Bai Tap Phu dao-Tu chon Toan Dai so Khoi 11

Viết 3 số hạng đầu và xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số un khi số hạng tổng quát: a.. Viết 3 số hạng đầu và xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số un khi cho dãy số dưới dạng hệ t

1+Cosx .

Bài giải.

a f(x) có nghĩa với mọi x thuộc R Nên tập xác định D=R

b f(x) có nghĩa khi Cosx 0, suy ra π

x +k2π, k Z 2

  Nên tập xác định làπ

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) trên D

, ( ) , ( )

x    k nên phương trình vô nghiệm.

* Dạng: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Bài 1 Giải các phương trình sau:

Ta có phương trình theo t: 2t2-5t+3=0

1 2

t =1 3

t = 2

b 2.Sin2x-3.Cosx=0 ta suy ra 2Cos2x+3Cosx-2=0

Đặt t=Cosx, điều kiện |t|1 ta có phương trình theo t là: 2.t2+3t-2=0 Giải ra đượct=-2

π x= +kπ

thay vào phương trình trên ta có:

2.1 + 0 – 3.0 – 0 vô lý, vậy không phải là nghiệm của phương trình

 nên chia hai vế của phương trình cho ta có:

b

lưu ý: bài này khác bài trên ở chỗ có số 2 ở vế phải đấy

pt

* nếu

lúc đó pt nên cosx = 0 k là nghiệm

* chia 2 vế co , ta được phương trình:

, phương trình này vô nghiệmvậy phương trình đã cho vô nghiệm

Kết luận: phương trình có hai nghiệm hoặc

Chú ý Các phương trình sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tổng thành tích, tích thànhtổng và hạ bậc công thức biến đổi tổng thành tích, tích thàng tổng, hạ bậc







Điều kiện có nghĩa :

(**)

Nhận xét: không phải là nghiệm của phương trình

Xét chia cả 2 vế của (**) cho

Do đó phương trình (1) tương tương:

Giải phương trình lượng giác :

Phương trình đã cho tương đương với

34.

Giải phương trình :

a) mô tả không gian mẫu

b) gọi A là biến cố “tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 7″ Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A Tính P(A)

c) Cũng câu hỏi trên cho các biến cố B: ” có ít nhất một con súc sắc xất hiện mặt 6 chấm” và C: “có đúng một con xuất hiện mặt 6 chấm”

Hay ( có thể liệt kê như thường làm)

b) A ={(6;1),(5;1),(5;2),(4;1),(4;2),(4;3),(3;1),(3;2),(3;3),(3,4),(2;1),(2;2),(2;3)

,(2;4),(2;5),(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(\1;6)}

vậy n(A) = 21 nên P(A) =

c) giống như trên n(B) = và n(C) =

B

ài 2.

Chọn ngẫu nhiên 5 người có tên trong danh sách 20 người, đánh số từ 1 đến 20 Tính xác suất để 5 người được chọn có số thứ tự không lớn hơn 10

chọn 5 trong số 20 người nên

Số thứ tự không vượt quá 10 nên ta chọn 5 người trong tập những người có số thứ tự từ

1 đến 1- Vậy

số trường hợp thuận lợi là:

vậy xác suất cần tìm là

Bài 3 Chọn ngẫu nhiên ba bạn từ một tổ có 6 nam và 4nữ để làm trực nhật Tính xác

suất sao cho trong đó:

a) cả 3 đều nam

b) có đúng hai bạn nam

c) có ít nhất 1 nam

Hướng dẫn – đáp án.

( chọn 3 nam trong số 6 nam)

( chọn 2 nam trong số 6 nam và 1 nữ trong số 4 nữ)Dùng biến cố đối để tính C:”có ít nhất một bạn nam” lúc đó “không có bạn nam nào” ( tức là 3 nữ)

( chọn 3 nữ trong số 4 nữ), suy ra xác suất từ đó suy ra P(C)

Bài 4 Gieo ba đồng xu cân đối Tính xác suất để :

a) cả 3 đồng xu đều sấp

b) có ít nhất 1 đồng xu sấp

c) có đúng 1 đồng sấp

Giải:

Có thể giải bằng cách liệt kê hoặc dùng các quy tắc tính xác suất để tính

ở đây giải bằng cách liệt kê

từ đó ta dễ dàng suy ra các câu a,b,c

hai bài sau đây coi như để kiểm tra lại xem những gì đã học lại nhé

d Có hai con át và hai con K

Bài 6 Hai hộp chứa các quả cầu hộp 1 chứa 3 đỏ và 2 xanh Hộp 2 chứa 4 đỏ và 6

xanh Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả Tính xác suất sao cho:

a Cả hai quả đều đỏ

b Hai quả cùng màu

c hai quả khác màu

Chủ đề PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC.

* Dãy số cho công thức của số hạng tổng quát.

Bài 1 Viết 3 số hạng đầu và xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số (un) khi số hạng tổng quát:

a

2 n

2 2

2 3

2.1 -3

1 2.2 -3 5

2n +2n+3

u -u = = >0

n(n+1) với mọi n thuộc N* Nên dãy số là dãy số tăng.

(un) là dãy số tăng nên un  u , n N1   * vậy un-1 Dãy số bị chặn dưới

b

1 2 3

u =-2

u =4

u =-8 Nên dãy số là dãy số không tăng và cũng không giảm

(un) là dãy số không bị chặn n

n

u u

u =-4

u =2

u =20

n n+1 n

u -u = =2.3 >0 với mọi n thuộc N* Nên dãy số là dãy số tăng

(un) là dãy số tăng nên un  u , n N1   * vậy un-4 Dãy số bị chặn dưới

d

1 2

3

u =3 5

u = 4 7

u = 9

2

-2n -4n-1

n (n+1)  với mọi n thuộc N* Nên dãy số là dãy số giảm.

(un) là dãy số tăng nên un  u , n N1   * vậy un3 Dãy số bị chặn trên

* Dãy số cho dưới dạng hệ thức truy hồi.

Bài 2 Viết 3 số hạng đầu và xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số (un) khi cho dãy số dưới dạng hệ thức truy hồi

n-1

u =1 u

u = 1+u

b

1 2

3

u =1 1

u = 2 1

u = 3

n

u >0, n 

n-1

2 n-1

-u u

1+u    1+u 

n n-1

u -u <0 với mọi n thuộc N* Nên dãy số là dãy số giảm.

(un) là dãy số tăng nên un  u , n N1   * vậy un1 Dãy số bị chặn trên

c

1 2 3

u -u <0 với mọi n thuộc N* Nên dãy số là dãy số giảm.

(un) là dãy số tăng nên un  u , n N1   * vậy un1 Dãy số bị chặn trên

u = 2 9

u = 2

u -u >0 với mọi n thuộc N* Nên dãy số là dãy số tăng.

(un) là dãy số tăng nên un  u , n N1   * vậy n 1 1 *

u u = , n N

2

   Dãy số bị chặn dưới

Chủ đề CẤP SỐ.

Công thức cần nhớ:

 Để xét tính tăng hay giảm của dãy số ta xét hiệu nếu hiệu này

dương,đây là dãy số tăng, ngược lại nếu âm, đây là dãy giảm

 Để chứng minh một dãy số là cấp số cộng cần chứng minh với là hằng số Lúc đó được gọi là công sai





ài 1 Cho dãy số

a) xét tính tăng, giảm của dãy số trên

b) Chứng minh rằng đây là một cấp số cộng, tìm

c) Tìm tổng của 50 số hạng đầu tiên của dãy

giải:

a) đây là dãy số tăng do

b) đây là cấp số cộng vì không đổi và d = 19

c)

vậy

Bài 2 Tìm cấp số cộng biết

Áp dụng các công thức về cấp số cộng ta có:

thay vào 2 phương trình trên ta có hệ sau đây:

tới đây có hai giá trị của d là 4 và -4 Vậy có hai giá trị của hoặc

vậy có hai cấp số cộng thỏa điều kiện

Bài 3 Cho một cấp số cộng 1,6,11… Tìm x biết:

vậy áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên ta có:

Tới đây tự bấm máy để suy ra ( do n>0)

vậy x là số hạng thứ 40 nên

b Tính u100 và S100.

Bài giải.

a un+1-un=-5 (không đổi)

vậy dãy số là cấp số cộng với u1=9-5.1=4 và công sai d=-5

u =-17 d=2

Dạng 2: Chứng minh một dãy số là một cấp số nhân

Bài tập:

Bài1: Cho dãy số (Un) được xác định bởi U1=2, Un+1=3+4Un

Giải:

Dạng 3: Tìm điều kiện để 3 số lập thành một cấp số nhân

Phương pháp chung:

Bài toán được chuyển về việc giải phương trình

Bài tập

Bài 1: Tìm x để 3 số x - 2, x - 4, x + 2 lập thành một cấp số nhân

Giải:

Bài 4 Cho dãy số (un) có un=2n-1.

a Chứng minh (un) là cấp số nhân Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó

Bài 5 Cho cấp số nhân (un) thỏa: 1 5

15 1 q

15 u

15 1

q

15 u

q1u

10 1

1

q1u

9

10 1

u u

10 u u u

6 5 3

5 4 2

c Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó

10 q q q

4 3 1

q1

u

10 1







Chủ đề GIỚI HẠN DÃY SỐ-GIỚI HẠN HÀM SỐ-HÀM SỐ LIÊN TỤC

n

Bài giải:

1 n

1 1

1 Lim n

1 1 n

n Lim 1

n

n

Lim

n n

21

2Limn

21n

2nLim

2 2

n

11n

1Limn

11nn

1nLim1

n

1Lim

2

2

2 2 2 2

1 2

3 Lim n

1 2 n

3n Lim 1

2n

3n

Lim

n n

2 n

3

n

Bài giải:

13

13

n     

1002

001nn

1n

12

n

3nn

21Lim

nn

1n

12n

n

3nn

21nLimn

n

2n

3n2

2

2

n

n n

00

n

1n

11n

3n

2Limn

1n

11n

n

3n

2nLim1

n

n

3n

2 2

2

*n

31n

23

n

12n

11Limn

31n

23n

n

12n

11nLim3n2

3n

12n1

07n

21n

37Limn

21n

n

37nLim2

006n

1n

12

n

1n

26Lim

n

1n

12n

n

1n

26nLim1

n

2n

12n

-6n

Lim

3 2

3 2

3 2 3

3 2 3

3

3

n

n n

n 3 4 2

4 3

      

2

1 1 0

1 n

1 1 n

1 1 Lim

1 n

1 n

1 1 n

n

1 1 n Lim n

1 n n

1 n Lim

n 1 n n

n 1 n n n 1 n n Lim n 1 n n

Lim

2 2

2

2

2 2

2

n n

n

n n

1 2

1 Lim 1

2

1 2

1 2

1 2 Lim 2

n n

n

n

n n

1 4

3 Lim 4

2 3 4

1 4

3 4 Lim 2

3.4

4 3

n

n

n n

n

n n

n n

n n

n n

1

1 n

1 1

1 Lim 1

n

1 1 n

n Lim

n n n

n Lim n

n n

n n n n n n Lim n n n

Lim

n n

n n

2 2

x x

1 1 3 1 2 2 4

1 3 2

2 2

x

e

1 3

1 Lim 3

3

3 Lim

9

3 Lim

3 3

x

x x

x

3 3

3 Lim

9

3 Lim

3 3

x

x x

1 1

2x 1

1 Lim

1 2x 1 2x

2x Lim

1 2x 1 2x

1 2x 1 1 2x 1 Lim 2x

1 2x 1

Lim

0 x

0 x 0

x 0

3 x 9 4 Lim

x

3 x 9 4x Lim 3 x 9 3 x 9

3 x 9 4x Lim

3 x 9

4x Lim

0 x

0 x 0

x 0

2 2

2x

2 Lim

2 2x 2 x

4 2x Lim

2 2x 2 x

2 2x 2 2x Lim 2

x

2 2x

Lim

2 x

2 x 2

x 2

1 1

1 2

1 1 2 1 x 2

1 x 2 Lim

1 x 1 x

2

1 x 1 x 2 Lim 1

x

1 3x 2x

Lim

1 x

1 x 1

2 x

323

121Lim

1 3 Lim x

1 2 x x

1 3 x Lim 1

2x

1 -

3x

Lim

x x

001x

1x

12

x

3x

21Lim

x

1x

12x

x

3x

21xLimx

x2x

3x2

2

2

x

x x

00x

1x

11x

3x

2Limx

1x

11x

x

3x

2xLim1

xx

3x2x

Lim

2 2

2 2

2 2

2 3

x

1 2 x

1 1 Lim x

3 1 x

2 3 x

x

1 2 x

1 1 x Lim 3

x 2 3x

1 2x 1

x

Lim

x x

07x

21x

37Limx

21x

x

37xLim2

x

3x-7x

Lim

2 2

f

3002

006x

1x

12

x

1x

26Lim

x

1x

12x

x

1x

26xLim1

x

2x

12x

-6x

Lim

3 2

3 2

3 2 3

3 2 3

3

3

x

x x

x f(x) f(x),

x f(x) f(x),

x x

3 x f(x)

x x

3 x f(x)

1 x nêu , 1 x 1 x , 1 x 1

x

x 1 0 Lim

1 x

Lim

1 x 1

1 x nêu , 1 x 1 x , 1 x

1

x

4

1 3 1

1 3 x

1 Lim ) 3 x )(

1 x (

1 x Lim 3 x x

1 x

Lim

1 x 1

x 1

x

Tính các giới hạn sau: 

1 x

Limf(x)

 1 x

Limf(x)

;

1 x

1 x 2 Lim )

x ( f Lim

1 x 1

không tồn tại

1 x

2 x x ) x (

)2x)(

1x(Lim1

x

-2xxLim)x(Lim

1 x 1

x 1

x 1

1 nêu x x

1 x 2 )

1 nêu x 1

x 2 x x )

1x2LimLimf(x)

1 x 1

2xxLimLimf(x)

2

1 x 1

1 a 2

0 nêu x x

x 2 x ) x ( f

2

.Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=0

Bài giải

x

xxLimLimf(x)

0 x 0

x 0

0



1 a 2

4 nêu x 4

x 16 x

) x (

4x4xLim4

x

16xLim)x(Lim

4 x 4

x 4

x 4

1 a

1 nêu x 1

x

2 x x ) x ( f

2

.Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=-1

Bài giải.

1x

2x1xLim1

x

2xxLim)

x(Lim

1 x 1

x 1

x 1

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm

Bước 2: Tính (Đạo hàm bên trái):

Bước 3: Tính (Đạo hàm bên phải):

Bước 4: Đánh giá hoặc giải , từ đó đưa ra kết luận

Nhận xét : nên hàm số không có đạo hàm tại x=0

 Kết luận: Hàm số có đạo hàm bên trái, bên phải , nhưng khong có đạo hàm tại x=0

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số trên một khoảng ( dùng định nghĩa).

Để tính đạo hàm của hàm số : trên một khoảng , bằng định nghiã ,

ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giả sử là số gia của đối số tại , tính

Bước 2: Lập tỉ số :

Bước 3: Tìm

Chú ý : Nếu khoảng bằng đoạn , ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số trên khoảng

Bước 2: Tính đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm

Bước 3: Tính đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm

Ví dụ: Dùng định nghĩa , tính đạo hàm của hàm số sau:

Có thể mở rộng định lí trên cho tổng hay hiệu của nhiều hàm số : Nếu các hàm số

có đạo hàm trên J thì trên J ta có

b) Cho hai hàm số và Biết rằng hai hàm số này có đạo hàm trên R Chứng minh rằng với mọi x thuộc R,ta có

1 Đạo hàm của tích hai hàm số

Nếu hai hàm số và có đạo hàm trên J

thì hàm số cũng có đạo hàm trên J,và

;

Đặc biệt,nếu k là hằng số thì

Ghi chú Các công thức trên có thể viết gọn là và

Ví dụ 2 Tính đạo hàm của hàm số trong mỗi trường hợp sau :

2 Đạo hàm của thương hai hàm số

Ghi chú Công thức trên có thể viết gọn là

HỆ QUẢ

b) Nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi x thuộc J thì trên J ta

có

Ghi chú Công thức thứ 2 trong hệ quả trên có thể viết gọn là

Ví dụ 3 Tính đạo hàm của hàm số ,nếu :

a) (a là hằng số)

Giải

a) Áp dụng định lí thứ 3 (ở đây và ),ta có

3 Đạo hàm của hàm số hợp

a) Khái niệm của hàm số hợp

Ghi chú Công thức thứ hai trong định lí trên còn được viết gọn là

Ví dụ 5 Đối với hàm số được nêu trong ví dụ 4, ta tính đạo hàm của nó như sau:

Nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi

a) Đạo hàm của một hàm số thường gặp (ở đây )

b) Các quy tắc tính đạo hàm (ở đây (ở đây )

Ghi chú: Công thức nêu trong định lí 4b) có thể viết gọn là .

Phương trình tiếp tuyến:

b.Gọi là tiếp điểm lần lượt là hệ số góc của d và D

D vuông góc với d'

Với

Phương trình tiếp tuyến:

Với

Phương trình tiếp tuyến:

20 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thịhàm số , biết:

a.Hệ số góc là 2

b.Tiếp điểm là A(-2,4)

Bài giải.

Phương trình tiếp tuyến là:

Vậy phương trình tiếp tuyến là :

21 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thịhàm số , biết:

a.Tung độ của tiếp điểm bằng 9, hoành độ tiếp điểm là 1 số dương

b.Hoành độ tiếp điểm bằng -1

Bài giải.

a.Ta có:

Lấy vì là số dương

Ta có:

Phương trình tiếp tuyến:

Vậy phương trình tiếp tuyến là:

b

Phương trình tiếp tuyến:

22 Viết phương trình tiếp tuyến (D) của đồ thịhàm số ,biết tiếp điểm A(2,-4)

Ta có:

Ta có phương trình tiếp tuyến:

Vậy phương trình tiếp tuyến là:

23 Cho hàm số f(x) sau: Giải phương trình f'(x)=0

Ta tính

Với

Với