TỰ CHỌN TOÁN 8

CHỦ ĐỀ : VẬN DỤNG PHÉP NHÂN ĐƠN VÀ ĐA THỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN CHỦ ĐỀ BÁM SÁT A : Đặt vấn đề: Nhằm đáp ứng nhu cầu học tự chọn của học sinh và phù hợp nhiệm vụ giảng dạy: nâng cao

CHỦ ĐỀ :

VẬN DỤNG PHÉP NHÂN ĐƠN VÀ ĐA THỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN

(CHỦ ĐỀ BÁM SÁT)

A : Đặt vấn đề:

Nhằm đáp ứng nhu cầu học tự chọn của học sinh và phù hợp nhiệm vụ giảng dạy: nâng cao chất lượng đại trà, tôi đã tiến hành soạn và giảng dạy chủ đề: “Vận dụng pheỳp nhân đơn và đa thức vào giải một số dạng toán” nhằm giúp học sinh tự củng cố kiến thức cơ bản, biết vận dụng kiến thức đã học vào luyện kỹ năng giải bài tập, qua đó góp phần giúp học sinh có hứng thú học môn tự chọn

Nhân đơn với đa thức, nhân đa thức với đa thức theo phân phối chương trình chỉ có một tiết luyện tập (tiết 3), trong lúc dạng bài tập nhiều, đa dạng phong phú Học sinh trung bình và dưới trung bình khi gặp các dạng toán hơi phức tạp thường bỏ qua

Tôi đã biên soạn theo trình tự: phân loại từng dạng bài tập với cách học lý thuyết, bài giải mẫu và phương pháp giải cho từng dạng bài, bài tập tự giải từ dễ đến khó (có đáp án) Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tự củng cố kiến thức qua ví dụ mẫu như: cho học sinh quan sát bài tập mẫu trên bảng phụ, học sinh tự suy luận lại từng bước giải rồi nêu cách trình bày bài, giáo viên khẳng định phương pháp giải rồi cho học sinh luyện tập Các bài luyện tập gồm: bài tập rèn kỹ năng, luyện ngôn ngữ, các bài tập đố có kênh hình, các bài tập giải nhanh có sự hỗ trợ của máy tính casio

B : Mục tiêu cần đạt:

Sau khi học xong chủ đề này, học sinh có khả năng:

- Biết vận dụng thành thạo phép nhân đơn với đa thức, đa thức với đa thức vào giải một số dạng toán như: thực hiện phép tính,rút gọn rồi tính giá trị biểu thức, tìm x trong đẳng thức, chứng minh đẳng thức, chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của các biến, các bài toán về chia hết và một số dạng toán khác

- Học sinh hiểu thêm một số phương pháp tính nhẩm nhanh, tính giá trị biểu thức và giải phương trình bằng máy tính casio

- Rèn kỹ năng trình bày bài đúng, sạch, đẹp

C : Thời lượng: 10 tiết (9 tiết học, 1 tiết kiểm tra)

- Tiết 1& 2: Dạng thực hiện phép tính và tính giá trị biểu thức

- Tiết 3 & 4: Dạng tìm x và dùng máy tính casio fx- 500 MS , fx- 570 MS giải

ba dạng trên:

- Tiết 5 & 6: Dạng toán chứng minh

- Tiết 7 & 8: Một số dạng toán khác

- Tiết 9 & 10: ôn tập và kiểm tra chủ đề

D : Nội dung chủ đề và phương pháp giải toán

I / Hướng dẫn học sinh tự ôn lý thuyết:

1/ Qui tắc nhân đơn với đa thức

A.(B+C) = AB + AC (A; B; C: các đơn thức )

5 Qui tắc nhân đa thức với đa thức

(A+B).(C+D) = AC+AD + BC + BD ( A; B; C; D : đơn thức)

Để vận dụng thành thạo hai quy tắc trên, giáo viên cho học sinh tự ôn lại a- Nhân hai số hữu tỉ:

Ví dụ: (-3) 2 = -6 và 21(-351) = 21(−516) = −58

b- Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

a n.a m =a m+n

c- Nhân đơn với đơn thức:

(-3xy 3 )

6

1

x 2 y =

2

1

−

x 3 y 4

II / Nội dung bài tập

Dạng thực hiện các phép tính

1/ Vd mẫu : Thực hiện phép tính

4x2.(3- 2x) - x2 ( 2x-1) + 7x2

= 12x2- 8x3 - 2x3 + x2 +7x2

= - 8x3- 2x3 + 12x 2+ x2 + 7x2

= - 10x3 + 20x2

Nhớ: chú ý đến thứ tự thực hiện phép tính: trước hết phải nhân đơn thức 4x2

với đa thức 3-2x và đơn thức x2với đa thức 2x - 1 (chú ý dấu ) rồi mới thực hiện phép cộng đa thức

2/ Vd2: Thực hiện phép tính :

3(1- 2x) (5- 3x) - 6 (3x+5) (x- 4)

= 3( 5- 3x -10x + 6x2) - 6 ( 3x2 - 12x + 5x - 20)

= 15 - 9x - 30x + 18x2 - 18x2 + 72x - 30x + 120

= 3x + 135

- Nhớ : Để nhân một tích gồm ba đơn thức, đa thức ta nhân đa thức với nhau trước (để tránh bị sai dấu) rồi nhân kết quả với đơn thức, cuối cùng mới thực hiện phép cộng đa thức

3/ Bài tập tự giải: Thực hiện các phép tính sau:

1/ 4x2( 3 + 2x) + x2( 2x - 1) ; KQ: 11x2 - 6x3

2/ (x -5)(2x +9) - 3(x2 + 7) ; KQ: x2 - x - 66 3/ ( -3x2 + 32xy - y2) (-12 xy) ; KQ: 23x3y - 31x2y2 + 21 xy3

4/ 21x2y2 ( 2x + y) ( 2x - y) ; KQ: 2x4y2 - 12x2y4

Dạng rút gọn rồi tính giá trị biểu thức.

1/ Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau tại x = −31

P = 5x ( x2- 3) + x2 ( 7 - 5x) - 7x2

P = 5x3 - 15x + 7x2 - 5x3 - 7x2

P = 5x3- 5x3 + 7x2 - 7x2- 15x

P = - 15x (1)

Thay x =−31vào (1) ; có : P = -15 5

3

1=









 −

Vậy giá trị biểu thức P = 5 tại x =−31

Nhớ : Trước hết cần rút gọn biểu thức P = -15x rồi thay giá trị

x = −31vào P để có giá trị biểu thức cần tính

2/ Bài tập tự giải : tính giá trị của các biểu thức sau

A = x.( x- y) + y (x- y) tại x = 1,5 và y = 10

B = 4x3 + ( 2 - 4x) ( x2 - 3x + 1) tại x = 1

C = ( x2y + y3) (x2+ y2) - y ( x4 + y4) tại x = 21; y = -2

D = xn-1 ( x + y) - y (xn-1+ yn-1) tại x = 1 ; y = 0

Kết quả:

A = - 97,75

B = 6 taị x = 1 và B = 26 tại x = -1

C = - 4 tại x = 21 và y = -2

D = 1 tại x = 1 ; y = 0

Dạng tìm x

1/ Ví dụ: Tìm x , biết:

x(4+3x) - (x+1)(3x - 5) = 6

4x +3x2 - (3x2 - 5x +3x - 5) = 6

3x2 - 3x2 + 4x +5x - 3x + 5 = 6

6x = 1

x = 61

Nhớ: Thu gọn vế trái bằng cách nhân đơn với đa thức, nhân hai đa thức để

bỏ dấu ngoặc (chú ý dấu trừ cho tích sau) rồi mới cộng các hạng tử đồng dạng sao cho các đơn thức chứa biến ở cùng một vế, các đơn thức không chứa biến ở vế còn lại rồi tìm x

2/ Bài tập tự giải: Tìm x, biết:

a/ 3x(-12x + 4) + 9x( 4x - 3) = 30 KQ: x = 2 b/ 2x( x -5) - x(3 +2x) = 26 KQ: x = -2 c/ (4 +2x)23x - (21x + 1) (6x + 23) = 0 KQ: x = −49 d/ x(3 - x) + (x - 5)(x + 2) = 0 KQ: vô nghiệm e/ (x + 2)(x + 1) - (x + 3) x = 2 KQ: vô số nghiệm

Dạng toán chứng minh:

1/ Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến

a/ Ví dụ: A = ( x+2) (x + 4) - 6x(1 + 61 x) + 53

A = x2 + 4x + 2x + 8 - 6x - x2 + 53

A = x2 - x2 + 6x - 6x + 8 + 53

A = 435 Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x

Nhớ: Bỏ dấu ngoặc bằng cách: nhân đơn cho đa thức, đa thức cho đa thức trước rồi rút gọn hạng tử đồng dạng để biểu thức không còn chứa biến

b/ Bài tập tự giải: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các biến x, y, z

A = x (2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3) KQ: A = 3

B = (x - 5) (2x + 3) - 2x (x - 3) + x + 7 KQ : B = -8

C = y(z - x) + x(y + z) + z (y - x) - 2yz + 10 KQ: C = 10

D = x (x2+ x + 1) - x2 (x + 1) - x + 5 KQ: D = 5

2/ Chứng minh đẳng thức:

a) Ví dụ: Chứng minh đẳng thức: ( x - 1) ( x2 + x + 1) = x3 - 1

Biến đổi vế trái, ta có:

( x - 1) ( x2 + x + 1) = x3 + x2 + x - x - x2 - 1 = x3 - 1

So sánh vế trái và vế phải, suy ra :

( x - 1) ( x2 + x + 1) = x3 - 1

Nhớ: Biến đổi từ vế phức tạp ra kết quả ở vế đơn giản (Hoặc có thể lấy hiệu hai vế sao cho hiệu bằng 0)

b- Bài tập tự giải: Chứng minh đẳng thức sau:

1/ (a - b) (a - b) + 4ab = a2 + b2 + 2ab

2/ (x - y) (x3 + x2y + xy2+ y3) = x4 - y4

hàng đơn vị bằng 10

Chứng minh: (10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc (1) biết b + c = 10 Khai triển vế trái, có:

(10a + b)(10a + c) = 100a2 +10ac +10ab + bc

= 100a2 + 100a + bc = 100a (a + 1) + bc

Từ (1), suy ra: Muốn tính tích hai chữ số có cùng hàng chục và tổng hai chữ

số hàng đơn vị bằng mười ta lấy chữ số hàng chục nhân với chữ số hàng chục cộng thêm một rồi viết thêm bên phải tích tìm được của hai số đơn vị

Vd: 62.68 ta lấy 6.(6 + 1) = 42

Và 2.8 = 16

Do đó: 62.68 = 4216

Hay viết: 62.68 = 100.6( 6 + 1) + 2.8 = 4200 + 16 = 4216 Vận dụng nhẩm nhanh: 43.47 ; 14.16 ; 91.99 ; 78.72 Kết quả lần lượt là: 2021 ; 224 ; 9009 ;5616

Vận dụng tính nhẩm: bình phương một số có hai chữ số tận cùng bằng 5

Chứng minh: ( 10a + 5)2 = 100a ( a + 1) + 25 (1) Tương tự trên , khai triển vế trái :

( 10a + 5)2 = (10a + 5) (10a + 5) = 100a2+ 100a+ 25 = 100a( a + 1) + 25

Từ (1) suy ra: bình phương một số có hai chữ số tận cùng bằng 5, ta lấy chữ

số hàng chục nhân với chữ số hàng chục cộng thêm một và viết kèm thêm số 25 vào bên phải kết quả vừa tìm được

a/ Vd: Tính nhanh 252

ta lấy : 2.(2+1) = 6 viết kèm thêm 25 vào bên phải 6, có : 625

Do đó:

b/ Tính nhanh: 352, 652, 752, 852

( Kết quả lần lượt là : 1225 ; 4225 ; 5625 ; 7225 )

3- Dạng toán chia hết:

a) ôn tập lý thuyết: (thường vận dụng hai tính chất sau:)

A m và B  m => ( A ± B) m

( A ± B) m ⇔k( A ± B) m ( k thuộc Z)

b/ Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:

A = (n - 1) (n + 1) - ( n - 7) ( n - 5)  12

Có: A = n2+ n - n -1 - ( n2- 5n -7n + 35)

A = n2- n2+ 12n - 35 - 1 = 12n - 36 ( 1)

Từ ( 1) có : 12  12 nên 12n  12 và 36  12

Do đó : ( 12n - 36 )  12

Hay: A chia hết cho 12

b) Bài tập tự giải: Chứng minh với mọi số nguyên n thì :

1/ A = n( 2n - 3) - 2n( n + 1)  5

2/ B = n(n +5) - (n - 3)( n + 2)  6

Một số dạng toán khác

1/ Vd1: Cho: A = ( 3a2- 1) ( a2 - 3) - 3a ( a3 - 3a)

Tìm số tự nhiên a để biểu thức A là số nguyên âm lớn nhất

Giải: Số nguyên âm lớn nhất la ỡ- 1 nên:

A = ( 3a2-1) (a2 -3) - 3a ( a3- 3a) = -1

3a4- 9 2

a + 3 - 3 a4+ 9a2 = -1 2

a = ± 2

Với a = -2 (loại)

Vậy a = 2

Vd 2: Cho 4 số nguyên liên tiếp, biết tích của số đầu với số thứ ba nhỏ hơn tích của số thứ hai và số thứ tư là 99 Tìm bốn số nguyên đó

Giải: Gọi bốn số nguyên liên tiếp cần tìm là: a; a +1; a+2; a+ 3 thì:

Tích của số đầu với số thứ ba: a( a+2)

Tích của số thứ hai và số thứ tư : ( a + 1) ( a + 3)

Theo đề, ta có: a ( a + 2) + 99 = ( a + 1) ( a + 3)

a2+ 2a + 99 = a2 + 3a + a + 3

2a = 96

a = 48 Suy ra : a + 1 = 49; a + 2 = 50 ; a + 3 = 51

Vậy bốn số nguyên liên tiếp cần tìm: 48 ; 49 ; 50 ; 51

Nhớ: Biểu thị số phải tìm là x

Biểu thị các số tự nhiên liên tiếp cần tìm theo x, thường là:

x, x + 1, x + 2, hoặc : x - 1, x, x + 1

Biểu thị các đại lượng trong bài toán theo x để có phương trình chứa x Tìm x, trả lời bài toán

2/ Bài tập vận dụng:

1/ Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích hai số đầu nhỏ hơn tích của hai số sau là 50

( KQ: 24; 25 ; 26)

2/ Cho bốn số nguyên liên tiếp hỏi tích của số đầu với số cuối nhỏ hơn tích của hai số ở giữa bao nhiêu đơn vị?

(KQ: 2 đơn vị )

3/ Cho a, b là hai số tự nhiên, biết a chia cho 3 dư 1, b chia cho 3 dư 2; chứng minh a.b chia cho 3 dư 2

(HD: Đặt a = 3q +1, b = 3p + 2 rồi tính a.b)

DẠNG BÀI TẬP VUI HỌC VÀ TÍNH TOÁN ( CÓ KÊNH HÌNH )

Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh luyện tập nhóm theo các hình thức sau : Hình thức 1: Chạy tiếp sức ( mỗi học sinh làm một câu, lần lượt đến học sinh cuối trong nhóm rồi nêu kết quả)

Vd1: Tính kết quả ở mỗi biểu thức rồi điền chữ cùng dòng với biểu thức vào bảng cho thích hợp Hãy cho biết đức tính rất cần cho học sinh (mà nhóm em vừa tìm được)

A = xy ( - x2y2) M = ( x - y ) ( x + y )

O = 2x ( 3 - 21 y ) H = x ( 2y + y ) C = 3x 21x2y

Đáp án :

y

x3

2

2 3

Vd2: Trò chơi luyện tập thực hành máy tính: Casio fx- 500MS , fs- 570 MS

Hình thức: Mỗi học sinh 1 máy tính, hoạt động theo nhóm, tính kết quả mỗi bài và cho biết ý nghĩa các con số vừa tìm được

Bảng phụ: Tính giá trị các biểu thức sau:

1/ x ( x2 - 2x) + 2x ( 2 - y) tại x = 1 ; y = 0.5 (KQ: 2 )

2/ x ( 3x - 4 x2 ) tại x = - 1 ( KQ: 7)

3/ (2x - 3) ( x - 1) tại x = 0.5 (KQ: 1)

4/ x ( 1 - 2y) + y ( y - x - x2) tại x = 1 ; y = - 1 (KQ: 9)

5/ ( x - 21y ) ( x - 21y) - ( y2 - 1) tại x = 2 ; y = -2 (KQ: 7)

6/ (x2 - 2xy + y2) ( x - y) - ( x - 2y) tại x = 3 ; y = 1 (KQ: 6)

ý nghĩa:

Ngày 2/7/ 1976 Nước ta mang tên Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam

Vd3: Chỉ ra hai hình có diện tích bằng nhau, biết mỗi hình vuông có độ dài một cạnh bằng 2cm

( Bảng phụ hoặc phiếu học tập cho học sinh hoạt động nhóm )

Đáp án:

Có: S1 = AB.AB = ( 2cm.6) (2cm.6) = 144(cm2)

S2 = CD.DE = ( 2cm.6) ( 2cm.4) = 96(cm2)

S3 = 21 CD.DE = 21(2cm.4) (8.2cm) = 64(cm2)

S4 = 21(AB + CD) AH = 21(6.2cm + 12.2cm) (4.2cm) = (144 cm2) Vậy : S1 = S4 = 144 cm2

DÙNG MÁY TÍNH CASIO HỖ TRỢ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

(Nội dung đã được báo cáo ở buổi ngoại khoá học sinh khối 8 vào ngày15/12/2006 qua máy chiếu Projector)

1 / Tính giá trị biểu thức:

Vd1: Tính giá trị biểu thức sau tại x = -31

A= 5x ( x2 - 3) + x2( 7 - 5x)- 7x2

Đối với máy tính fx- 500MS:

Bước 1: Lưu từng giá trị của biến vào máy:

Bước 2: Ghi biểu thức cần tính vào máy:

ấn : 5

7

KQ: 5 Khi biểu thức có nhiều biến trở lên,ta lưu lần lượt từng giá trị của biến vào máy, biến nào không có chữ trên máy ta gán biến tương đương

Vd: Tính giá trị biểu thức sau tại x = 1 , y = 2 , z = 23

M = 3 ( x - 3y) ( y - 1) - xy ( z - 4) + 9y2

Giải: Lưu lần lượt từng giá trị của biến vào máy:

ấn : 1 2

( gán A thay cho biến Z)

Ghi biểu thức trên vào máy (thao tác bấm phiếm như trên)

ấn phím bằng để có kết quả là -4

b) Đối với máy tính fx- 570 MS

Bước 1: Ghi biểu thức vào máy

Bước 2 :

Shift

Calc

ấn ( Lúc đó màn hình hiện X? thì ghi giá trị của biến vào máy rồi ấn phiếm bằng, máy cho kết quả)

- Nếu biểu thức cần tính có hai biến x, y ta tiếp tục ấn màn hình biểu thị Y?, ta ghi giá trị của biến y rồi ấn bằng để có kết quả

- Nếu biểu thức có nhiều biến

Vd : Tính giá trị biểu thức sau tại x = 1 , y = 2 , z = 23

3 ( x - 3y) ( y + 1) - xy ( z - 4) + 9y2

Giải: Ghi biểu thức vào máy:

3 ( x - 3y) ( y + 1) - xy ( z - 4) + 9y2 ( gán A bởi z)

ấn thấy màn hình X? thì ghi giá trị 1 rồi ấn bằng ,màn hình có Y?

thì ghi giá trị 2 rồi ấn bằng, màn hình có A? thì ghi giá trị 23 , ấn tiếp bằng để có kết quả -4

2 / Giải phương trình

a) Phương trình bậc nhất một ẩn (chỉ giải trên máy tính fx- 570 MS hoặc fx- 570 EX )

Vd: Tìm x , biết: x ( 4 + 3x ) - ( x + 1 ) ( 3x - 5 ) = 6

Giải: Ghi đúng phương trình trên vào máy , chú ý dấu bằng nối hai vế phương trình phải ấn (màu hồng)

ấn

Khi giải phương trình có nghiệm phức (vô nghiệm trên R) thì màn hình có

X 10,000,000

Ta kết luận phương trình vô nghiệm

b) Bài tập tự giải : Tìm x , biết :

1) 5 - ( x - 6 ) = 4( 3 -2x ) ( KQ : x = 0,1428 = 71) 2) 6 x2 - ( 2x - 3 ) ( 3x + 2 ) - 1 = 0 ( KQ : x = -1)

Calc

Calc

Alpha =

3) x ( x + 1 ) ( x + 6 ) - x3 = 7 ( x2- 1 ) ( KQ : x = 161

6

7 = − ) 4) (x - 3) (x + 7) - (x -1) (x + 5) = 0 ( KQ: vô nghiệm)

Thực tế giảng dạy cho thấy: học sinh đại trà cứ học thêm một môn học là thêm phần khó khăn Qua giảng dạy ba lớp tự chọn, nhờ phân loại dạng bài tập, dùng máy tính casio hỗ trợ giải toán nhanh và kết hợp vui học, Tôi đã rút được kết quả

và bài học kinh nghiệm sau :

KẾT QUẢ :

LớP

Và

Số

HọC

SINH

Bài kiểm tra chất lượng

trên 5 vượt 8,6%

Điểm giỏi vượt 39,8%

(%)

(%)

(%)

(%)

SL TL (%)

(%)

8A

(42)

8B

(42)

8C

( 44)

- Hoạt động nhóm là một trong những yếu tố quan trọng giúp học sinh đi đúng hướng môn học tự chọn của mình Phát huy việc học nhóm trong giờ tự chọn dưới hình thức vui học có kênh hình hoặc luyện tập nhanh trên bảng phụ giúp học sinh phát triển óc sáng tạo, tính cách độc lập còn giúp giáo viên phát hiện những sai sót thường mắc phải của học sinh , kịp thời uốn nắn cho học sinh