PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN§1.. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A.. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ I... c Tìm tọa đô giao điểm của hai đường chéo.. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ 1... a Viết
Trang 1Chủ đề 7 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
§1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ
I Tọa độ của điểm và của vectơ
1 Hệ tọa độ
+ Kí hiệu: Oxyz
+ O: gốc tọa đô
i = j =kr =
i j = j kr=k ir =
2 Tọa độ của một điểm
OMuuuur=x ir+y j z kr+ r⇔M x y z
3 Tọa độ của một vectơ
1 2 3 ( ; ; )1 2 3
a a i a j a kr= r+ r+ r⇔ =ar a a a
* Nhận xét: OMuuuur=( ; ; )x y z ⇔M x y z( ; ; )
II Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
* Định lí: ar=( ; ; ), a a a1 2 3 br=( ; ; )b b b1 2 3
a) a br+ =r (a1+b a1; 2+b a2; 3+b3)
b) a br− =r (a1−b a1; 2 −b a2; 3−b3)
c) ka k a a ar= ( ; ; ) (1 2 3 = ka ka ka1; 2; 3) với k∈R
* Hệ quả:
a) ar=( ; ; ), a a a1 2 3 br=( ; ; )b b b1 2 3 Ta có:
1 1
2 2
3 3
a b
a b
=
=
r r
b) 0 (0;0;0)r =
c) br r≠0: ar
và br cùng phương khi và chỉ khi có môt số k sao cho: a1 =kb1, a2 =kb2, a3=kb3
d) ( ;A x y z A A; ), ( ;A B x y z B B; )B
uuur uuur uuurAB OB OA= − =(x B−x y A; B−y z A; B−z A)
M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ; ;
x x y y z z
III Tích vô hướng
1 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
1 2 3
( ; ; )
( ; ; )
a a a a
a b a b a b a b
b b b b
=
=
r r
2 Ứng dụng
( ; ; )
ar= a a a ⇒ ar = a +a +a
b) Khoảng cách giữa hai điểm: AB= uuurAB = (x B−x A)2+(y B−y A)2+(z B−z A)2
c) Góc giữa hai vecơ: cos( , ) .
a b
a b
a b
=
r r r r
r r
IV Phương trình mặt cầu
* Định lí: Mặt cầu (S) tâm ( ; ; ) I a b c bán kính r có PT là: ( )2 ( )2 ( )2 2
x a− + −y b + −z c =r
* Nhận xét: PT x2+y2+ −z2 2ax−2by−2cz d+ =0 với a2+ + − >b2 c2 d 0 là PT của mặt cầu có tâm ( ; ; )I a b c và bán kính r= a2 + + −b2 c2 d
Trang 2B BÀI TẬP.
1 Cho ba vectơ ar =(2 ; 5 ; 1)− , br =(1 ; 2 ; 1)− , cr=(1 ; 6 ; 2) Tìm tọa đô của các vectơ
ur = a br− +r cr, 5 2 1
2
vr = ar− br+ cr
2 Cho hình hôp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ biết A(2 ; 1 ; 3)− , B(0 ; 1 ; 1)− , C( 1 ; 2 ; 0)− , D′(3 ; 2 ; 1)− Tìm tọa đô các đỉnh còn lại của hình hôp
3 Tìm tọa đô của ur
, biết:
a) a ur r+ =4ar, với ar =(3 ; 2 ; 1)−
b) ar +2ur =br, với ar =(4 ; 5 ; 1)− , br =(7 ; 6 ; 3)
c) 2a br+ −r 3cr −2ur =0r, với ar=(1;0; 2), br =(1; 2; 1), − cr=(0;3; 2)−
d) a ur r = −5, b ur r. = −11, c ur r. =20
, với ar =(2 ; 1 ; 3)− , br=(1 ; 3 ; 2)− , cr=(3 ; 2 ; 4)− e) ar ⊥ur, br⊥ur, c ur r = −6, với ar =(2 ; 3 ; 1)− , br =(1 ; 2 ; 3)− , cr=(2 ; 1 ; 1)−
f) ar ⊥ur, br⊥ur, ur = 21, với ar=(1;0; 2), br =(1; 2; 1), − cr=(0;3; 2)−
4 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(3 ; 4 ; 7)− , B( 5 ; 3 ; 2)− − , C(1 ; 2 ; 3)−
a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của môt tam giác.
b) Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
c) Tìm tọa đô giao điểm của hai đường chéo
d) Tìm tọa đô các điểm tương ứng là chân đường phân giác trong, đường phân giác ngoài của góc A của ∆ABC.
e) Chứng minh O, A, B, C là bốn đỉnh của môt tứ diện Tìm tọa đô trọng tâm của tứ diện.
5 Cho bốn điểm (3 ; 1 ; 6)A − , ( 1 ; 7 ; 2)B − − , (1 ; 3 ; 2)C − , (5 ; 1 ; 6)D
a) Tìm tọa đô trọng tâm của ∆ABC
b) Tìm tọa đô trọng tâm của tứ diện ABCD.
6 Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2;1; 2 ,− ) B(3;0;1 ,) C(2; 1;3− ) và D Oy∈ .
a) Tính diện tích của ∆ABC.
b) Tính đô dài đường cao kẻ từ đỉnh A của ∆ABC.
c) Tìm tọa đô của điểm D để thể tích của tứ diện ABCD bằng 5.
d) Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng OA và BC.
7 Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ M, N lần lượt là trung điểm của AD, BB' Chứng minh
MN ⊥A C′
8 a) Tìm trên Oy điểm M cách đều hai điểm (3 ; 2 ; 0) A , (2 ; 3 ; 1)B −
b) Tìm trên mặt phẳng Oxz điểm N cách đều ba điểm (3 ; 1 ; 2) A − , (0 ; 4 ; 2)B − , ( 3 ; 2 ; 1)C −
9 Cho tam giác ABC biết (3 ; 1 ; 2) A − , (0 ; 4 ; 2)B − , ( 3 ; 2 ; 1)C − Chứng minh ∆ABC cân
10 Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối của tứ diện ABCD với (1;0;0) A , (0;1;0)B , (0;0;1)C ,
( 2;1; 1)
D − −
11 Tính u vr r
biết:
a) ur =(1 ; 5 ; 2)− , vr =(4 ; 3 ; 5)− b) ur=(0; 2; 3 ,) vr=(1; 3;− 2)
12 Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B biết:
a) (4 ; 1 ; 1)A − , (2 ; 1 ; 0)B b) A( 2;1;0 ,) (B 1; 2;1)
13 Tính góc giữa hai vectơ ar
và br biết:
a) ar =(2 ; 3 ; 3), br =(1 ; 4 ; 2)− b) ar=(1 ; 5 ; 2), br =(6 ; 0 ; 3)−
14 Chứng minh tam giác có các đỉnh (3; 2;5)A − , ( 2;1; 3)B − − , (5;1; 1)C − là tam giác nhọn
15 Cho tam giác ABC biết (3 ; 1 ; 6) A − , ( 1 ; 7 ; 2)B − − , (1 ; 3 ; 2)C − Tính đô dài các cạnh, suy ra
ABC
∆ vuông và tính R.
16 Cho tam giác ABC biết (1 ; 0 ; 2) A − , (2 ; 1 ; 1)B − , (1 ; 2 ; 2)C −
a) Tính đô dài các cạnh b) Tìm tọa đô trung điểm của các cạnh
c) Tìm tọa đô trọng tâm
Trang 317 Cho hai vectơ ar=(3 ; 1 ; 2)− − , br=(1 ; 2 ; 1)− Tìm tọa đơ của các vectơ: a br∧ r, [(2a b br+ r r), ]
18 Cho ba điểm (2 ; 1 ; 2)A − , (1 ; 2 ; 1)B − , (3 ; 2 ; 1)C Tìm tọa đơ của vectơ AB ACuur uur ∧
19 Cho ∆ABC có (1 ; 1 ; 2)A − , (5 ; 6 ; 2)B − , (1 ; 3 ; 1)C − Tính đơ dài đường cao hạ từ B.
20 Cho bớn điểm A(3 ; 1 ; 0)− , B(0 ; 7 ; 3)− , C( 2 ; 1 ; 1)− − , D(3 ; 2 ; 6).
a) Chứng minh A, B, C, D là bớn đỉnh của mơt tứ diện.
b) Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đới của tứ diện
c) Tính thể tích của tứ diện ABCD và đơ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
21 Tìm đơ dài đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện ABCD, biết (2 ; 3 ; 1) A , (4 ; 1 ; 2)B − , (6 ; 3 ; 7)
C , ( 5 ; 4 ; 8)D − −
22 Tìm đơ dài đường cao OH của ∆OAB biết ( 3 ; 2 ; 6)A − − , ( 2 ; 4 ; 4)B −
23 Tìm đơ dài đường phân giác trong kẻ từ B của ∆ABC, biết (1;2; 1)A − , (2; 1;3)B − , ( 4;7;5)C −
24 Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có PT:
a) (x−4)2 +(y+1)2 +z2 =25 b) (x+2)2 +(y+4)2 + −(z 1)2 =5
c) x2 +y2 +z2 +4x−2y−6z+14 0= d) x2 + y2 +z2 −2z− =8 0
e) x2 +y2 +z2 −6x−2y+4z+ =5 0 f) x2+y2+ −z2 4x+8y+2z− =4 0
g) 3x2 +3y2 +3z2 −6x−3y+15z− =2 0
25 Lập PT của mặt cầu:
a) Đi qua điểm A(2 ; 1 ; 3)− và có tâm B(3 ; 2 ; 1)−
b) Có đường kính AB với A(4 ; 3 ; 3)− − , B(2 ; 1 ; 5).
c) Có tâm I(1; 2;3− ) và tiếp xúc với mp(Oxy).
d) Đi qua hai điểm A(1;0; 1 ,− ) B(3;2;1) và có tâm thuơc trục Ox.
e) Đi qua ba điểm A(1;3;5 ,) B(−2;1;0 ,) C(4;2;1) và có tâm thuơc mp (Oxz).
f) Đi qua bớn điểm A(−2; 2; 3 ,− ) B(−2; 2;1 ,) C(4;0;1 ,) D(0; 2;1− )
§2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ
1 VTPT của mp
Định nghĩa: nr
là VTPT của ( )α 0
( )
n
≠
⇔
r r
r giá của vuông góc với .
Nếu ( )α song song hoặc chứa giá của hai vectơ khác phương là ar=( ; ; )a a a1 2 3 và br=( ; ; )b b b1 2 3
thì ( )α có mơt VTPT là n a br r= ∧ =r (a b2 3−a b a b3 2; 3 1−a b a b1 3; 1 2−a b2 1)
2 PTTQ của mp
PT của mp ( )α đi qua điểm M x y z và nhận 0( ; ; )0 0 0 nr=( ; ; )A B C làm VTPT là:
A x x− +B y y− +C z z− =
Nếu ( ) :α Ax By Cz D+ + + =0 thì ( )α có mơt VTPT là nr=( ; ; )A B C
PT của ( )α đi qua ba điểm ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )A a B b C c với abc≠0 là x y z 1
a b+ + =c
3 Điều kiện để hai mp song song, vuơng gĩc
Trong khơng gian Oxyz cho ( ) :α1 A x B y C z D1 + 1 + 1 + 1=0 có VTPT nr1 =( ; ; )A B C1 1 1 ,
( ) :α A x B y C z D+ + + =0 có VTPT nr2 =( ; ;A B C2 2 2)
( ) ( )// n kn
D kD
α α ⇔ =≠
( ; ; )A B C k A B C( ; ; )
D kD
=
( ) ( )1 2 n1 kn2
D kD
α ≡ α ⇔ ==
( ; ; )A B C k A B C( ; ; )
D kD
=
Trang 4 ( ) ( )α1 ⊥ α2 ⇔n nr r1 2 =0 ⇔ A A1 2+B B1 2+C C1 2 =0
Chú ý: ( )α1 caét ( )α ⇔ ≠2 nr1 knr2 ⇔( ; ; )A B C1 1 1 ≠k A B C( ; ;2 2 2)
4 Khoảng cách từ một điểm đến một mp
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M x y z đến mp ( ) :0( ; ; )0 0 0 α Ax By Cz D+ + + =0 là:
d M
A B C
B BÀI TẬP.
1 Viết PT của mặt phẳng:
a) Đi qua điểm M(3 ; 2 ; 5)− và nhận nr = −( 3 ; 4 ; 1) làm VTPT
b) Đi qua điểm M(1;3; 2)− và song song với mặt phẳng 2x+2y−5z+ =1 0
c) Đi qua điểm M(3 ; 2 ; 5)− và song song với giá của hai vecơ ar=(2;0;1 ,) br= −(1; 3; 2)
d) Đi qua hai điểm M(1; 1; 2)− , N(3;1; 4) và song song với trục Ox.
e) Đi qua hai điểm M(1;0;0), N(0;1; 1)− và vuông góc với mặt phẳng x+ − =y z 0
f) Đi qua hai điểm A(0;1;1 ,) B(−1;0; 2) và vuông góc với mặt phẳng x− + − =y z 1 0
2 Viết PT của mặt phẳng đi qua ba điểm:
a) A(2; 3;1)− , B( 2;0;5)− , C(3; 2;0) b) A(2; 4;0)− , B(5;1;7), C( 1; 1; 1)− − −
c) M(2;0; 1 ,− ) N(1; 2;3 ,− ) P(0;1;2) d) A(0; 2;0 ,− ) B(4;0;0 ,) C(0;0;6)
3 Viết PT mặt phẳng trung trực của đoạn MN với:
a) M(3 ; 1 ; 2)− − , N( 3 ; 1 ; 2)− b) M(1 ; 3 ; 2), N( 3 ; 5 ; 6)−
4 Cho ABC∆ có ( 3;5;7)A − , (0; 1;1)B − , (3;1; 2)C − Viết PT của mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với BC.
5 Viết PT của mặt phẳng:
a) Qua điểm M(2 ; 3 ; 1)− và chứa trục Oz.
b) Đi qua điểm M(1;3; 2)− và vuông góc với hai mặt phẳng x−3y+2z+ =5 0,
3x−2y+5z+ =4 0
c) Đi qua điểm M(1;3; 2)− và qua giao tuyến của hai mặt phẳng 2x−3y+ − =z 5 0,
3x−2y+5z− =1 0
d) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng 2x+3y− =4 0, 2y−3z− =5 0 đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2x+ −y 3z− =2 0
e) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng x−4y+2z− =5 0, y+4z− =5 0 đồng thời song song với mặt phẳng 2x− +y 19 0=
6 Cho hai điểm A(1; 1;1 ,− ) B(−1;1; 2) Viết PT của mp(P) vuông góc với AB và cách điểm
(2; 1;1)
M − môt khoảng bằng 3
7 Cho tứ diện ABCD với (5 ; 1 ; 3) A , (1 ; 6 ; 2)B , (5 ; 0 ; 4)C , (4 ; 0 ; 6)D .
a) Viết PT của mặt phẳng (BCD).
b) Viết PT của mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và song song với CD.
8 Xác định m, n để ( )α // ( )β biết:
a) ( ) : 3α x my+ −2z− =7 0, ( ) : β nx+7y−6z+ =4 0
b) ( ) : 5α x−2y mz+ − =11 0, ( ) : 3β x ny z+ + − =5 0
9 Xác định m, n để ( ) ( )α ⊥ β biết:
a) ( ) : 2α x−7y mz+ + =2 0, ( ) : 3β x+ −y 2z+15 0=
b) ( ) : 4α x−3y−2z =0, ( ) : β mx+2y−7z− =1 0
10 Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
a) ( ) : 2α x+3y−2z+ =5 0, ( ) : 3β x+4y−8z− =5 0
b) ( ) : 6α x−4y−6z+ =5 0, ( ) : 12β x−8y−12z− =5 0
Trang 5c) ( ) : 2α x−2y−4z+ =5 0, ( ) : 5 5 10 25 0
2
11 Cho hai mp ( ) : 3α x−(m−3)y+2z− =5 0, ( ) : (β m+2)x−2y mz+ −10 0= Tìm m để:
a) ( ) // ( )α β b) ( )α cắt ( )β c) ( ) ( )α ≡ β
12 Lập PT của mặt cầu:
a) Đi qua ba điểm (1 ; 1 ; 3)A − , ( 1 ; 2 ; 2)B − − , (3 ; 1 ; 3)C và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy).
b) Đi qua hai điểm C(2; 4;0 ,− ) D(−1;1;2) và có tâm thuôc đường thẳng
3
3 3
= +
= +
= − −
c) Đi qua ba điểm (1;1;0)A , ( 1;1; 2)B − , (1; 1; 2)C − và có tâm thuôc mặt phẳng x y z+ + − =4 0 d) Có tâm (3 ; 5 ; 2)I − − và tiếp xúc với mặt phẳng 2x y− − + =3z 1 0 Tìm tọa đô tiếp điểm
e) Có tâm (1 ; 1 ; 2)I − và tiếp xúc với mặt phẳng 3x+4y z− −23 0= Tìm tọa đô tiếp điểm
f) Có tâm trên đường thẳng : 2 1 1
d − = − = −
− − và tiếp xúc với hai mặt phẳng ( ) : P x+2y−2z− =2 0, ( ) : Q x+2y−2z+ =4 0
g) Có bán kính r = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng x+2y+2z+ =3 0 tại M(1 ; 1 ; 3)−
h) Có tâm (2;3; 1)I − và cắt đường thẳng : 5 2 9
d + = + = +
− tại hai điểm A, B sao cho AB=16
13 Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng trong các trường hợp sau:
a) x2+y2+ −z2 6x+2y−2z+ =10 0 và x+2y+2z=0
b) x2+y2+ −z2 6x+2y−16z+22 0= và z− =3 0
c) x2+y2+ −z2 2x+4y−2z− =4 0 và x− =5 0
14 Viết PT của mp tiếp xúc với mặt cầu ( ) : (S x−3)2+ −(y 1)2+ +(z 2)2 =24 tại điểm M( 1;3;0)−
15 a) Viết PT của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu x2+y2 + −z2 2x−2y−2z−22 0= và song song với mặt phẳng 3x−2y+6z+ =14 0.
b) Lập PT của mặt phẳng chứa đường thẳng (d): 4 1 1
x− = y− = z−
và tiếp xúc với mặt cầu
x +y + −z x+ y+ z+ =
16 Cho tứ diện ABCD có (6 ; 2 ; 3) A − , (0 ; 1 ; 6)B , (2 ; 0 ; 1)C − , (4 ; 1 ; 0)D Viết PT tiếp diện
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tại A.
17 a) Lập PT của mp tiếp xúc với mặt cầu ( ) :S x2+y2+ −z2 10x+2y+26z−113 0= và song song
với hai đường thẳng 1: 5 1 13
d + = − = +
7 3
8
z
= − +
= − −
=
b) Lập PT mặt phẳng chứa đường thẳng : 10 6 2
d − = − = −
và tiếp xúc với mặt cầu
x +y + +z x− y+ z− =
c) Viết PT của mp(P) song song với Oz, vuông góc với ( ) :Q x y z+ + =0 và tiếp xúc với mặt cầu
2 2 2
( ) :S x +y + −z 2x+2y−4z− =3 0
18 a) Tính khoảng cách từ các điểm M1(1 ; 1 ; 2)− , M2(3 ; 4 ; 1), M3( 1 ; 4 ; 3)− đến mặt phẳng
x− y+ z− =
b) Tính khoảng cách từ gốc tọa đô đến mặt phẳng ( ) : 2P x+ − − =y z 6 0
19 Cho tứ diện ABCD có A(2;3;1), B(4;1; 2)− , C(6;3;7), D( 5; 4;8)− − Tính đô dài đường cao hạ từ
A của tứ diện.
Trang 6§3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ
1 PTTS của đt
Đường thẳng d đi qua điểm M x y z và nhận 0( ; ; )0 0 0 ur=( ; ; )a b c làm VTCP có PTTS là:
0 0 0
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
= +
Đường thẳng d đi qua điểm M x y z và nhận 0( ; ; )0 0 0 ur=( ; ; )a b c (với abc≠0) làm VTCP có PTCT là: x x0 y y0 z z0
2 Điều kiện để hai đt song song, trùng nhau, cắt nhau và chéo nhau
Trong khơng gian Oxyz cho
0 0 0 :
x x at
d y y bt
z z ct
= +
= +
= +
và
0 0 0 :
x x a t
d y y b t
z z c t
′ ′ ′
= +
′ = ′ + ′ ′
= +′ ′ ′
Đường thẳng d đi qua điểm
0( ; ; )0 0 0
M x y z và có VTCP ur=( ; ; )a b c , d’ đi qua điểm M x y z0′ ′ ′ ′( ; ; )0 0 0 và có VTCP ur′=( ; ; )a b c′ ′ ′ Xét hệ PT:
( )
x at x a t
y bt y b t I
z ct z c t
′ ′ ′ + = +
+ = ′+ ′ ′
+ = +′ ′ ′
0
u ku
d d
M d
′
=
0
u ku
d d
M d
′
=
′
d cắt d′ ⇔Hệ (I) có mơt nghiệm d và d′ chéo nhau u u′
⇔
r kcp với r Hệ (I) vô nghiệm
d ⊥ ⇔d′ u ur r ′=0
3 Điều kiện để đt song song, nằm trong hoặc cắt mp
Trong khơng gian Oxyz, cho
0 0 0 :
x x at
d y y bt
z z ct
= +
= +
= +
và mp ( ) :α Ax By Cz D+ + + =0
Đường thẳng d đi qua điểm M x y z và có VTCP 0( ; ; )0 0 0 ur=( ; ; )a b c , ( )α có VTPT là nr=( ; ; )A B C Xét PT: A x( 0+at)+B y( 0+bt)+C z( 0+ct)+ =D 0 (1)
d//( )α ⇔ PT (1) vơ nghiệm
d ⊂( )α ⇔ PT (1) có vơ sớ nghiệm
d cắt ( )α ⇔ PT (1) có mơt nghiệm
B BÀI TẬP.
1 Viết PTTS, PTCT (nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) d đi qua điểm M(2 ; 0 ; 1)− và có VTCP ar= −( 1 ; 3 ; 5)
b) d đi qua hai điểm A(1 ; 2 ; 7)− và B(1 ; 2 ; 4).
c) d đi qua điểm A(3 ; 4 ; 1) và song song với đường thẳng : 1 5
x− y z−
d) d đi qua điểm M(2 ; 3 ; 5)− và vuơng góc với mp ( ) : 4α x−2y+2z− =3 0
e) d đi qua điểm A(2 ; 0 ; 5)− và song song với đường thẳng
1
2 3
x
=
∆ = − −
= +
f) d đi qua điểm M(1 ; 2 ; 3) và song song với trục Ox.
Trang 7g) d đi qua điểm B(−1; 2; 3− ), song song với mp ( ) :P x+2y z− =0 và vuông góc với đường thẳng 2
3
d y
= −
′ =
= +
2 Chứng minh d1 ⊥d2:
a) 1
1 2
1 6
= +
= − +
= −
d − = + = −
b) 1
3
1
= −
= −
= − −
d + = − =
−
3 Viết PT của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng ( )α :
= = , ( ) : α x+2y z− + =5 0 b) 1
8
5 2
= − −
= − +
= − −
, ( ) : α x−2y z+ − =3 0
4 Viết PT của đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2:
2
1 2
= −
b) M(1 ; 0 ; 5), 1 2
5 a) Viết PT của đường thẳng đi qua điểm M(3; 2; 1− ) và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2α x− +y 7z− =1 0
b) Cho tam giác ABC với (1 ; 3 ; 2) A , (1 ; 2 ; 1)B , (1 ; 1 ; 1)C Viết PTTS của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác.
6 Viết PT mặt phẳng ( )α đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d:
a) (1 ; 0 ; 0)A , : 2 1
d − = − =
b) (2 ; 1 ; 1)A − ,
1
2
x
z t
=
= −
=
7 Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng:
a)
2 2
1
z
= +
= − +
=
và
1
3
x
=
′ = + ′
= − ′
b)
2 2 :
2
d y t
= − +
= −
= +
= =
−
8 Tìm số giao điểm (xét vị trí tương đối) của đường thẳng d và mặt phẳng (α):
a)
2 4
3 2
d y t
= − +
= +
= −
và ( ) :α x y z+ − + =2 0 b)
1 5
1
z t
= +
= +
= +
và ( ) : 2α x− − − =y z 3 0
= = và ( ) : 3α x− −y 3z+10 0=
9 Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( )α :
Trang 8a)
2
0
z
= − +
= − −
=
, ( ) : 2α x−5y z+ − =1 0 b)
1 2
2
= +
= − +
= −
, ( ) : 2α x− +y 2z− =1 0
10 Viết PT của đường thẳng d đi qua điểm M(1 ; 1 ; 1) và cắt hai đường thẳng 1
2 2 :
2
d y t
= − +
= −
= +
và
2
:
= =
11 Viết PT của mặt phẳng chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2:
a) 1
2 2
1
z
= +
= − +
=
, 2
1
3
x
=
= + ′
= − ′
b) 1
4 8
3 5
= +
= +
= +
, 2
2
3 3
′
= +
= − + ′
12 Viết PT đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
b) 1
1
3
x
=
= − +
= +
, 2
3
2
x t
z
′
=
= −
13 Tính khoảng cách từ điểm (1 ; 3 ; 2)S − đến mặt phẳng (P) đi qua ba điểm (3 ; 6 ; 7) A − , ( 5 ; 2 ; 3)
B − , (4 ; 7 ; 2)C − − Suy ra thể tích của tứ diện SABC.
14 Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng:
a) x−2y+3z+ =1 0 và 2x− +y 3z+ =5 0 b) 4x− +y 8z+ =1 0 và 4x− +y 8z+ =5 0
15 Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng 5x−2y+3z=0 và 5x−2y+3z− =11 0
16 Trên trục Oz tìm điểm cách đều điểm (1 ; 2 ; 2) A − và mặt phẳng 2x+2y z+ − =5 0
17 Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai mặt phẳng x+ − + =y z 1 0 và x y z− + − =5 0
18 Cho tứ diện ABCD có ( 1 ; 2 ; 4) A − − , ( 4 ; 2 ; 0)B − − , (3 ; 2 ; 1)C − , (1 ; 1 ; 1)D Tính đô dài đường cao hạ từ D của tứ diện.
19 Hình hôp chữ nhật có các đỉnh (3 ; 0 ; 0)A , (0 ; 4 ; 0)B , (0 ; 0 ; 5)C , (0 ; 0 ; 0)O và D là đỉnh đối diện với O Xác định tọa đô đỉnh D Viết PTTQ của mp(ABD) Tính khoảng cách từ C tới mp(ABD).
20 Tính khoảng cách từ điểm (1 ; 0 ; 0)A đến đường thẳng : 2 1
x− y− z
21 Cho điểm (1 ; 2 ; 1)A và đường thẳng : 1 3
x y− z+
a) Viết PT mặt phẳng qua A và chứa ∆
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆
22 Tìm khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau đây:
a) 1
2 2
1
z
= +
= − +
=
và 2
1
3
x
=
= + ′
= − ′
d + = − = −
− và 2
:
d − = + =
−
23 Tính góc giữa các cặp mặt phẳng:
a) x+2y+3z− =3 0 và 16x+12y−15z− =1 0
b) 6x+3y−2z=0 và x+2y+6z−12 0=
Trang 924 Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây:
a) 1
2 2
4 3
= +
= − +
= − +
và 2
1
3 2
′
= − +
b) 1
2 3
4
d y
= − +
= −
= −
và 2
6 2
2
d y
z t
′
= −
=
25 Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng ( )α trong các trường hợp sau:
x+ y+ z−
∆ = = ; ( ) : α x+2y z− + =5 0
x y+ z−
− ; ( ) : 3α x+ − +y z 13 0=
26 Cho đưởng thẳng : 1 1 3
x+ y− z−
− và mp ( ) : 2α x−2y z+ − =3 0.
a) Tìm tọa đô giao điểm A của ∆ và ( )α
b) Tính góc giữa ∆ và ( )α
27 a) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm (0;0;1)A trên mp ( ) : 6α x+3y+2z− =6 0
b) Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua mp ( )α
28 a) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M( 1; 2; 3)− − lên mp ( ) : 4α x− +y 4z−15 0=
b) Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua mp ( )α
29 Cho tứ diện ABCD với (4 ; 1 ; 4) A , (3 ; 3 ; 1)B , (1 ; 5 ; 5)C , (1 ; 1 ; 1)D Tìm hình chiếu vuông góc của điểm D trên mặt phẳng (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD.
30 Tìm điểm đối xứng của điểm M(2 ; 3 ; 1)− qua mặt phẳng x−2y z− − =1 0
31 Viết PT của đường thẳng đi qua điểm M(0 ; 1 ; 1), vuông góc với đường thẳng
1
1
2
x t
z
′
= +
= − − ′
=
32 Viết PT đường thẳng vuông góc với mặt phẳng x+ + − =y z 1 0 và cắt hai đường thẳng: 1
6
4
d y
′
= −
= −
= + ′
33 Cho đường thẳng : 3 1 3
x+ y+ z−
∆ = = và mp ( ) : α x+2y z− + =5 0 Viết PT của đường thẳng qua giao điểm của ∆ và ( )α , nằm trong mặt phẳng ( )α và vuông góc với ∆
34 Cho điểm (2; 1; 2)A − và đường thẳng
1 2
4
y t
= − +
= −
a) Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆
b) Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua ∆
d − = − = +
− và mp ( ) : 2P x+2y z− − =3 0.
a) Xác định giao điểm A của d và (P).
b) Viết PT của đường thẳng ∆ biết ∆ qua A, nằm trong (P) và ∆⊥d