Tính tích phân bằng cách sử dụng định nghĩa và các tính chất của tích phân Bài 1... Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số Bài 1... Ứng dụng của tích phân Bài 1.. Tính diện tích hìn
Trang 1Chủ đề 3 NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Nguyên hàm
Định nghĩa: ∫ f x x F x( )d = ( )+C (F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x))
Tính chất: 1) ∫ f x x′( )d = f x( )+C;
2) ∫kf x x k f x x( )d = ∫ ( )d (k ≠0);
3) ∫ [ f x( )±g x( ) d] x=∫ f x x( )d ±∫g x x( )d
Bảng nguyên hàm:
1
x xα xα C α
α
+
+
Mũ ∫e x e xd = +x C; d ( 0, 1)
ln
x
a
∫
Lượng giác
sin dx x= −cosx C+
∫ ; ∫cos dx x=sinx C+
2
1
d tan cos x x= x C+
sin x x= − x C+
∫
PP tính nguyên hàm ∫ f x x( )d
* PP đổi biến số
• B1 Đặt u u x= ( )⇒du u x x= ′( ).d
• B2 Biểu thị f x x g u u( )d = ( )d
• B2 ∫ f x x( )d =∫g u u( )d
* Hệ quả: Nếu ∫ f x x F x( )d = ( )+C thì f ax b x( )d 1F ax b( ) C
a
* PP tính nguyên hàm từng phần
Công thức tính nguyên hàm từng phân: ( )
b a
u dv= u v − v du
Chú ý:
• Dạng: ∫P x e x( ) xd , ∫P x( )sinx xd , ∫P x( ) cosx xd
Đặt ( )
u P x
v e x v x x v x x
=
• Dạng: ∫P x( ) lnx xd
Đặt ln
( )
v P x x
=
=
2 Tích phân
Định nghĩa: ( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x x F x= =F b −F a
∫ d (F x( ) là một nguyên hàm của f x( ))
Chú ý: 1) Trường hợp a b= , ta quy ước ( ) 0
a
a
f x dx=
2) Trường hợp a b> , ta quy ước ( ) ( )
f x dx= − f x dx
3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x dx= f t dt= f u du= =F b −F a
Trang 2 Tính chất: 1) ( ) ( )
k f x dx k f x dx=
∫ ∫ (k là hằng số);
f x ±g x dx= f x dx± g x dx
f x dx= f x dx+ f x dx
∫ ∫ ∫ (a c b< < )
PP tính tích phân ( )
b
a
I =∫ f x xd .
* PP đổi biến số
• Dạng 1: B1 Đặt x=ϕ( )t ⇒dx=ϕ′( )t td .
Khi x a= thì t t= 1, khi x b= thì t t= 2 B2 Biểu thị f x x g t t( )d = ( )d
B3
2
1
( )d ( )d
t b
I =∫ f x x=∫g t t
Chú ý:
+ Dạng: I f x a( , 2 x2)dx
β α
x a= t π ≤ ≤t π
+ Dạng: I f x x( , 2 a2)dx
β α
x a= t π < <t π
• Dạng 2: B1 Đặt u u x= ( )⇒du u x x= ′( ).d
Khi x a= thì u u a= ( ), khi x b= thì u u b= ( ) B2 Biểu thị f x x g u u( )d = ( )d
B3
( )
( ) ( )d ( )d
u b b
I =∫ f x x= ∫ g u u
* PP tích phân từng phần
Công thức tính tích phân từng phân: ( )
b a
u dv= u v − v du
3 Ứng dụng của tích phân trong hình học
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f x y g x x a x b( ), = ( ), = , = là:
( ) ( ) d
b
a
S =∫ f x −g x x
Chú ý: Cách tính S là: “Tìm nghiệm – tách cận – khử dấu giá trị tuyệt đối”
B1 Tìm nghiệm của PT f x( )−g x( ) 0= trên [ ]a b; B2 Nếu có nghiệm thuộc (a b; ) thì tách cận theo tính chất 3 của tích phân B3 Khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách đưa ra ngoài tích phân
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f x( ), y=0, x a= ,
x b= quay quanh trục Ox là:
2 [ ( )] d
b
a
V =π∫ f x x
Trang 3B BÀI TẬP
I Nguyên hàm
Bài 1 Tính:
1) ∫ (3x2−4x+5 d) x 2) ( )4
x −x x
x −x x
∫
4)
3
d
2
x
x
x+
7) 2 3cos 42 d
sin
e + e x
2
x x
e x
e +
∫
10) 1 d
3x+1 x
x
x
x − +x
3 2
d
x x
∫
Bài 2 Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số:
1) ( ) 4 2 1
x
f x
x
+
=
− biết F(1) 5= 2)
2
( )
f x
=
+ + biết
1 (0)
2
F = −
II Tích phân
1 Tính tích phân bằng cách sử dụng định nghĩa và các tính chất của tích phân
Bài 1 Tính:
1)
1
3 0
.d
x
x
x+
1 0
.d
x x
x+
1 0
1 d
x −x x
∫
4)
1
2
0
4 11
d
x
x
+
1 2 0
d
x
x
−
2 0
d
x
x
x + x+
∫
7) 6( 6 6 )
0
sin x cos x xd
π
+
0
4sin
d
1 cos
x x x
π +
2 0
1 sin 2
d cos
x x x
π +
∫
10) 2 4
0
cos 2 dx x
π
2
6
1 sin 2 cos 2
d sin cos
x
π
π
+
1 0
1 d 1
e +
∫
13) 4( 4 4 )
0
cos x sin x xd
π
−
0
cos 2
d
1 2sin 2
x x x
π +
0
sin 3
d
2 cos3 1
x x x
π
+
∫
16) 2
0
cos
d
5 2sin
x x x
π
−
0 2 2
4 d
Bài 2 Tính:
1)
3
2
3
1 d
−
−
4 2 1
3 2 d
−
− +
3
− + − −
∫
4)
2
2
2 1
2
1 2.d
x
3 0
2x−4 dx
0
1 cos 2 dx x
π +
∫
7)
2
0
1 sin dx x
π
+
2 2 0
d
x −x x
∫
Bài 3
1) Tìm các số a, b để hàm số f x( )=asinπx b+ thỏa mãn đồng thời các điều kiện f′ =(1) 2 và 2
0
( )d 4
f x x=
2) Tìm các giá trị của a để có đẳng thức:
Trang 4a) 2[ 2 ( ) 3]
0
a + − a x+ x x=
0
a + − a x+ x x=
∫
2 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Bài 1 Tính:
1) 2 3 2
0
cos xsin dx x
π
0 cos dx x
π
2 0
sin 4
d
1 cos
x x x
π +
∫
4)
1
0
x −x x
0 sin 2 1 sinx x dx
π
+
4 0
1 d cos x x
π
∫
7) 4
0
1
d
cosx x
π
1
1 ln
d
e
x x x
+
2 1
1 ln
d
e
x x x
+
∫
10) 1 5( 3)6
0
x −x x
2 0
cos
d
6 5sin sin
x
x
π
0
tan d cos 2
x x x
π
∫
13) 4
0
cos sin
d
3 sin 2
x x
π
+ +
0
sin 2
d cos 4sin
x
x
π
+
ln 5
ln 3
1
d
e + e− −
∫
16)
2
2 0
sin 2
d
2 sin
x x x
π
+
4
ln tan
d sin 2
x x x
π
π
0
1 tan x xd
π
−
∫
19)
2
4
sin cos
d
1 sin 2
x x
π
π
− +
0
sin 2 sin
d
1 3cos
x x
π
+ +
0
sin 2 cos
d
1 cos
x x
x x
π +
∫
22) 2( sin )
0
cos cos d
x
π
+
0
1 2sin
d
1 sin 2
x x x
π
− +
1
1 3ln ln
d
e
x x x x
+
∫
25)
1
0
1
d
1+ 1 3+ x x
2 0
d
x x x
2 1
1 d 5
x x
x x
−
−
∫
Bài 3 Tính:
1)
1
2
0
1−x xd
1 2 0
1 d
1+x x
1
2 0
1 d
4−x x
∫
4)
1
2
0
1
d
1 x
x − +x
1
0
d 1
x
x
x + +x
0
1
d
1 sinx cosx x
π
∫
7)
2
2
2
2 0
d 1
x
x x
−
2
0
x −x x
2 2 2
1 d
1 x
x x −
∫
10)
2
2 2
3
1
d
1 x
x x −
2 1
9 3
d
x x x
+
1
5 0
1 d 1
x x x
− +
∫
13) 2
0
cos
d
7 cos 2
x x x
π
+
6 0
1 d 1
x x x
+ +
2 0
cos
d
1 cos
x x x
π +
∫
Trang 516)
0
2
1
1 d
Bài 4 Tính:
1)
8
2
3
1
d
1 x
x x +
0
d 1
x x x
+
3
0
x +x x
∫
4)
ln 2
0
1
d 2
e +
7 3 3 0
1 d
x
x x
+ +
2
0
x +x x
∫
7)
2 3
2
5
1
d
4 x
x x +
∫
3 Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
1)
2
5
1
ln
d
x
x
x
0 cos d
x x x
π
1
0 sin d
x
e x x
∫
4)
2
0
sin x xd
π
1
ln d
e
x x x
2 0
sin d cos
x x
π +
∫
0
sin cos d
x x x x
π
0 2cos 1 d
π
−
2 1
ln 1
d
x x x
+
∫
10) 1( )2 2
0
1 xd
x+ e x
1
ln d
e
x x x
0 cos ln 1 cosx x xd
π
+
∫
13) ( )2
1
ln
d 1
e
e
x
x
x+
1 2 0 tan d
x x x
0
2 xd
x− e x
∫
16) 1 ( 2)
0
x +x x
1
ln d
e
x x x
0 cos sinxd
π +
∫
19) 2( ) ( )
0
2x+7 ln x+1 dx
2
ln x −x xd
∫
4 Tích phân dạng ( )
b
a
f x dx
Cách giải: “Tìm nghiệm - Tách cận - Khử dấu giá trị tuyệt đối”.
Bài 1 Tính:
1)
2
2
1
x dx
−
+
4 1
2
x− dx
1 1
x dx x
−∫
4)
2
2
0
x −x dx
2 2 0
2 3
x + x− dx
3 2 3
1
x dx
−
−
∫
7)
2
4
2
1
x dx
−
−
5
3
(x 2 x 2 ).dx
− + − −
1
2 1
( 2x 1 x) dx
−
− −
∫
10)
2
1
2
1
x dx
x
−
0
1 sin x dx
π
−
0
1 sin 2 x dx
π
−
∫
Trang 613)
0
1 sin x dx
π
+
0
1 sin x dx
π
−
2 0
1 cos
2
x dx
∫
16)
4
2
4
1 tan x dx
π
π
+
2
2
sin x dx
π
π
0 cos sin x x dx
π
∫
19)
0
1 cos 2
2
x dx
∫
Bài 2 f x( ) 3= x3− −x2 4x+1; g x( ) 2= x3+ − −x2 3x 1
1 Giải bất phương trình: f x( )≥g x( ) 2 Tính:
2 1 ( ) ( )
I f x g x dx
−
5 Tích phân dạng ( )
( )
b
a
P x dx
Q x
∫
Tính các tích phân:
1)
1
0
1
x
dx x
+
+
1 2
x dx
x+
1 2 0
3
x x
dx x
+
∫
4)
3 2
1
2
x x
dx x
+
2
x dx
x + x+
1 1
2 (x 2)(x 3)dx
7)
1
2
dx
x
0 2
dx
5 2 3
1
x
dx
x x
+
− +
∫
10)
1
4
2
2
x
dx
x −
2 2 1
dx
x +x
1 2
dx
x − −x
∫
13)
1
2
0
4 11
x
dx
+
5 2 4
x
dx
x x
−
1
3 0
2 ( 1)
x dx
x+
∫
16)
1
3
0(2 1)
x
dx
x+
3 2
dx
x − x+
1
2 0
1
3 2dx
x + x+
∫
19)
1
2
0
x
dx
x x
+
1 2 2 0
3 10
x x
dx
2 0
dx
∫
22)
1
2
0
1 d
x
x
−
1 2 1
1 d
x
x
−
−
1 2 1
1 d
6 Lượng giác.
Bài 1 Tính:
1)
2
0
cos5 cos x x dx
π
0 sin 2 cos3 x x dx
π
0 sin sin 4 x x dx
π
∫
4) 2
0
sin x dx
π
0 cos 2 x dx
π
0 sin x dx
π
∫
7) 2 2
0
cos cos 4 x x dx
π
0 cos sin 2 x x dx
π
0 sin cos x x dx
π
∫
Trang 710) 2
0
cos
1 cos
x dx x
π
+
0
cos cos 1
x dx x
π
+
0 cos 2 (sinx x cos ).x dx
π
+
∫
13) 2
0
sin
1 cos
x dx x
π
+
0 tan x dx
π
0 sin 2 (1 sinx x dx)
π
+
∫
16) 2 3 3
0
(sin x cos ).x dx
π
+
4
0 cos
dx x
π
0 sin x dx
π
∫
19) 4 3
2
0
sin
cos
x
dx x
π
0
sin 3
1 cos
x dx x
π +
0
4sin cos 1
x dx x
π +
∫
22)
2
4
sin cos
sin cos
dx
π
π
− +
2 0
cos
11 7sin cos
x
dx
π
0 cos
dx x
π
∫
25) 2
0 2 cos
dx
x
π
+
0
sin cos
x dx x
π
0 2 sin
dx x
π +
∫
28) 2
01 sin cos
dx
π
01 sin 2
dx x
π +
0 sin cos
x x x dx
π
∫
Bài 2 2 2 2
0
cos cos 2
π
0 sin cos 2
π
=∫
1 Tính I J+ và I J− 2 Tính I và J.
7 Chứng minh
Bài 1 Chứng minh nếu f t( ) là một hàm số liên tục trên đoạn [ ]0;1 thì:
(sin ) (cos )
f x dx f x dx
=
b)
(sin ) (sin )
2
x f x dx f x dx
Áp dụng tính các tích phân sau:
0
.sin
d
1 cos
x x
x x
π
+
0
.sin
d
4 cos
x x
x x
π
−
0
cos
d cos sin
x x
π
+
∫
4) 2
0
cos
d cos sin
n
x x
π
+
0
sin
d cos sin
x x
π
+
0 sin d
x x x
π
∫
7)
2
2 2
cos
d
4 sin
x x
π
π
+
−
0 cos sin d
π
1 4 2 1
sin d 1
x x
−
+ +
∫
Bài 4 Chứng minh nếu f x( ) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [ ; ] (−a a a>0) thì
0 ( ) 2 ( )
a
f x dx f x dx
−
=
∫ ∫ Áp dụng tính:
−
=
Trang 8Bài 5 Chứng minh nếu f x( ) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [ ; ] (−a a a>0) thì ( ) 0
a
a
f x dx
−
=
Áp dụng tính:
8
6 7
8
x x dx
π
π
=
∫
Bài 6 Chứng minh nếu f x( ) là hàm số chẵn và liên tục trên R thì
0
( )
1
x
f x
x f x x a
α
−
= +
∫ ∫ với α >0
và a>0, a≠1
Áp dụng tính:
1)
1
d
2x 1
x
x
1
1 d
2x 1
x x
−
− +
2 sin d
3x 1
x x
π
∫
8 Bài tập tổng hợp
Bài 1 Tính các tích phân sau:
1) ∫(1 cos )+ x dx2 2) 1
(1+x)(1 2 )− x dx
3
2
1 1
x dx x
+
−
∫
4) ∫(1−x e dx2) 2x 5)
1
0
1
3 2− x dx
0 (1 x)sin cosx xdx
π
−
∫
7)
3
2
0
2
x − x dx
1
0 ln(1 )
x +x dx
∫
Bài 2 Tính:
1) ∫2 3 5 dx 2x 3x x 2) ∫(2x+1) d20 x 3) sin d
1 3cos+ x x x
∫
4) ∫x(1−x) d100 x 5)
2
ln ln(ln )
d
e
e
x x
+
1 2x x
+
∫
7) 23 d
1
x
x
e −
4
0
x − x +x x
1
0
x+ + x
∫
10)
2 1
1 ln d
e
x x x
+
∫
Bài 3 Tính các tích phân sau:
1)
9
4
1 x
x−
1
2 0
4−x x
1
(ln 1)
e
x x+
∫
4)
ln 2 2
0
d 1
x
x
e +
3 0
d
1 1
x+ +
3 3 1
1 dx
x x+
∫
7)
1
2
2
0
1 ln1 d
1
x x
+
−
−
1 2 0
x + x+
2 0
d 1
x x
x +
∫
10)
1 3
0
d
1
x x
x+
ln5
ln3
e + e− −
1
2 0
d 1
x x
x −
∫
13)
3
1
−
− + + +
1
2 2 2 0
4 11 d
2 0
d
x + x+
∫
Trang 916)
3
1
1 d
x+
2
2 3 0
1d
x x + x
0
d 1
x
+
∫
19)
1
0
x −x x
ln5 2
ln 2
d 1
x x
e −
0
2cos d
1 sinx x x
π +
∫
22) 2
0
sinx cosx 1 x
π
0
1 cos 2 dx x
π +
2 1
1 ln
e
x
x − x
∫
25)
7
3
0
2 d
1
x
+
+
1
0
d (x+1)(2x x+1) x
2 3
2 5
4 x
x x +
∫
28) 2 2
0
sin dx x
π
0
sin cos d
1 cosx x x x
π +
2 0
sin 4 d
1 cos
x x x
π +
∫
Bài 4 Tính các tích phân sau:
1)
2
2
1
ln(1 )
d
x
x x
+
1 2 0 ln( 1)d
x x + x
1
2 2 0 d
x
x e x
∫
4)
4
0
d
x
e x
3 2 2 ln(x −x x)d
1 3 0 d
x
x e x
∫
7)
2
2 ln(1 )d
e
x −x x
1
ln d
e
x x x
4 2 2 ln(x −1)dx
∫
10) 2
0
sin d
x x x
π
∫
III Ứng dụng của tích phân
Bài 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
3) y x= 2+3 , x y x= +3 4) 1 , 2 2
2 1
x
x
+
5) y= 4−x2, x2 −3y=0 6) y= x y, = 3 x
7) y=2 , x y x2 = 4−2 (x2 x≥0) 8) y x= 2 −4, y= − −x2 2x
11) 1 2, 1
2 1
x
2y x= + −x 6, 2y= − +x 3x+6 13) y x= 3−3 , x y x= 14) y= −2 x y x2, =
15) y=3x3− −x2 10 , x y= − +x2 2x 16) 1 2 3, 1
2
y= x − y x= +
17) y x= 4−2x2+1, y=0 18) 2 2 10 12 , 0
2
x
+
19) 2 3 3 ,
y x= + x− y= x 20) y x= 2 − +x 3, y=2x+1
23)
2
28 ,
4 4
x
x
+ 24) y x x= ( +1) (x−2 , ) y=0
Bài 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Trang 101) y x= 1+x2, y=0, x=1 2) 3 , 0, 2
1
x
x
−
−
3) y=2 , x y= −3 x x, =0 4) y=ln , x y=0, x e=
5) y x y= 3, = −2 x x2, =0 6) 2 1, 1, 0
1
x
x
−
+
Bài 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
1) y=3x2+6x−9, y=0, x=0, x=2 2) y=4x3−2 , x y =2 , x x=0, x=2
3) y x y= 3, =0, x= −1, x=2 4) y x= 3−3 , x y x x= , = −2, x=2
5) y= − +x2 6x−5, y=0, x=0, x=1 6) y x= 2−3x+2, y x= −1, x=0, x=2
7) y x= 3−3x2+ +x 1, y x= +1, x=1, x=2 8) y=3x2 +3, y=0, x=1, x=2
9) ln , 0, 1,
2
x
x
6
y= x+ y= x= x= π
11) y=cos , 2x y=0, x=0, x=π 12) y x= 2−4, y= − −x2 2 , x x= −3, x= −2 13) y x= 3−4 , x y=0, x= −2, x=4 14) y x= 4−4x2+4, y x x= 2, =0, x=1
y= − x + −x y= x= x= 16) y=cos , x y=0, x=0, x=2π
17) y= e x+1, y=0, x=ln3, x=ln8 18) ln (22 2 1) , 0, 0, 1
1
x x
x
+
+
19) y=2x2−4x−6, y=0, x= −2, x=4 20) y=sin , 2x y= −cos , 2 x x=π, x=2π
21) (2 cos sin , ) 0, , 3
y= + x x y= x=π x= π 22) sin , 3 cos , 3 0,
4
y= x y= x x= x=π
Bài 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
1) 2, 2, 8
8
x
x
3) y x= 2 −2x+2, y x= 2 +4x+5, y=1 4) y= x y, = −2 x y, =0
5) 2 , , 1 ( 0, 1)
4
x
y= y x y= = x≥ y≤ 6) y x y= 2, =4x−4, y= − −4x 4
7) y= x y, = −6 x y, =0 8) y3 =x y, =1, x=8
9) x= −4 4 , y x2 = −1 y4 10) y x y= 3, = −2 x y, =0
11) 2, 2 , 27
27
x
x
13) 2, 2, 2, 8
4
x
17) y= 9−x2, y= 1−x2, y=0 18) y=ln , x y=1, y=0, x=0
Bài 5 1) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) :P y x= 2 −4x+5 và hai tiếp tuyến
của (P) tại điểm A( )1;2
2) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) :P y x= 2 −2x+2, tiếp tuyến của (P)
tại điểm M( )3;5 và trục tung
3) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) :P y= − +x2 4x−3 và các tiếp tuyến
của (P) tại các điểm A(0; 3− ) và B( )3;0
Trang 114) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 1, 1x
x
= + = và tiếp tuyến với
đường y 1 1
x
= + tại điểm 2;3
2
A
5) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) :P y x= 2−2x+2 và các tiếp tuyến
của (P) đi qua điểm A(2; 2− )
6) Parabol
2 2
x
y= chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính 2 2 thành hai phần Tìm tỉ
số diện tích của chúng
7) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ) :C y x= 3−3x2 và tiếp tuyến của (C) tại
điểm có hoành độ bằng 2
8) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) :C y= − +x4 4x2−4 và trục Ox.
Bài 6 1) Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y x y mx m= 2, = ( >0) Với giá
trị nào của m thì 4
3
S= 2) Cho parabol ( ) :P y x= 2+1 và đường thẳng ( ) :d m y mx= +2 Cmr với mọi m thì (P) và (dm) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt Tìm m để hình phẳng Sm tạo bởi (P) và (dm) có diện tích nhỏ
nhất
Bài 7 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó
quay quanh trục Ox
1) ln , 0, 1,
2
x
x
3) y x= 2−2x+1, y=0, x=0, x=2 4) cos , 0, 0,
2
y= x x y= x= x=π
5) y xe y= x, =0, x=0, x=1 6) y= sin6 x+cos , 6x y=0, x=0, x=π
7) sin cos , 2 0, 0,
2
x
y= x y= x= x=π
9) y=2 sin , x y=0, x=0, x=π 10) y=2 1−x2, y=0, x= −1, x=1
11) y x y= 2, =0, x=0, x=2 12) cos , 0, 0,
4
y= x y= x= x=π
13) y xe= 2x, y=0, x=0, x=1 14) y= cos , x y=0, x=0, x=π2
15) y x e= 12 2x, y=0, x=1, x=2 16) y x= 2 −4x+4, y=0, x=0, x=3
17) 1 3 2, 0, 0, 3
3
y= x −x y= x= x= 18) y=sin , x y=0, x=0, x=π
19) y x= ln , x y=0, x=1, x e= 20) y=sin , 2 x y=0, x=0, x=π
Bài 8 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó
quay quanh trục Ox
1
x
x
−
3) y=ln , x y=0, x e= 4) y= 2x+2, y=0, x=1
5) y xe y= x, =0, x=1 6) ( )2
1 , 0, 0
y= −x y= x=
Bài 9 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó
quay quanh trục Ox
Trang 121) y x= 2−x y, =0 2) y x= (4−x y), =0
3) y x= (2−x y), =0 4) y= −4 x y2, =0
3
y= −x y= 6) y= 1−x2, y=0
Bài 10 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó
1) y=3 , x y x x= , =0, x=1 2) 2, 2, 4, 0
2
x
y= y= y= x=
3) 2 ( )3
1 , 2
x + −y =
5) y= x y, = −x x, =4 6) x22 y22 1
a +b =
7) y= x y, = −2 x y, =0 8) ( )2
2 , 4
y= −x y=
9) y= −4 x y x2, = 2+2 10) y x= 2−4x+6, y= − −x2 2x+6
11) y= x2−4x+3 , y=3 12) y= x2−4x+3 , y x= +3
13) y= x2 −1 , y= +x 5 14) x y− 2 =0, y=2, x=0
15) y2 =x y3, =0, x=1 16) x y( + =1) 2, y=3, y=0, x=0
17) xy=2, y=1, y=4, x=0 18) x 1, 1, 1
−
19) y x y= 3, =1, x=3 20) 2 , sin , 0,
2
x
π
x + −y =
23) tan , cot ,
4
27
x
x
25) y= −2 x y x x, = , =0 26) 3 , 2
3
x
y= y x=
27) y= x y x, = 2 28) x2+y2 =8, y2 =2x
29) y x= 2 −4x+3, y x= −1
Bài 11 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó
quay quanh trục Oy.
1) y=2x x y− 2, =0 2) 2, 2 , 27
27
x
x
3) ( )2 2
5) y x y= , = −4 x y, =0 6) ( )2
1 , 0, 0
y= −x y= x=
7) y= 1−x2, y=0 8) y= −2 x y x x, = , =0
Bài 12 Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y 1 , 0, 1, ( 1)y x x t t
x
= = = = > Tìm t để thể tích khối tròn xoay do (H) quay quanh trục Ox tạo nên là
2
π .
Bài 13. ( ) :C y x= +3 3x2 −4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.