KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
Trang 1SỐ PHỨC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1/ Tập hợp số phức: C
2/ Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b∈R, i là đơn vị ảo, i 2 = -1); a là phần thực, b là phần ảo củaz
• z là số thực ⇔phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
• z là phần ảo ⇔phần thực của z bằng 0 (a = 0)
3/ Hai số phức bằng nhau:
'
'
R b a b a b b
a a
∈
=
=
⇔
4/ Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b∈R) được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi u→=( b a; )trong mp(Oxy) (mp phức) y
M(a+bi)
0 x
5/ Cộng và trừ số phức :
(a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
(a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’∈R)
• Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b ∈R)
• z biểu diễn →
u, z’ biểu diễn →
'
u thì z + z’ biểu diễn bởi → →
+u'
u và z – z’ biểu diễn bởi → →
−u'
u
6/ Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’∈R) 7/ Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z− =a−bi
a) z= z; z+z' =z+z' ; z.z' =z.z'
b) z là số thực ⇔z =z ; z là số ảo ⇔z = −z
8/ Môđun của số phức : z = a + bi
a) z = a2 +b2 = z = OM
b) z ≥ 0 ∀z∈C, z = 0 ⇔ z= 0
c) z.z' = z z' , z+z' ≤ z + z' ∀z,z' ∈C
9/ Chia hai số phức :
a) Số phức nghịch đảo của z (z≠ 0 ): z
z
z 1 12
=
−
b) Thương của z’ chia cho z (z≡ 0 ): z z z z z z z z
z
'
'
2
1 = =
c) Với z 0 , ' w z' wz.
z
z = ⇔ =
Trang 210/ Căn bậc hai của số phức :
z là căn bậc hai của số phức ω ⇔ z2 = ω
z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi
=
+ +
=
⇔
=
=
−
⇔
x
b y
b a a x b
xy
a y x
2
2 2
2 2 2
2 2
(a, b, x, y∈R)
a) w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
b) w ≠ 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau
* Hai căn bậc hai của a > 0 là ± a
* Hai căn bậc hai của a < 0 là ± −a i
11/ Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A ≠ 0)
AC
B2 − 4
=
∆
a) ∆ ≠ 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt −B2A±δ , (δ là 1 căn bậc hai của ∆ )
b) ∆ = 0: Phương trình có 1 nghiệm kép là −2B A
12/ Dạng lượng giác của số phức :
* z = r(cos ϕ +isin ϕ )(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b ∈R,z≠ 0 )
=
=
+
=
⇔
r
b
r
a
b a
r
ϕ
ϕ
sin
cos
2 2
+ ϕ là một acgumen của z.
+ ϕ = (Ox,OM)
13/ Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác
Nếu z = r(cosϕ +isin ϕ ) , z' =r' (cos ϕ ' +isin ϕ ' )thì : a) z.z' =r.r' [cos( ϕ + ϕ ' ) +isin( ϕ + ϕ ' )]
b) [cos( ' ) sin( ' )]
' ' = ϕ − ϕ +i ϕ − ϕ
r
r z z
14/ Công thức Moa-vrơ : n∈N* thì [r(cos ϕ +isin ϕ )]n =r n(cosnϕ +isinnϕ )
15/ Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :
Căn bậc hai của số phức z = r(cosϕ +isin ϕ ) (r > 0) là
)]
2 sin(
) 2 [cos(
) 2
sin 2 (cosϕ + ϕ = ϕ + π + ϕ + π
Trang 3B BÀI TẬP
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :
a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) ĐS : 1 và 1
b) (1 + i) 2 – (1 – i) 2 ĐS: 0 và 4
c) (2 + i) 3 – (3 – i) 3 ĐS: -16 và 37
d)
i
i i
i − − +
1
3
ĐS :
2
3
3 − và
2
3 1 2
2 − −
Bài 2: Cho số phức z = x + yi Tìm phần thực và phần ảo của các số phức :
a) z 2 – 2z + 4i ĐS: x 2 – y 2 – 2x và 2(xy – y + 2) b) iz z+−1i ĐS: 2 ( 1 ) 2
2
+ +
−
y x
xy
1 2 2
) 1 ( + +
y x
x y
Bài 3: Giải các phương trình sau (ẩn z):
i
i
+
+
−
=
−
+
2
3 1 1
2
ĐS: i
25
4 25
22 +
2
1 ](
3 ) 2
i iz i z
c) z+ 2z= 2 − 4i ĐS: 2/3 + 4i
d) z2 −z= 0 ĐS: 0, -1, i i
2
3 2
1 , 2
3 2
1
− +
e) z2 + z = 0 ĐS: 0, i, -i
f) z2 + z2 = 0 ĐS: bi (b∈R)
Bài 4: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
a) z+z+ 3 = 4 ĐS: x = 1/2 và x = -7/2
b) z−z+ 1 −i = 2 ĐS: y =
2
3
1 ±
c) 2|z – i| = z−z+ 2i ĐS: y =
4
2
x
Bài 5: Tìm số phức z thỏa mãn : 1
4
=
−
+
i z
i z
ĐS: 0, 1 , -1 Bài 6: Phân tích ra thứa số :
Trang 4a) a 2 + 1 ĐS: (a – i)(a + i) b) 2a 2 + 3 ĐS:
) 3 2 )(
3
2
(a −i a +i
c) 4a 4 + 9b 2 ĐS: (2a – 3bi)(2a + 3bi) d) 3a 2 + 5b 2 ĐS:
) 3 3
)(
5
3
(a −ib a +ib
Bài 7: Thực hiện phép tính :
a) 1+32i ĐS: i
5
6 5
3
− b) 11+−i i ĐS: i c) i m m ĐS: -i m d)
a i a
a i a
−
+
ĐS:
i
a
a
a
a
1
2
1
1
+
+
+
−
e) (1−23i+)(1i +i) ĐS: i
5
3 5
4 + f) 2 2
2 2
) 2 ( ) 2 3 (
) 1 ( ) 2 1 (
i i
i i
+
− +
−
− +
ĐS:
i
17
9
34
21 +
g)
a
i
b i
a+
ĐS: i a
a
b − h) (2 – i) 6 ĐS: -117 – 44i
Bài 8: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau :
a) -1 + 4 3i. ĐS:± ( 3 + 2 i) b) 4 + 6 5i. ĐS:
)
.
5
3
( + i
±
c) -1 - 2 6i. ĐS: ± ( 2 − 3 i) d) -5 + 12.i ĐS:±
(2 + 3i)
Bài 9: Giải các phương trình sau trong C.
a) x2 − 3 x+ 1 = 0 ĐS: i
2
1 2
3
± b) 3 2 x2 − 2 3 x+ 2 = 0 ĐS: ( 1 )
6
6
i
±
c) x 2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0 ĐS: 2 + i ; 1 – 2i d) 3i.x 2 – 2x – 4 + I = 0 ĐS:
3
1 2 10 2 2 10 2 3
3
1 2 10 2 2
10
2
3
i
Bài 10: Giài các hệ phương trình :
a)
−
= +
+
= +
i z
z
i z
z
2 5
4
2 2
2
1
2 1
ĐS:(3 – i; 1 + 2.i) và (1 + 2.i; 3 – i)
Trang 5b)
+
−
= +
−
−
=
i z
z
i z
z
2 5
5 5
2 2
2
1
2
1
ĐS: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i)
Bài 11: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
a) − 2 + 2 3i. ĐS: 23π b) 4 – 4i ĐS: 34π c) 1 - 3i. ĐS: −π3 d) sin 4
4 cos π −i π
ĐS: −π4
8 sin π −i π
− ĐS: −58π f) ( 1 −i 3 )( 1 +i) ĐS: −12π
Bài 12: Thực hiện phép tính :
a) 3(cos20 o + isin20 o )(cos25 o + isin25 o ) ĐS:
2
2 3 2
2 3
i
+
4 sin 4 (cos 3 ).
6 sin 6 (cos π +i π π +i π
12
5 sin 12
5 π +i π
c) 23(cos(cos15450 ..sinsin15450))
0 0
i
i
+
+
ĐS:
6
6 2
2
i
+
d)
) 2 sin 2 (cos
2
) 3
2 sin 3
2 (cos
2
π π
π π
i
i
+
+
ĐS:
4
2 4
6
i
+
Bài 13: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
− +
−
3 sin 3 [cos
] b) 1 + I ĐS:
4 sin 4 cos
12 sin(
) 12 [cos(
2
d)
i
i
+
−
1
3
12
7 sin(
) 12
7 [cos(
2 − π +i − π
e) 2 i.( 3 −i) ĐS: )
3 sin 3 (cos
4 π +i π
f) 2+12i ĐS: )]
4 sin(
) 4
[cos(
4
2 −π +i −π
− +
2
sin 2
Bài 14: Tính :
a) (cos12 o + isin12 o ) 5 ĐS:
2
3 2
1
i
+
b) [ 2 (cos 30 0 +isin 30 0)] 7 ĐS: − 4 6 −i 4 2
Trang 6c) ( 3 −i) 6 ÑS: -2 6
d) (1 + i) 16 ÑS: 2 8
e)
12
2
3
2
1
+i ÑS: 1
+
i
i
ÑS: 2 1004
1
−
g)
21
3
2
1
3
3
5
−
+
i
i
ÑS: 2 21