On TN THPT_Chu de 1

Đây là PT của đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số... Đây là PT của đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số.. Khi đó hãy viết PT đường thẳng đi qua các điể

Chủ đề 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

§1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Điều kiện đủ của tính đơn điệu

Cho hàm số y f x ( ) cĩ đạo hàm trên K.

( ) 0 chỉ tại một số hh điểm trên





( ) 0 chỉ tại một số hh điểm trên





+ Nếu f x( ) 0,   x K thì f x( ) khơng đổi trên K.

2 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

+ Tìm TXĐ

+ Tính f x( ) Tìm các điểm x i i ( 1, 2, ., )n mà tại đĩ f x( ) 0 hoặc f x( ) khơng xác định

+ Lập BBT

+ KL

B BÀI TẬP

1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:

1) y x 3  3x2  9x5 2) y x 4  8x2 10

1

x

y

x





1

y

x

 





3

2 1

x

y

x





2

y

x





4

x y

x







2 Cho hàm số 3 2

y x mx m Tìm m để:

a) Hàm số đồng biến trong (1;2) b) Hàm số nghịch biến trong (0;)

3 Chứng minh:

a) xsinx với mọi x0 b)

3

sin

6

x

x x  với mọi x0 c) xln(1x) với mọi x0 d) lnx2 x trên khoảng (1;)

e)

2

2

x

2

1

2

  

e x với mọi x 0

4 Tìm m để hàm số

3





y

x đồng biến trên khoảng (1;).

5 Tìm m để hàm số

2 2 2





y

x nghịch biến trên đoạn [ 1;0] .

6 Tìm m để hàm số y x 3 3mx23(2m1)x1 đồng biến trên tập xác định

7 Tìm m để hàm số   



1

y

x đồng biến trên khoảng (1;).

§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định lí 1

Giả sử hàm số yf x( ) liên tục trên khoảng K (x0 h x; 0 h) và cĩ đạo hàm trên K hoặc

trên K\{ }x0 , với h 0.

0

x h x0 x0 h x x0 h x0 x0h

'

y   y'  

CT

2 Định lí 2

Giả sử hàm số y f x ( ) cĩ đạo hàm cấp 2 trong khoảng K (x0 h x; 0h), với h 0 Khi đĩ:

0

( ) 0

là điểm cực tiểu của hàm số

( ) 0









 



y x

x

y x

0

( ) 0

là điểm cực đại của hàm số

( ) 0









 



y x

x

y x

3 Quy tắc tìm cực trị

* Quy tắc I:

+ Tìm TXĐ

+ Tính f x( ) Tìm các điểm x i i ( 1, 2, ., )n mà tại đĩ f x( ) 0 hoặc f x( ) khơng xác

định

+ Lập BBT

+ KL

* Quy tắc II:

+ Tìm TXĐ

+ Tính f x( ) Giải phương trình f x( ) 0 tìm các nghiệm x i i ( 1, 2, ., )n

+ Tính f x( ) và f x( )i

+ KL

4 Chú ý:

a Hàm số y ax 3bx2cx d a ( 0)

+ Hàm số cĩ cực trị (CĐ và CT)  PT y' 0 cĩ hai nghiệm phân biệt.

+ yy q x ( )r x( )

Giả sử M x y( ; ) là điểm cực trị của đồ thị hàm số, ta cĩ:

( ) 0

y r x y







 

 Đây là PT của đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số

2

0

dx e

Đặt u ax 2bx c , v dx e 

+ Hàm số cĩ cực trị (một CĐ và một CT)  PT ( ) 2 0



f x y

dx e cĩ hai nghiệm phân biệt

 PT f x( ) 0 cĩ hai nghiệm phân biệt.

+ y u v v u 2 





y

Giả sử M x y( ; ) là điểm cực trị của đồ thị hàm số, ta cĩ:

u

y v

v y









  



Đây là PT của đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số

d Hàm số y ax b c 0,ad bc 0

cx d



e Hàm số y ax 4bx2 c a ( 0)

+ ab 0: Hàm số có một cực trị

+ ab 0: Hàm số có 3 cực trị

B BÀI TẬP

1 Tìm các điểm cực trị của hàm số 1 3 3 2

2 Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3x2

3 Tìm cực trị của hàm số y x 4 2x2 3

4 Tìm các điểm cực trị của hàm số ycos 2x x

5 Xác định m để hàm số   



y

x m (1) có cực trị Khi đó hãy viết PT đường thẳng đi qua

các điểm cực trị của đồ thị hàm số

6 Xác định m để hàm số    



y

x m đạt cực đại tại x 2.

7 Tìm m để hàm số y x 3 (m2)x2 (1 m x) 3m1 (1) đạt cực trị tại x x1, 2 thỏa điều kiện

8 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu:

1





y

2 ( 2)

1





y

x

9 2 2  3 





y

x m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thoả điều kiện yCÑ yCT 8

10 Chứng tỏ rằng nếu hàm số 2 2 3 2

2

y

x



 đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thì ta có

11 2  8





y

x m Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu Khi đó hãy viết phương trình đường

thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

4





y

x Tìm m để hàm số có cực trị thoả điều kiện yCT yCÑ 4

y mx m x m x Tìm m để hàm số có CĐ, CT đồng thời hoành độ các

điểm cực đại, cực tiểu x x1, 2 thoả điều kiện x12x2 1

14 y x 3 3(m1)x2(2m2  3m2)x m m (  1) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm

CĐ và CT của đồ thị hàm số

15 y4x3 mx2 3x m Chứng minh rằng hàm số luôn có CĐ, CT đồng thời chứng minh rằng hoành độ cực trị của hàm số luôn trái dấu

16 y x 3 2mx2(2m2 1)x m m ( 21) Tìm m để hàm số có CĐ, CT.

17 y ax 4(a 1)x3 1 2a Tìm a để hàm số có một điểm cực trị.

18 y mx 4(m2 9)x210 Tìm m để hàm số có 3 cực trị.

19 y(m 2)x3 mx2 Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số không có điểm CĐ và CT.

20 Tìm m để hàm số    



y

x m đạt cực đại tại x 3.

21 Tìm m để hàm số    



y

x m đạt cực tiểu tại x 3.

22 Tìm m để hàm số    



y

x m đạt cực đại tại x 2.

23 Tìm m để hàm số    



y

x m đạt cực tiểu tại x 1.

24 Tìm m để đồ thị hàm số y x 4 2mx2m 1 có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều

25 y x 4 2mx22m m 4 Tìm m để hàm số có CĐ, CT đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu lập

thành một tam giác đều

26 Tìm m để hàm số     



1

y

x có CĐ, CT và khoàng cách giữa hai điểm CĐ, CT

của đồ thị nhỏ hơn 3

27 Tìm m để hàm số   



1

y

x có CĐ, CT và các giá trị CĐ, CT của hàm số cùng âm.

28 Tìm m để hàm số y x 3 x2mx1 có CĐ, CT thỏa mãn CĐ CT 3

CĐ CT

§3 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa



: ( ) max ( )

: ( )

D



: ( ) min ( )

: ( )

D

2 Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của hàm số y f x ( ) trên khoảng ( ; )a b

* Cách giải: Lập BBT.

3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x ( ) trên đoạn [ ; ]a b

* Cách giải:

- Cách 1: Lập BBT.

- Cách 2: (Quy tắc)

+ Tìm các điểm x x x1, , , , 2 3 x n( ; )a b tại đó f x( ) 0 hoặc f x( ) không xác định.

+ Tính f a f x( ), ( ), ( ), , ( ), ( )1 f x2 f x n f b

+ Kết luận:

[ ; ]

max ( ) max{ ( ), ( ), ( ), , ( ), ( )}n

[ ; ]

min ( ) min{ ( ), ( ), ( ), , ( ), ( )}n

B BÀI TẬP

1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

a) y x3  6x2 9x trên đoạn [0; 4] b) y x 2 x2 trên đoạn [ 2; 2]

c) y  1 4x x 2 trên đoạn [ 1;3] d) y2x3 3x2 12x1 trên đoạn [ 1;5]

e) y3x3 x2 7x1 trên đoạn [0; 2] f) 1 4

2

x

 trên đoạn [ 1; 2]

g) 1 3 2 2 3 4

3

y x  x  x trên đoạn [ 2;1] h) y 6 3 x trên đoạn 1;1

i) y 1 9 x2 j) y2x 5 x2

k) y x cos2x trên đoạn 0;

4



2 Tìm GTNN của hàm số:

a) y x 42x2 2 b) y x2 x 2

c)

2

x

x



x

e) y x2 3x 1 (x 0)

x

3 Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của hàm số:

a) y x 33x218x trên [0;) b) ysinx cosx trên (  ; )

c) y6x2 5x1 trên [ 1;1] d) y x 1

x

  trên ; 1

2

  

e) y2x x21 trên (  ; ) f) 3 22

4

x y

x





 trên khoảng (  ; ) g)

( )

1

f x

x



 trên khoảng 1; h) y2x3 x21

4 Tìm GTLN, GTNN của:

a) Hàm số 2 1

1

x y





x y





5 a) Hãy phân tích số 64 thành tổng của hai số sao cho tích của chúng đạt GTLN.

b) Hãy phân tích số 14 thành tổng của hai số sao cho tổng bình phương của chúng đạt GTNN c) Tìm GTNN của tổng hai số dương biết tích của chúng là 36

d) CMR trong các hình chữ nhật nội tiếp hình tròn bán kính R thì hình vuông là hình có chu vi

lớn nhất và có diện tích lớn nhất

e) Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hãy xác định hình trụ có diện tích xung quanh

lớn nhất

f) Tìm chiều cao của hình nón nội tiếp trong hình cầu bán kính R để hình nón này có thể tích lớn

nhất

g) Người ta dùng tấm kim loại để gò một thùng hình trụ tròn xoay có hai đáy với thể tích cho trước Hãy xác định kích thước của hình trụ để vật liệu tốn ít nhất

6 Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

2

2

c) lg2 21

x

2

7 Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

a) y x 3 6x29x 2 trên đoạn [ 1; 4] b) y x  12 3 x2

c) y x1 5 x d) y x 1 4 x

e) y x  x x 2 f) y x 3 6 x (x3)(6 x)

g) 22 1

1

y

 



i) y x2 2x 3 x24x6 j) 3 1

1

x y x





k) y x  4 x2 x 4 x2

8 Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

a) sin cos2

2

x

y x trên đoạn [0; ] b) y2cos4x3sin2x

2



9 Tìm GTLN của hàm số:

a) sin2

2

x

y  x trên đoạn ;

2 2

 



x y





10 Tìm GTNN của hàm số:

a) ycos4 xsin2xsin cosx x b) y 3x 1 3 x1

11 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y 4sin 2x4cos 2x

12 Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

a) 2 1

1

x

y

x





 trên đoạn [ 1; 2] b) 2

1 1 4

x y x





 trên đoạn [ 1; 2] c) y x  4 x2

13 Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

a) cos 2sin 3

y



  trong khoảng ( ; ) b) sin

2 cos

x y

x



 trong đoạn [0; ]

c) cos 2sin 3

y



14 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y ln x2

x

 trên đoạn [1; ]e3

15 Tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 3

3

y x x trên đoạn [0; ]

§4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

( ) : C yf x( )

1 Đường tiệm cận ngang

Nếu lim 0

x y y

    hoặc lim 0

x y y

   thì đường thẳng yy0 là TCN của đồ thị hàm số

2 Đường tiệm cận đứng

Nếu có một trong các điều kiện

0

lim

x x y



  ,

0

lim

x x y



 ,

0

lim

x x y



  ,

0

lim

x x y



  thì đường thẳng x x 0 là TCĐ của đồ thị hàm số

B BÀI TẬP

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:

1) 2 2

1

x

y

x





3

x y x





2

y x







4)

2

2

y

x



4

x y

x





y



4

x

y

x





1

x y

x







§5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I Sơ đồ khảo sát hàm số

+ Tìm TXĐ D.

+ Tính y Tìm các điểm x iD sao cho y 0 hoặc y không xác định; tính y x( )i ; lập BXD

của y (nếu có) Kết luận khoảng đơn điệu và cực trị

+ Tính các giới hạn xlim y, xlim  y và tìm các tiệm cận (nếu có)

+ Lập BBT

+ Vẽ đồ thị

II Sự tương giao của các đồ thị

1 Biện luận số nghiệm của phương trình

Giả sử ( ) : C1 y f x ( ) và ( ) : C2 y g x ( ) Số nghiệm của PT f x( )g x( ) bằng số giao điểm của ( )C1 và ( )C2 .

2 Viết PT tiếp tuyến

Giả sử ( ) :C y f x ( ).

a Viết PTTT của (C) tại điểm M x y0( ; ) ( )0 0  C

b Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc là k (tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với

một đường thẳng cho trước)

Cách giải:

a PTTT của (C) tại điểm M x y0( ; )0 0 là: y y 0 y x( ).(0 x x 0)

b + Giải PT f x( )k ta tìm được hoành độ các tiếp điểm x x x1, , , , 2 3 x n

+ PT các tiếp tuyến cần tìm là: y y x ( )i k x x.(  i) (i = 1, 2, 3, , n).

B BÀI TẬP

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1) y x33x2 4 2) y x 33x23x5 3) y x 3 3x2 6x8

3

3

7) y x 3 5x27x 3 8) y x33x21 9) y2x36x26x1

3

2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1) 1 4 3 2 5

4) y x 4 4x23 5) 1 4 2 3

7) y x 44x22 8) y x42x23

3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

2

x

y

x





2

y x





1

x y

x







1

x

y

x





x y

x





x y

x







4 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y x33x 1

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 3x 4 m0 (1)

5 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y4x3 3x1

b) Tìm m để phương trình 3 3

2

x  x m   có 3 nghiệm phân biệt

6 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số yx42x23

b) Tìm m để phương trình x4 2x2m0 có 4 nghiệm phân biệt

7 Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số 2 2 3 2

1

y

x



 và y2x m

8 Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số 3 4

2

x y x





 và y mx 3

9 ( ) :C y x 3 3x22 Viết PTTT của (C):

a) Tại điểm có hoành độ bằng 1

b) Tại điểm có tung độ bằng 2

c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3x 5y 4 0

d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A ( 1;6).

10 Cho hàm số y x 3 3x1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3

c) Viết PTTT của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2

d) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d x: 24y1 0

1

x



 Viết PTTT của (C) tại điểm 1;5

2

A 

2

x



 Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

a) Với các giá trị nào của m, hàm số đồng biến trên khoảng (1;)?

b) Với các giá trị nào của m, hàm số đồng biến trên R?

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m 2

14 Cho hàm số y x 3 mx2(m2 9)x4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m 3

b) Xác định m để hàm số có cực trị tại x 1 (hoặc có CĐ (CT) tại x 1)

c) Xác định m để hàm số có cực trị.

d) Viết PTTT của (C) tại điểm có hoành độ x 1

e) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y9x2008

f) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x24y2008 0

g) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(3; 4)

h) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo a số nghiệm của phương trình x3 3x2  a 2 0

15 Cho hàm số 3 2

2

y

 



  (m là tham số).

a) Chứng minh rằng với mọi m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoang3xac1 định của nó b) Xác định m để TCĐ của đồ thị đi qua điểm A ( 1; 2)

c) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua điểm 0;1

3

B  

d) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m vừa tìm ở câu c.

e) Viết PTTT của (C) tại giao điểm của nó với trục tung.

f) Viết PT các đường thẳng đi qua O(0;0) và tiếp xúc với (C).

g) Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên.

h) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của (C) là tâm đối xứng của (C).

i) Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến TCĐ bằng khoảng cách từ M đến TCN j) Chứng minh rằng với mọi a, đường thẳng yx a luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt C và

D Xác định a sao cho độ dài đoạn CD nhỏ nhất.

k) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q Chứng minh rằng

S là trung điểm của PQ.

16 Cho hàm số y x 4 2(m1)x22m1 (C m)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m 1

b) Viết PTTT của (C) đi qua A(2;3).

c) Dựa vào đồ thị (C), xác định a để PT x4 4x2 a 0 có 4 nghiệm phân biệt

d) Tìm m để (C m) có 1 điểm cực trị.

e) Tìm m để (C m) có 3 điểm cực trị.

f) Tìm m để (C m) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt với hoành độ lập thành CSC.

g) Giả sử (C m) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt Xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi (C m) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau.

h) Chứng tỏ rằng (C m) luôn qua hai điểm cố định khi m thay đổi.

i) Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm CĐ, CT lập thành một

tam giác đều

j) Tìm điểm trên trục tung có 3 tiếp tuyến của (C) đi qua.