Khảo sát hàm so 12 ( Nâng Cao)

Công thức tính đạo hàm IV.. nếu chi 1 trong các giá trị trên ta sẽ suy ra các giá rị còn lại 1 Đạo hàm các hàm số lũy thừa :... Ta có phương trình k = f’x 0 gọi là phương trình hoành đ

Giải Tích 12 Chương 1 : Đ Ạ O H A ØM

III) Công thức tính đạo hàm

IV) Đạo hàm hàm số hợp Cho hai hàm số y =y(u) là hàm số y theo

biến u và u = u(x) là hàm số u theo biến x ta có công thức tính đạo

hàm của hàm số hợp y theo x như sau :

y’x = y‘u u’x

(un)’ = nu’un-1 (sin u)’ = u’ cos u (eu)’ =u’ eu

1

1 '( n) ' n u n

2

u u

u

= (cotg u)’= 2'

sin

u u

• Chú ý : Trong các công thức tính đạo hàm theo biến số x ta có thể suy ra

công thúc tính đạo hàm của hàm số hợp theo u như sau : khi thay biến số x  u thì vế phải nhân thêm cho u ‘

• Nếu thay x → u = ax + b thì vế phải nhân cho a

V).Đạo hàm bậc 2 – bậc cao – vi phân :

 Đạo hàm của đạo hàm bậc nhất f ’(x) là đạo hàm bậc 2 của hàm số y = f(x) Kí hiệu là y “= f”(x)

 Đạo hàm bậc n kí hiệu là y(n) = f (n) (x)

 Vi phân hàm số bằng đạo hàm nhân vi phân biến số : dy = y’ dx

VI) Phương trình tiếp tuyến

 Hệ số góc của tiếp tuyến (C) tại M(x0; y0) là giá trị đạo hàm tại x0

 Phương trình tiếp tuyến đường cong y = f(x) tại điểm M (x0 ; y0 ) ∈ (C) là

y – y0 = f‘(x0).( x – x0 )+ M (x0 ; y0 ) gọi là tiếp điểm

 Chú ý Khi viết phương trình tiếp tuyến (C) ta cần tính 3 giá trị x 0 ; y 0 và f’(x 0 ) nếu chi 1 trong các giá trị trên ta sẽ suy ra các giá rị còn lại

(1) Đạo hàm các hàm số lũy thừa :

x u

+

=+ + ; 2 3

(2)* Tính các đạo hàm có chứa tham số :

(a) y mx= 3+2x2+mx m+ 2−1 Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm

M có x0 = - 1 Khi đó giá trị đạo hàm tại x0

− Tìm m để phương trình y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt

Khi m = 1 tính 2 nghiệm đó

(c) 3 2

y x= − +x mx 3− Tìm m sao cho y’(x)>0 x R∀ ∈ Tìm m để

phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm dương

(d) y x= 4−ax 2+a 2+1 Tìm a để phương trình y’= 0 có 3 nghiệm

(3) Dùng qui tắc đạo hàm hàm số hợp

[a] y=(3x2−1)10 [b] y= x2+2x+5 [c] y= 3 x3− +x2 4

[d]y=(x4−1)(x2+1)3 [e] 2 5

( 1)

y= x + [f] y= −(1 x x) 2+2 [g] 2

x y x

+

=

− [l]

11

x y x

−

=+

[l] y= a+ x b− [m]y= x+ x2+m [n]y= x+ x2− +x 1

(4) Đạo hàm các hàm số lưọng giác

sin cos 22

(e) u=sin2 x ; v cos= 2 x ; w=tg x2 ; z =cotg x 2

(f) sin4 ; v cos ; w ( +1) ; z =cotg (2 3 2 2)

(h) ( ) sin(cos ) cos(sin ) ; g(x)=tg(sinx)+cotg(cosx)f x = x + x

(i) u=sin cos5x 4 x ; v=sin 3 cos 22 x 3 x ; 2

x tg y

x tg

y tg ax= + g ax [r]y tg= (sin )x +cotg(cos )x [s]y= sin(tgx) cos(cot + gx)

(5)Tính đạo hàm các hàm số sau : ( hs mũ –logarit )

(a) y=(x2−2x+3)e x ; u=(sinx−cos )x e−x ; 2x 3x 10x

; w =

x x

v e

+ +

2

x y

x y

= − + + Tìm x sao cho y’(x) > 0 và y ‘’(x) <0

(h) y=x 1 x+ 2 Tính y’(0) và y’’(1)

(7) Chứng minh các hệ thức về đạo hàm :

ad-bc y' =

y CMR 4y' ( 2 y 1)y'' 2x 1

+

−

 Bài tập nâng cao

(8) Chứng minh các biểu thức sau :

(a)

(ab'-ba')x +2(ac'-ca')x+bc'-cb' y' =

2

x a y

Giải PT : y – ( x – 1) y’ = 0 (b) y = (x+1)sinx + cosx Giải PT : y’ = 0

(c) y=sin2x+cos 2x x+ +1 Giải PT : y’ = 0

(d) y = 2x2 + 16cosx – cos2x Giải PT : y ‘’ = 0

(c) Suy ra : 4 (1 + x2) y‘’ + 4x y’ – y = 0

(11) Tìm hoặc chứng minh đạo hàm cấp n (bằng phương pháp qui nạp)

n

n x

− + − ( chỉ đưa ra dự đoán biểu

thức y (n) không cần chứng minh qui nạp ) (12) Tính các đạo hàm (bằng cách lấy logarit Neper 2 vế hoặc đổi cơ số )

e x

Trong phương trình tiếp tuyến có 3 đại lượng cần tìm là x 0 , y 0 và f‘(x 0 )

 Cho hoành độ tiếp điểm x 0 ⇒ Tính y 0 và f ‘ (x 0 )

 Cho tung độ tiếp điểm y 0 ⇒ Tìm x 0 và f ‘ (x 0 )

 Cho hệ số góc tiếp tuyến k ( hay là tiếp tuyến // hoặc ⊥ một đường thẳng khác ) Ta có phương trình k = f’(x 0 ) (gọi là phương trình hoành độ tiếp điểm) Giải phương trình ta tìm được nghiệm x 0 Suy ra và y 0 Sau đó thế vào phương trình (1)

 Chú y ù: Số nghiệm x 0 là số tiếp tuyến tìm được có hệ số góc k Nếu phương trình vô nghiệm thì không có tiếp tuyến nào

 Hai đường thẳng song song ⇒ Hai hệ số góc bằng nhau k = k’

 Hai đường thẳng vuông góc ⇒ Tích 2 hệ số góc k.k’= – 1

∗Ví dụ : Viết phương trình của (C) : y x= 2−4x 3+ : (a) Tại điểm có hoành đo ä x 0 = – 1

(b) Tại điểm có tung độ y 0 = 0 (c) Biết kệ số góc k = 6

Giải (a) Ta có x 0 = – 1 ⇒ y 0 = 8 Đạo hàm là y ‘ (x) = f(x) = 2x – 4 ⇒ y’(–1) = – 6

Vậy phương trình tiếp tuyến là y– 8 = – 6(x+1) ⇒ y= – 6x + 2

(b) Biết tung độ y0 = 0 ta có phương trình hoành độ giao điểm là :

Phương trình tiếp tuyến là y – 8 = 6 ( x – 5) ⇒ y = 6x – 22

(13) Viết phương trình tiếp tuyến (PTTT) với đồ thị (C) :

(a) y x= −3 x tại điểm M∈(C) , biết

i) M( 2 ; 6) ii) M có hoành độ bằng 1

iii) M trên trục tung iv) M trên trục hoành

+ tại giao điểm (C) và trục hoành

(c) y = x 4 −2x2 + tại điễm có tung độ bằng 1

+ song song với trục hoành

1

y= +x tại điểm M0∈ (C) có tung độ y0 =2

(e) y = xln x biết hệ số góc tiếp tuyến k = 1

(f) y = sin2 x tại điểm có hoành độ x =

6

π

(g) 1 3 2

13

y= x − +x biết tiếp tuyến ⊥ 1 2

+

− có đồ thị (C)

(a) Lập PTTT với (C) vuông góc đường thẳng (D) : y x= +2006

(b) Tìm điểm M trên (C) để tiếp tuyến tại đó song song (D’) 2x+y–4 =0

(15) Cho hàm số : y x 2 x 1

x 1

+ +

=+ có đồ thị (C)

(a) Viết PTTT song song đường thẳng (D) : y = – 3x(b) Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là những số nguyên Viết PTTT của (C) tại các điểm đó

 Bài tập nâng cao

(16) Cho hàm số y x= +3 3x2−9x+5 có đồ thị (C) (a) Tìm giao điểm của (C) và trục hoành Viết PTTT của (C) tại các điểm đó

(b) Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số , hảy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

(17) Cho hàm số : y x 2 mx 3

− +

=

− Tìm 2 điểm A , B thuộc đồ thị hàm số sao

cho tiếp tuyến tại A,B của đồ thị song song với nhau và độ dài đoạn AB ngắn nhất

    

Bài 1 Tính đơn điệu của hàm số

 Điều kiện cần :

•f(x) đồng biến (tăng) trên (a,b) ⇒ f ’(x) ≥ 0 , ∀x ∈ (a,b)

•f(x) nghịch biến (giảm) trên (a,b) ⇒ f ’(x) ≤ 0 , ∀x ∈ (a,b)

(Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên (a,b) gọi là hs đơn điệu )

•f(x) không đổi trên (a,b) ⇔ f ’(x) = 0 , ∀x ∈ (a,b) (hàm hằng)

 Điều kiện đủ :

 f’(x) > 0 , ∀x ∈ (a,b) ⇒ f (x) đồng biến (a,b)

 f’(x) < 0 , ∀x ∈ (a,b) ⇒ f (x) nghịch biến trên (a,b)

Chú ý : Nếu đạo hàm ≥ 0 ( hoặc ≤0) và dấu = chỉ xảy ra tại một số

điểm hữu hạn trên D thì hàm số sẽ Đbiến ( hoặc Nbiến ) trên D

 Điểm tới hạn : x0 của hàm số f (x) là các điểm mà tại đó đạo hàm

f’(x0) = 0 hoặc f ‘ (x0) không xác định

Loại 1 :Xét tính đơn điệu của hàm số (hay tìm khoảng ĐB,NB)

• Tìm tập xác định D của hàm số

• Tính đạo hàm bậc nhất f ’ (x)

• Tìm các điểm tới hạn x 1 ; x 2 ; x 3 .

• Lập bảng xét dấu f ‘(x) (sau nầy còn gọi là bảng biến thiên )

• Dựa vào bảng trên kết luận khoảng đồng biến Z , nghịch biến ]

 Chú ý : khi xét dấu đạo hàm ta thường gặp nhị thức bậc nhất hoặc tam

thức bậc 2 Ngoài ra có 2 trường hợp đặc biệt sau đây :

 Nếu là f ’(x)= đa thức bậc 3 thì khoảng nghiệm gần + ∞ thì f’(x) sẽ

cùng dấu ax 3

 Khi xét dấu của hàm vô tỉ, siệu việt, lượng giác Nên áp dụng tính

chất của hàm liên tục để nhẩm dấu trên khoảng : “ Nếu g(x) không

triệt tiêu trên (a ; b) thì nó mang 1 dấu trên khoảng đó “

⇒ Lấy một giá trị bất kỳ trên khoảng và định dấu >0 hay <0

 Loại 2 : Định tham số m để hàm số luôn đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên R :

Nếu y’= g(x) = ax 2 + bx + c hoặc dấu y’ tùy thuộc tam thức g(x)

g(x)

0 g(x) 0 , x

 Nhắc lại một số kiến thức về so sánh 1 số cho trước với nghiệm

số của tam thức bậc 2 : f(x) = ax 2 +bx + c

• x 1 < α < x 2 ⇔ a.f(α ) < 0 • 1 2

af( ) 0x

a f S

• x 1 < x 2 ≤ α

αα

a f S

• x 1≤ α < x 2 ≤ β ⇔  αβ ≤≥



( ) 0 ( ) 0

a f

a f • α1≤ x 1 < β < x 2

αβ

a f

a f

• f(x)có 2 nghiệm phân biệt và chỉ có 1 nghiệm∈ (α ;β) ⇔ f(α).f(β) <0

• α < x 1 < x 2 < β

αβ

2

a f

a f S

(22) Khảo sát tính đơn điệu của hàm số

131

11

2

11

x y x

(23)Tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số :

[a] y = x ex [b] y x e= 2 −x [c] 2

4ln( 1)

y x= − x− [d] =

x y

i) Đồng biến trên R

ii) Đồng biến trên (1 ; +∞)iii) Nghịch biến trên ( - 2 ; 1) [b] 2

[e] = +

+

2 1

x a y

x luôn đồng biến trên tập xác định

 Bài tập nâng cao

(25) Định m để hàm số : y mx= 3−(2m−1)x2+(m−2)x−2 luôn đồng biến trên R

(26) Định a để hàm số : = + −

+

2 6 22

y

x [a] Đồng biến trên từng khoảng xác định [b] Nghịch biến trong khoảng (1;+ ∞ ) (27) Định m để hàm số : =1 4 +1 3− 2 2

(a) Nghịch biến trên (– ∞ ; – 1) (b) Nghịch biến trên ( 1 ; 2 )

(28) Định m để hàm số sau thỏa điều kiện :

(a) y x= +3 3x2+mx m+ nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1

(c) y x= −3 3(m−1)x2+3 (m m−2)x+1 đồng biến trên tập hợp các giá trị

của x sao cho 1≤ ≤x 2

(d) y= −(m2+5 )m x3+6mx2+6x−6 đơn điệu trên R Khi đó hàm số

đồng biến hay nghịch biến

(e) y (m 1)x2 2mx (m3 m2 2)

x m

=

− luôn nghịch biến trên các khoảng

xác định của hàm số

− đồng biến trên (–∞;– 1) và (1 ; +∞)

(29) Định a để hàm số : y x= − x2− +x a nghịch biến trên R

(30) Dùng tính đơn điệâu để chứng minh bất đẳng thức :

gọi là cực trị của hàm số Kí hiệu y CĐ , y CT

 Minh hoạ tính đơn điệu ,cực trị bằng đồ thị

 Hàm số đồng biến trên (a ,b) và (c ; d)

 Hàm số nghịch biến trên (b ; c )

 Hàm số đạt cực đại tại x1 = b và đạt cực tiểu tại x2 = c

• Định lý Fermat (Điều kiện cần ) Nếu f có đạo hàm tại x0 và f đạt cực trị tại x0 thì f ‘(x0 ) = 0

• Điều kiện đủ 1 : Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm trên một vùng lân cận x0 và f ’(x) đổi dấu khi qua x0 thì f đạt cực trị tại x0 Cụ thể : ∗ Từ dấu (+) → (– ) thì f đạt cực đại tại x0

∗ Từ dấu (– ) → (+) thì f đạt cực tiểu tại x0

•Điều kiện đủ 2 : Nếu hàm số y= f(x) có f ’’(x) liên tục tại x0 và f ’(x0) =

0 ; f’’(x0) ≠ 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số : ∗ Nếu f ’’(x0 ) < 0 thì f đạt cực đại tại x0

∗ Nếu f ’’(x0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

•Chú ý : điều kiện f ’(x0 ) = 0 , chưa đủ kết luận x0 là điểm cực trị mà phải xét dấu f’(x) khi qua x0 (Dấu hiệu 1) hoặc định dấu giá trị của f ’’(x0) (Dấu hiệu 2)

 Phương pháp tìm cực trị của một hàm số:

 Qui tắc 1 ( dùng đạo hàm bậc nhất )

• Tìm tập xác định D của hàm số

• Tính đạo hàm bậc nhất f ’ (x)

• Tìm các điểm tới hạn x 1 ; x 2 ; x 3 .

• Lập bảng biến thiên để xét dấu f ‘ (x)

• Kết luận các điểm cực đại Z CD ] và điểm cực tiếu ] CT Z

 Qui tắc 2 ( dùng đạo hàm bậc hai )

• Tìm tập xác định D của hàm số

• Tính đạo hàm bậc nhất f ’(x)

• Giải phương trình f ‘ (x) = 0 tìm các nghiệm : x 1 ; x 2 ; x 3 .

• Tính f ‘’ (x )

• Định dấu f ‘’(x 1 ) ; f ‘’(x 2 ) ; f ‘’(x 3 )

• Kết luận điểm cực đại f ”(x) < 0 và cực tiểu f ” (x) >0

 Đặc Biệt :

 Cực trị của hàm hửu tỉ : Nếu hàm số hữu tỉ : y f x= ( )=u x v x( )( ) đạt

cực trị tại x 1 thì giá trị cực trị tương ứng là 1 1

1

'( )( )

 Cực trị của hàm bậc 3 : Nếu hàm số bậc 3 : y = ax 3 +bx 2 +cx + d

có 2 điểm cực trị x 1 và x 2

 Giả sử khi chia đa thức bậc 3 là y = ax 3 + bx 2 + cx + d cho đạo hàm

y’= 3ax 2 +2bx +c được thương q (x) và phần dư r(x)= kx+ m

 Ta viết : y = y’ q(x) + r(x)

 Nếu hàm số đạt cực trị tại x 1 thì y’(x 1 ) = 0 ⇒ y 1 = r(x 1 ) và tương tự

cho y 2 =r(x 2 )

 Do đó phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm

số bậc 3 là phần dư : y = r(x) = kx + m

•Chú ý : Nếu y’= g(x) = ax 2 + bx + c hoặc dấu y’ tùy thuộc tam thức g(x) Điều kiện hàm số có cực trị

g(x)

0

'( ) 0

'( ) 0

'( ) 0

=

2 21

x y x

−

=+

[d] = + +

−

2 2

11

2 x

y x e= − [j] x2 x

y e= − + [k] y x= ln2x [l] y x= 2−lnx

[m] y x= 1−x2 [n] y=sin (1 cos ) (0 xx + x ≤ ≤π) [o] y=(x2−4)3 x2 [p] = 3 sin +cos +2 +3 x [0;2 ]∈ π

+

=+ [s] = − + − +

x y

[a] Định m để hàm số y x= 3−3mx2+(m2−1)x+2 đạt cực đại tại

điểm x = 2 ( TNPT 2005)

[b] Định m để hàm số =1 3− 2 −

3

i) Đạt cực tiểu tại x = 1

ii) Có cực trị trong khoảng ( –∞ ; 0)

iii) Đạt cực tiểu trong khoảng (–3 ; 4)

[c] Định m để hàm số = − −

ii) Có hai cực trị

iii) Có điểm cực đại thuộc khoảng (–3 ; 1)

[d] Định m để hàm số y x= 4−2mx2+m

i) Có đúng 1 cực trị

ii) Có ba cực trị

iii) Có điểm cực tiểu thuộc khoảng ( 1 ; 2)

[e] Định m để hàm số =1 3−( −1) 2+3( −2) +1

i) Có cực trị

ii) Có cực đại và cực tiểu có hoành độ dương

iii) Có cực đại và cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa điều kiện x1 +2x2 = 1

iv) Có cực đại ; cực tiểu và xCĐ < xCT

v) Có cực đại tại x = 0

[f] Định m để hàm số = + −

i) Có cự c trị

ii) Có cực đại , cực tiểu với hoành độ thỏa : x1 + x2 = 4x1x2

iii)Có cực đại , cực tiểu với hoành độ dương

[g] Định m để y=14x4−mx2+23 có cực tiểu nhưng không có cực đại

[h] Tìm m để y = x3−3x2+3mx+ −1 m có hoành độ điểm cực trị < 2

[i] Tìm m để y = mx3+3mx2−(m−1)x−1 không có cực trị (ĐHBK2000)

(34) Chứng minh rằng hàm số sau luôn luôn có CĐ và CT :[a] + −

+

2 2

+

1

y = x+3-m+

x m

 Bài tập nâng cao

(35) Định tham số để có cực trị ( các hàm số khác ) :

[a] y = 2x + 2 + m x2−4x+5 có cực đại [b]

(36) Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trị :

2 3(2 1) 6 ( 1) 1

y= x − m+ x + m m+ x+ và hoành độ các điểm

CĐ, CT thỏa x 1– x 2 không phụ thuộc m

[b] y=2x3+3(m−1)x2+6(m−2)x−1 Định m để đường thẳng qua điểm

CĐ và CT song song đường thẳng y = – 2x

[c] y = 2x 3 +3(m – 1)x 2 + 6(m – 2)x Viết phương trình đường thẳng qua

2 điểm cực trị trên và ⊥ đường thẳng y = x

[d] y=2x3+3(m−3)x2+ −11 3m Tìm m để 2 điểm CĐ,CT và điểm

(38)* Tìm m để hàm số có cực trị và các điểm cực trị thỏa điều kiện

[a] y x= 3−3mx2+(m2+2m−3)x+4 có 2 điểm cực trị nằm 2 phía của

[c] y x= 3−3mx2+4m3 có 2 điểm cực trị đối xứng qua đthẳng y = x

[d] y x= 4−2mx2+2m m có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác + 4

đều Tính đện tích tam gíac theo m

1

mx m

x khoảng cách 2 điểm cực trị không đổi

 Các bài toán thi ĐH – CD

(39) [a]CMRằng∀m hàm số + + + +

(c) Tìm m để y = mx4+(m2−9)x2 +10 có 3 cực trị (KhốiB2002)

(d) Tìm m để y x= 3−3(m−1)x2+3(2−m x) +1 có hoành độ 2 điểm cực trị thỏa x x1+ 2 =2 (TH YtếLongAn2004)

(e) CMR y x= 3−3x2+4m luôn có 2 điểm cực trị Khi đó tìm m để một trong 2 điểm cực trị nầy thuộc trục hoành (CĐSPMGTU 3_2004)

(f) Tìm m để y x= 3−3mx2+(m2+2m−3)x+4 có điểm cực đại và cực

tiểu nằm 2 phía của trục tung (CĐKT Cao Thắng 2006)

(g) Tìm m để =1 3−3( −1) 2+3(2− ) +1

3

độ dương (CĐBCHoa Sen2006)

(h) Tìm các điểm trên + −

x m đạt cực đại khi x=2 (CĐSPLA_2006)

 Đáp số : [B33] (a) m= 11 ; ( ) 2 (d) i) m<0 ii) m>0 iii) 1 < m < 4

Bài 3 : Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Hàm Số

∗ Định Nghĩa : Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D Giá trị lớn nhất

(GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên tập X⊂ D là :

= ⇔ ∃ ∈≤ =

f(x) Mmax f(x)

x : ( )

X

m m

 Phương pháp giải toán :

 Tìm GTLN và GTNN trên đoạn [ a;b ] :

+ Giải phương trình f’(x)= 0 Suy ra các điểm tới hạn : x 1 , x 2 , , x n

trên đoạn [a,b]

+ Tính f(a) , f(x 1 ) , f(x 1 ) , , f(x n ) , f(b)

+ So sánh các giá trị trên và tìm ra số lớn nhất M=max f(x) và số nhỏ

nhất m = min f(x)

 Tìm GTLN và NN trên khoảng ( a;b ) hoặc nửa khoảng : với a

có thể là –∞ và b có thể là +∞

Ta lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng (a , b ) Nếu f(x) là hàm số

liên tục trên (a ; b ) chỉ có 1 cực trị duy nhất :

+ Là cực đại thì Max f(x) = y CĐ và không có Min f(x)

+ Là cực tiểu thì Min f(x) = y CT và không có Max f(x)

 Nếu bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm số mà không chỉ ra tập X

thì ta tìm trên toàn tập xác định D

 Chú Ý : Ngoài phương pháp ứng dụng đạo hàm như trên để tìm Max

và Min Ta có thể dùng phương pháp tìm miền giá trị của hàm số hay dùng

bất đẳng thức

 Bài Toán Max , Min là lọai câu hỏi thường gặp trong các đề thi TNPT , ĐH nên học sinh đặc biệt nắm vững loại BT nầy

(40) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn :

[a] y x= 4−2x2+3 trên đoạn [ 3 ; 2]−

[e] y x e= − +x x2 trên đoạn [ 1 ; 0]−

[f] y= 2 cosx+cos2 x trên đoạn [0 ; 2 ]π

[g] y= 2 cos2x+4sin x trên đoạn [0; ]

x y

x trên đoạn [ 1;2]− (Khối D2003)

2 2

[c] y = (0; ) [ ] sin cos ( ; )

x+1 [e] y= [f] y=(x+2) 4

2

x x

π ππ

−+

 Bài tập nâng cao

(42) Tìm Maxf(x) và Minf(x) của các hàm số :

[a] sin2006 cos2006 (0; )

2

[ ] y = sinx+ 2 sinb − 2x (Bài (b) (d) đặt t = sinx ∈ {- 1 ; 1] )

[c] y=2sin8x+cos 24 x ( đặt t = cos2x ∈ {- 1 ; 1] )

[d] = +

2

in 1sin sin 1

s x y

x x [e]

2

x 2 4y=

1

x x

(43) Sử dụng GTLN và GTNN để giải PT ;BPT chứng minh BĐT

[a] Cho phương trình x 3 – 3x 2 + m = 0

i) Khi m = – 4 , phương trình có mấy nghiệm

ii) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt Khi đó hãy xét

dấu các nghiệm

[b] Tìm m để phương trình : m.16 x + 2.81 x = 5 36 x có 2 nghiệm

( ) ( 1 ) 13

Bài 4 Lồi – Lõm – Điểm Uốn của đồ thị

 Bài toán : Tìm các khoảng lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hsố y=f(x)

 Tìm miền xác định D của hàm số y = f(x)  Tính f ’(x) ⇒ f ’’(x)

+ Tiếp tuyến với đồ thị tại điểm uốn đi xuyên qua đồ thị

+ Nếu x 0 là nghiệm của f‘’(x) = 0 thì chưa đủ để x 0 là hoành độ

điểm uốn mà phải xét xem f’’(x) có đổi dấu khi qua x 0 hay không ?

 Minh họa :

 Đồ thị hàm số lối trong khoảng (a ; b )

và lõm trong khoảng ( b ; c )

 Điểm I(x 0 , f(x 0 )) ngăn cách giũa phần

lối và lõm là điểm uốn của đồ thị (C)

 Chú Ý : Đối với hàm số bậc 3 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số

góc nhỏ nhất và điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị

(44) Tìm các khoảng lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số sau :

x y

[a] y= ax3+bx2 +3bx+5 có điểm uốn U (1 ; –6)

[b] y x= 4+3mx2+3 Có 2 điểm uốn? Không có điểm uốn? Lồi trên(-1,1)

[c] y x= 4+8mx3+3(2m+1)x2−2 có hoành độ điểm uốn x1< <1 x2

[d] y= −(m2 +5)x3+6mx2+6x−1 lõm trên khoảng (– 1,3)

điểm uốn (TNPT2006)

 Bài tập nâng cao

(47) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) 1 3 2

(50) Định m để đồ thị hàm số y = x 3 –mx 2 + 1 cắt trục hoành tại 3 điểm

A,B,C với B là trung điểm AC

(51) Định m để tiếp tuyến đồ thị hàm số sau tại điểm uốn I thỏa:

[a] y x= 3+3x2−mx+2 song song đường thẳng (d) : y = x +1 [b] y x= 3+3mx2 −2mx+3 vuông góc đường thẳng (d ’) : y = x – 3 (52) Tìm m để đồ thị hàm số y mx= 4−8mx3+48x2−2m có hai điểm uốn mà hoành độ thỏa bất PT x+ >1 2(x2−1)

(53) Chứng tỏ rằng các điểm uốn của (C) y=sin x

x nằm đường cong có hpương trình : y 2 (4 + x 2 )=4

(54) Cho hàm số y x= 3−3(m−1)x2+3x−5

(a) Định m để đồ thị hàm số lồi trên (–3 ; 2) (b) Tìm m để đồ thị có điểm uốn có hoành độ thỏa bất phương trình

3 x 8.3x x 9.9 x 0

 (HD chia 2 vế cho 3 2 x+ 4 : ĐS m >6)

Bài 5 Đường Tiệm Cận

• Nếu lim [ ( ) (f x x→∞− ax b+ ) ] 0= thì đồ thị có tiệm cân xiên : y = ax +b

trong đó : a = lim ( )

x

f x x

→∞

= ∞ và b =lim[ ( ) ]

x f x ax

→∞ −

Chú y ù : Nếu f(x) = Q x là hàm hữu tỉ với P(x) và Q(x) là 2 đa thức : P x( )( )

 Tìm nghiệm x 0 của Q(x) = 0 ⇒ (C) có tiệm cận

→∞ = ⇒ Tiệm cận xiên y = ax +b

• y = ax2 +bx c+ (a > 0 ) có 2 đường tiệm cận y = a x +2b a

x x

x

[h] y= x2+1 [i] y= 3 x3+x2 [j]

2

x 2 y=

1

x x

y= có các đường tiệm

cận trùng với các tiệm cận của hàm số 2 4 5