(x – 1)2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Gọi A là giao điểm của (C) với Oy , d là đường thẳng qua A có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C

c) Tìm quỹ tích trung điểm của đoạn BC

ĐS : a) 9 k 0− ≠ < ;b) Đường thẳng x = 3 với

4

23≠ <

52 Cho (Cm) : y = (m 2)x 4mx 3m 1++ +− a) Tùy theo m khảo sát sự biến thiên của hàm số b) Khảo sát hàm số với m = 0

c) Tìm tập hợp tâm đối xứng của (Cm)

ĐS : c) x – 8y + 4 = 0 trừ (4,1) và (–1,3/8)

53 Cho (Cm) : y =

1

) 2 (

2 2

−

− +

x

x m x

a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu b) Tìm quỹ tích các điểm cực đại

c) Tìm quỹ tích các điểm cực tiểu

ĐS : a) m > 0 ; b) y = 2x2 với x < 1 ; c) y = 2x2 với x > 1

54 Cho (P) : y = ax2 + bx + c

a) Cho biết (P) tiếp xúc với đường thẳng y = 2x + 1 tại

điểm (1,3) Hãy biểu diễn b, c qua a

b) Với điều kiện của câu 1/ Tìm quỹ tích đỉnh (P)

ĐS : a) b = 2(1-a) , c = 1 + a ; b) y = x + 2 trừ (1,3)

ĐƯỜNG THẲNG QUA CÁC ĐIỂM

ĐẶC BIỆT

55 Lập phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị

của đồ thị các hàm số sau

a) y = x3 – 3x2 – 9x + m

b) y = –2x3– mx2 + x + m + 1

c) y = x3– 3mx2 + 3(m2 – 1) x – m3

d) y= x3 + (m – 1) x2 – (m + 3) x – 1

e) y = x2 mx 6

x m

+ −

− .

ĐS : a) y =- 8x+ m- 3 ; b) y=91(m2+ 6)x+17m8 +1;

c) y= – 2x – m.

d) y= 1/9 (2m2– 10m – 16) x+1/9 (m+ 3)(m – 1) – 1

e) y= 2x+ m

56 Cho (Cm):y=(m+ 3)x3– 3(m+ 3)x2– (6m+ 1)x + m + 1

a) CMR: (Cm) luôn luôn qua 3 điểm cố định

b) Lập phương trình của đường thẳng đi qua 3 điểm cố

định ấy

ĐS : b) y= 17x – 2

57 Cho (Cm) : y =

1

2

2

−

+ +

x

m x x

a) Tìm m để hàm số có cực trị

b) Lập phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị

của (Cm)

ĐS : a) m < –2 hay m> 0 ; b) y= – x/2 – m.

58 Cho (Cm) : y= x m2

+ +

CMR: Nếu (Cm) có ba điểm uốn thì chúng thẳng hàng và

lập phương trình đường thẳng qua ba điểm uốn

ĐS : x – 4y+ 3m = 0.

59 Cho (P) : y= x2- 4x+ 4 và điểm M(-1,-1)

a) CMR: Từ M kẻ được hai tiếp tuyến với (P)

b) Lập phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm

của hai tiếp tuyến ở trên

ĐS : b) 6x+ y – 13= 0

TRỤC ĐỐI XỨNG , TÂM ĐỐI XỨNG

60 CMR : Các đồ thị các hàm số sau nhận đường thẳng x

= 1 làm trục đối xứng a) y = x4 – 4x3 + 7x2 - 6x + 4 b) y = x4 – 4x3 – 2x2 + 12x – 1 Từ đó tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành

ĐS : b) (1± 4 3 2 ,0+ )

61 Định m dể các đồ thị sau có trục đối xứng song song

trục tung : a) y = x4 + 4ax3 – 2ax2 – 12ax b) y = x4 + 4x3 + mx2

c) y = x4 + (m+3)x3 + 2(m+1)x2

ĐS : a) m =1 , m = - 3/2 ; b) m = 4 ; c) m = 1

62 CMR : Đồ thị các hàm số sau nhận đường thẳng d làm

trục đối xứng a) y = +13

+

x

x ; d : y = x + 4 b) y = −11

+

x

x ; d : y = x + 2 và d : y = - x

63 CMR : Đồ thị các hàm số sau nhận điểm I làm tâm

đối xứng a) y = 2x x−+13 ; I(1,2) b) y = 2 2

1

x x

−

− ; I(1,2)

ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ DẤU GÍA

TRỊ TUYỆT ĐỐI

64 Cho hàm số y = x2x 2+ −x 3

a) Khảo sát hàm số trên

b) Từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị của hàm số

y =

2

x x 3

x 2

+ −

c) Tìm các điểm trên trục Ox sao cho từ đó có thể vẽ đến đồ thị hàm số (1) đúng một tiếp tuyến

65 Cho hàm số y = x2x 2− +x 2

− a) Khảo sát hàm số b) Tìm tập hợp các điểm N(x,y) có tọa độ thỏa

2

x x 2 y

x 1

− +

≥

− c) Biên luận theo m số nghiệm của phương trình :

cos2x – (m+1)cosx + m + 2 = 0 , x [0, ] ∈ π

66 Khảo sát hàm số y = x 3 1

x 1

+ +

+ Chỉ rõ giao điểm của đồ thị với trục hoành

67 Cho hàm số y =

2

x 2 x 2

x 1

− a) Xác định các cực đại và cực tiểu của hàm số, các

tiệm cận của đồ thị và vẽ đồ thị

b) Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị kẻ từ

điểm A(3,0)

c) CMR :∀ ∈k Rthỏa k >1thì đường thẳng y = kx+ m

luôn cắt đồ thị với mọi m

68 a) Khảo sát hàm số y =x2 3x 3 ; (C)

x 1

+ b) Tìm 2 điểm A, B trên (C) sao cho khoảng cách giữa

chúng nhỏ nhất

c) Vẽ đồ thị hàm số y =

2

x 3x 3 ;

x 1

+

69 Cho hàm số y = x2 x 1 ; (C)

x 1

− − + a) Khảo sát hàm số trên Suy ra đồ thị hàm số

y = x2 x 1

x 1

− − + b) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song song

với đường thẳng y = x

c) Tìm trên (C) những điểm có hoành độ lớn hơn –1

sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm đó tạo với 2

tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

70 Cho hàm số y = x2 3x p

x 4

− a) Tìm p để hàm số có giá trị cực đại M và giá trị cực

tiểu m thỏa : m – M = 4

b) Khảo sát hàm số khi p = 0 Từ đó suy ra đồ thị các

hàm số :

x 3 x x 3x

x 4 x 4

x 3x x 3x

x 4 x 4

TOÁN TỔNG HỢP

71 a) Khảo sát hàm số y = x3 – 6x2 + 9x – 3 (C)

b) Gọi d là đường thẳng qua điểm uốn I của (C) và có

hệ số góc m Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm I, A, B

sao cho độ dài AB = 2 3

ĐS : b) m = 0 m 3 5

2

− ±

∨ =

72 a) Khảo sát hàm số y = 2x2 3x

x 2

−

b) CMR : đường thẳng d : y = 15 cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N Tính diện tích tam giác tạo bởi 2 điểm M, N và điểm cực đại của (C)

ĐS : b) S = 7 21

73 a) Khảo sát hàm số : y = x2 x 1

x 1

− +

b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt (C) tại 2 điểm A,

B sao cho AB = 2

c) Tìm 2 điểm thuộc hai nhánh của (C) sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất

d) CMR : Tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến 2 tiệm cận của (C) là một hằng số

ĐS : a) m =1± 21 ; c) (1±42,1±42±412) ; d) 12

74 Cho (C) : y = x cost 2x.sint 12

x 2

+

a) Khảo sát và vẽ đồ thị với t = 0 b) Khi t thay đổi, tìm bán kính lớn nhất của đường tròn tâm O và tiếp xúc với tiệm cận xiên của (C)

ĐS : b) 6

75 Cho (C) : y = x2 x 5

x 2

+ −

−

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b) Tìm 2 điểm thuộc hai nhánh của (C) sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất

c) CMR : Tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến 2 tiệm cận của (C) là một hằng số

ĐS : b) (2 42,5 42 41 ) ; c) 12

2

± ± ±

76 Cho (Hm) : y = (m 1)x m−x m+ − a) Khảo sát và vẽ đồ thị (H) với m = 1 b) Tìm trên (H) những điểm có tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất

c) CMR : với m khác 0 , (Hm) luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định

ĐS : 2/ (0,-1) ; (-2,1); 3/ y = x –1

77 Cho (P) : y = x2 + (2m+1)x + m2 – 1

a) Tìm tập hợp các đỉnh của (P)

b) CMR : Khoảng cách giữa các giao điểm của (P) với

đường thẳng y = x không phụ thuộc m

c) Với m = –1/2 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho OM có

độ dài nhỏ nhất CMR : khi đó đường thẳng OM

vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M

ĐS : a) y = x – ¾ ; b) 2 2 ; c) xM=±1/2

78 Cho hàm số y = 2x2 3x m

x m

− +

−

a) Tìm m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

b) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu thỏa

cd ct

y −y >8

c) Cho m khác 0 và 1 CMR: tiếp tuyến với đồ thị tại

giao điểm của nó với trục tung luôn cắt tiệm cận

đứng tại điểm có tung độ bằng 1

ĐS : a) m = 0 , 1 ; b) m 1 5 m 1 5

< ∨ >

79 a) Khảo sát hàm số y x2 x 2

x 1

− +

=

−

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

1

2

2

−

+

−

x

x

x

= log2m

80 Khảo sát hàm số y = x + 1 +x1−1

2 , 0 [ π

x x gx tgx+ + + )=

cos

1 sin

1 cot

( 2 1

81 Khảo sát hàm số y = x2 x

2x 2

+

− Biện luận theo m số

nghiệm phương trình : x2x 22+−x = m

82 Khảo sát hàm số y = x2

x 1− Biện luận số nghiệm

phương trình : t4 – mt3 + (m+2)t2 – mt + 1 = 0

83 Cho (Cm) : y = x4 – 2(m-1)x2 + 4m – 6

a) CMR : (Cm) qua 2 điểm cố định A, B (xA > 0)

b) Định m để tiếp tuyến của (Cm) tại A song song với

đường thẳng d : y = 4 2x

c) Khảo sát hàm số với m = 2 , gọi đồ thị là (C) Viết

phương trình tiếp tuyến với (C) qua I(0,2)

d) Định k để đường thẳng y = k cắt (C) tại 4 điểm M,

N, P, Q sao cho MN = NP = PQ

e) Định m để hàm số đồng biến khi x≥ 0

ĐS : a) A( 2,2);B( 2,2)− ; b) m = 2

c) y = 2; y =±4 6x 2; d) k+ = 42; e) m 1≤

84 Cho hàm số y = − +

−

2

x 4x m

1 x

a) Định m để hàm số

a1) Luôn giảm trên từng khoảng xác định

a2) Có đồ thị là một đường thẳng b) Định m để hàm số đạt cực trị tại x = 2 Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (C) với m vừa tìm

c) Một đường thẳng d qua A(-1,0) và có hệ số góc k

c1) Biện luận theo k số giao điểm của d và (C)

c2) Khi (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt M, N Tìm qũy tích trung điểm của MN

ĐS : a1) m < 3; a2) m = 3; b) m = 4;

c2) y = −x2+ +x 2

x

85 Cho (Hm) : y =mx 2x 1−

+ a) Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (H) với m = ½ Tìm những điểm trên (H) có tọa độ nguyên

b) CMR : Tồn tại một giá trị của m làm cho (Hm) là đường thẳng

c) Xét hàm số y = x2 – mx – 2 có đồ thị là (Pm) CMR : khi m thay đổi (Hm) và (Pm) cùng đi qua một điểm cố định A

d) Định m để điểm cố định A là tiếp điểm của 2 đồ thị

ĐS : a) (0,2) ; (–2,3) ; (4,0) ; (–6,1) ;

b) m = 2 ; c) A(0,-2) ; d) m = -1

86 Cho (Cm) là đồ thị của hàm số :

y = x3 – (m+1)x2 – (2m2-3m+2)x + 2m(2m-1) a) Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị với m = 3/2 b) Định m để (Cm) tiếp xúc với Ox

c) Định m để hàm số tăng khi x > 2

d) Định m để (Cm) tiếp xúc với d : y = – 49x + 48

ĐS : b) m = -2; 3/2; 1/3 ; c) ; d) m = 5; –11/2; –13/3

87 Cho (Cm) : y = - x3 + mx2 – m a) Tìm tập hợp các điểm uốn của (Cm)

b) Khảo sát hàm số với m = 3 , gọi đồ thị là (C) c) Cho d : y = kx + k + 1 CMR : d luôn cắt (C) tại điểm I cố định với mọi k

d) Định k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I, M, N.

Tìm qũy tích các trung điểm của đoạn MN khi k thay

đổi

ĐS : a) y = 2x3 – 3x ; c) I(-1,1) ;

d) đt : x = 2 , ( 26 y 1)− ≠ <

88 Cho (Cm) : y = + − + +

−

2

(m 1)(x 3x) 2(2m 1)

mx m

a) Khảo sát hàm số với m = 1 ; (gọi đồ thị là (C) )

b) Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là những số

nguyên

c) Dùng đồ thị (C) , biện luận theo k số nghiệm của

phương trình : x2 – (3+k)x + 3 + k = 0

d) CMR : Với mọi m khác 0 , đồ thị hàm số có một

tiệm cận cố định còn tiệm cận thứ 2 đi qua một điểm

cố định

ĐS : b) (1,2); (0,–6); (3,3); (–1,–7) ; d) x = 1 ; (2,0).

89 Cho hàm số : y = x3 – 3ax2 + 4a3

a) Với a > 0 Khảo sát sự biến thiên của hàm số

b) Định a để điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm

số đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x

c) Định a để đường thẳng y = x cắt đồ thị tại 3 điểm

phân biệt A, B, C với AB = BC

ĐS : b) a =± 22 ; c) a = 0 hay a =± 22

90 Cho hàm số y = (x+a)3 + (x+b)3 – x3

a) Khảo sát hàm số với a = 1 ; b = 2

b) Trong trường hớp tổng quát các hệ số a và b phải

thỏa điều kiện gì để hàm số có cực đại và cực tiểu

c) CMR : với mọi a, b phương trình sau không thể có 3

nghiệm phân biệt (x+a)3 + (x+b)3 – x3 = 0

ĐS : b) ab > 0.

91 Cho hàm số y =13mx3 – (m-1)x2 + 3(m-2)x +13

a) Tìm điểm cố định của họ đồ thị

b) Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu tại x1 , x2

thỏa điều kiện x1 + 2x2 = 1

c) Định m để hàm số đồng biến trên [2,+∞)

ĐS : a) (0,1/3) ; b) m = 2 ; m = 2/3 ; c) m ≥ 3/2

92 Cho hàm số y = x4 + 4x3 + mx2

a) Với m = 4 Khảo sát hàm số và chứng minh đồ thị

có một trục đối xứng

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có trục

đối xứng song song Oy

c) Định m sao cho : x4 + 4x3 + mx2≥ 0 khi x ≥ 1

ĐS : a) Trục đối xứng x = 1; b) m = 4 ; c) m≥ – 5

93 Cho hàm số y = x2 m(m 1)x m3 1

x m

− a) Khảo sát hàm số khi m = 1 Gọi đồ thị là (C) b) CMR : với mọi m hàm số luôn có hai cực trị Xác định tọa độ các điểm cực trị Suy ra qũy tích trung điểm I của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị

c) CMR : Trong mặt phẳng tọa độ , tồn tại duy nhất một điểm có tính chất : Là một điểm cực đại của đồ thị hàm số ứng với một giá trị của m và là một điểm cực tiểu của đồ thị hàm số ứng với một giá trị của m khác

ĐS : b) (m – 1, - m2 + m – 2) ; (m + 1, - m2 + m + 2) ;

Qt I : y = – x2 + x ; 3/ (- ½, - 7/4) với m = – 3/2 ; m = ½

94 Cho hàm số y = +

−

ax b

x 1 có đồ thị là (C) a) Tìm a, b để (C) cắt trục tung tại A(0,-1) và tiếp tuyến với (C) tại A có hệ số góc bằng – 3 Khảo sát hàm số với a, b vừa tìm

b) Xét đường thẳng d qua B(–2,2) và có hệ số góc m Định m để đồ thị hàm số ở câu a) cắt d tại 2 điểm phân biệt M, N Tìm quỹ tích trung điểm I của MN c) Các đường thẳng qua M, N và song song với các trục tọa độ cắt nhau tạo thành một hình chữ nhật Tính độ dài các cạnh hình chữ nhật đó theo m Định

m để hình chữ nhật đó là hình vuông

ĐS : a) a = b = 2; b) x = - ½ với y <0 hay y>2; c) m = 1

95 Cho hàm số y = + +

+

2

x 3x 3

x 2 có đồ thị (C) a) Khảo sát hàm số Suy ra đồ thị hàm số

= +

2

x 3x 3 y

x 2

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 3y – x + 6 = 0

c) Biên luận theo a số nghiệm phương trình sau và so sánh với – 3 và –1 : x2 + (3 – a)x + 3 – 2a = 0

96 Cho hàm số y = 2 2

x cos 2x cos

x 2x cos 1

rằng : với mọi x ta có : y ≤1

97 Cho hàm số y = x3 có đồ thị (C) a) Tìm những điểm nằm trên đường phân giác thứ nhất sao cho từ đó kẻ được ba tiếp tuyến với (C)

b) Giả sử từ điểm M(a,a) kẻ được 3 tiếp tuyến với (C)

với các tiếp điểm là A, B, C Tìm tọa độ trọng tâm

tam giác ABC

ĐS : a) M(a,a) với a < -1 hay a > 1; b) (−a 27a, 3−12a

2 24 )

98 Cho hàm số y = −

−

2

x 3

x 2 có đồ thị (C) a) Khảo sát hàm số

b) Tìm trên (C) những điểm sao cho tổng các khoảng

cách từ đó đến 2 trục tọa độ là nhỏ nhất

ĐS : b) (0,3/2).

99 Cho hàm số y = x4 + 2ax2 + 2ax + a2 + 2a + 1

a) Khảo sát hàm số với a = 0

b) Xét các giá trị của a để phương trình y = 0 có

nghiệm Với mỗi a đó gọi xa là nghiệm bé nhất của

phương trình , tìm a để xa nhỏ nhất

ĐS : b) a = –1

100 Cho hàm số y = 4x3 – 3x + 1

a) Gọi A là diểm trên (C) có xA = 1 , d là đường thẳng

qua A có hệ số góc m Định m để d cắt (C) tại 2

điểm M, N phân biệt khác A

b) Cho điểm P trên d thỏa: − = −

x x x x

x x x x Tìm quỹ tích P

ĐS : a) 0 m 9< ≠ ; b) y = 6x2 – 3x – 1 với− < ≠1 x 1

2

101 Cho hàm số y = + +

+

2

x 5x 15

x 3 có đồ thị (C) a) Khảo sát hàm số

b) Tìm những điểm trên (C) có tọa độ nguyên

c) Tìm những điểm M trên (C) có khoảng cách từ M

đến Ox bằng 2 lần khoảng cách từ M đến Oy

ĐS : b) (-2,9), (-4,-11), (0,5), (-6,-7), (6,9), (-12,-11)

c) − ± − ± ÷÷

1 61 ; 1 61

2

102 Cho hàm số f(x) = xn + (c – x)n với c là hằng số

dương và n là số tự nhiên lớn hơn 1

a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số

b) Từ kết quả trên CMR : với n là số tự nhiên và a +

b ≥ 0

103 Cho hàm số y = + +

+

x 2m x m

x 1

a) Tìm m để hàm số có cực trị

b) Định m để đồ thị có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ

c) Khảo sát hàm số với m = 2

ĐS : a) -1 < m < 1 ; b) 2 < m 1≠

2

104.Cho (P) : y = ax2 + bx + c tiếp xúc với d : y = 2x + 1 tại điểm A(3,1)

a) Tính b, c theo a b) Tìm quỹ tích đỉnh của (P) khi a thay đổi c) Tìm những điểm trong mặt phẳng tọa độ mà không có (P) nào đi qua dù a lấy bất kỳ giá trị nào

ĐS : a) b = 2(1-a) ; c = 1 + a ; b) y = x + 2 trừ (1,3)

c) x = 1 và y = 2x + 1 trừ (1,3)

105 Cho (Cm) : y =x2−x m2mx m+

+ a) Khảo sát hàm số với m = 1

b) CMR : Nếu (Cm) cắt Ox tại điểm có hoành độ a thì hệ số góc của tiếp tuyến tại đó là k =2a 2ma m−

+ c) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm và tiếp tuyến với

đồ thị tại 2 điểm đó vuông góc với nhau [m = 5]

106 Cho hàm số y =x 1x2

− có đồ thị (C) a) Khảo sát hàm số

b) Tìm 2 điểm trên (C) đối xứng nhau qua d : y = x – 1 c) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm t của phương trình : t4 – mt3 + (m+2)t2 – mt + 1 = 0

ĐS : b) ( 2, 2 1);( 2, 2 1)

2 − 2 − − 2 2 −

107 Cho hàm số y =x2+x 12mx 1+

− a) Khảo sát hàm số với m = 1 b) CMR : Nếu đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm có hoành độ x = a thì y / (a) =2(a m)a 1+

− c) Tìm số a nhỏ nhất sao cho với x [0,1]∈ , ta luôn có : a(x2 + x – 1) ≤ (x2 + x + 1)2 [ a = -1 ]

108 Cho hàm số y = x2+x 1mx 1−

− a) Tìm m để hàm số đồng biến trên (-∞, 1) và (1,∞) b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với các trục tọa độ một tam giác có diên tích bằng 8 c) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị tại 2 điểm

A, B với OA⊥OB

d) Khảo sát hàm số hàm số khi m = 1

109 Tìm a để hàm số y =−2x 2 a x+ + 2−4x 5+ có cực

đại

110 Cho hàm số y = mx2+(m2x m+1)x 4m+ 3+m

+ a) Với m = 1 Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (C) của

nó Tìm trên mỗi nhánh của (C) một điểm sao cho

khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất

b) Tìm m để đồ thị hàm số có một điểm cực trị thuộc

góc phần tư thứ hai và một điểm cực trị thuộc góc

phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ

111.Cho hàm số y = x4 + ax2 + b , (1)

a) Khảo sát hàm số khi a =103 và b = 1

b) Gỉa sử đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm

phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số cộng

CMR : 9a2 – 100b = 0

113 Cho hàm số y = 1 x+x

a) Dùng định nghĩa đạo hàm , tính đạo hàm của hàm

số tại điểm x = 0

b) Lập bảng biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị

+

2

x ax x , x

1 x

114 Cho hàm số y =(x−λcos )(x2θx −λsin )2θ , trong đó

λlà hằng số dương còn gócθlà hằng số, [0, ]

2

π

(C) là đồ thị của hàm số

a) CMR : (C) có một điểm cực đại M1 và một điểm

cực tiểu M2 Tính tọa độ (x1,y1) của M1 và (x2,y2) của

M2 theo λvà θ

b) Giả sử θthay đổi từ 0 đếnπ2 Tìm qũy tích các điểm

M1 và M2 Phải lấy điểm M ở trong miền nào của

mpOxy để cho M có thể được coi là điểm M2

c) Cho x2 = 2; y2 = –1 Vẽ đường cong (C) tương ứng

115 Cho hàm số y = x2 x 1 ; (C)

x 1

− − + a) Khảo sát hàm số trên Suy ra đồ thị hàm số

y = x2 x 1

x 1

− − + b) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song song

với đường thẳng y = x

c) Tìm trên (C) những điểm có hoành độ lớn hơn –1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm đó tạo với 2 tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

116 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m2x + m

a) Khảo sát hàm số với m = 0

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua đường thẳng

= −

ĐS : b) m = 0

117 Cho hàm số y x2 2mx 2

x 1

+ +

=

+ (m là tham số)

a) Khảo sát hàm số với m = 1

b) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng x + y + 2 = 0 bằng nhau

ĐS : m = ½

118 Cho hàm số y x2 x

x 2

+

=

− có đồ thị (C)

a) Khảo sát hàm số b) Đường thẳng d qua B(0,b) và song song với tiếp tuyến của (C) tại điểm O(0,0) Xác định b để đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N Chứng minh trung điểm I của MN nằm trên một đường thẳng cố định khi b thay đổi

119 Cho hàm số y = x3 – 3(a – 1)x2 + 3a(a – 2)x + 1 trong đó a là tham số

a) Khảo sát hàm số khi a = 0

b) Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho : 1 x 2≤ ≤

ĐS : 1/ a≤ − ∨ ≥ ∨ =2 a 4 a 1

120 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm

x

= − + + có 3 điểm cực trị Khi đó chứng minh rằng cả 3 điểm cực trị này đều nằm trên đường cong : y = 3(x – 1)2

ĐS : –1 < m < 0

******************************************