kiến thức cần nắm vững 1.. bài tập rèn luyện I.. Toán trắc nghiệm Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết Bài 1: Điền vào chỗ .... thì phơng trình vô nghiệm Nếu ..... Tính nghiệm kép này
Trang 1Chuyên đề 5 : Phơng trình bậc hai
Phần II kiến thức cần nắm vững
1 Công thức nghiệm:
Phơng trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có = b2- 4ac
+Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm
+Nếu = 0 thì phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
a
b
2
+Nếu > 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =
a
b
2
; x2 =
a
b
2
2 Công thức nghiệm thu gọn:
Phơng trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có ’=b’ 2- ac ( b =2b’ )
+Nếu ’ < 0 thì phơng trình vô nghiệm
+Nếu ’= 0 thì phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
a
b
+Nếu ’> 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =
a
; x2 =
a
3 Hệ thức Vi-ét
a) Định lí Vi-ét:
Nếu x1; x2 là nghiệm của phơng trình ax2+bx+c = 0 (a0)
thì : S = x1+x2 =
a
b
; P = x1.x2 =
a c
b) ứng dụng:
+Hệ quả 1:
Nếu phơng trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: a+b+c = 0 thì
phơng trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =
a c
+Hệ quả 2:
Nếu phơng trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: a- b+c = 0 thì phơng trình có nghiệm: x1 = -1; x2 =
a
c
c) Định lí: (đảo Vi-ét)
Nếu hai số x1; x2 có x1+x2= S ; x1.x2 = P thì x1; x2 là nghiệm của phơng trình : x2- S x+P = 0
(x1 ; x2 tồn tại khi S2 – 4P 0)
Chú ý:
+ Định lí Vi-ét chỉ áp dụng đợc khi phơng trình có nghiệm (tức là ≥ 0)
+ Nếu a và c trái dấu thì phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu
Phần II bài tập rèn luyện
I Toán trắc nghiệm (Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết) Bài 1: Điền vào chỗ để có mệnh đề đúng
a) Phơng trình mx2+nx+p = 0 (m 0) có =
Nếu thì phơng trình vô nghiệm Nếu thì phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = Nếu thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = ; x2 =
b) Phơng trình px2+qx+k = 0 (p 0) có ’= (với q = 2q’ ) Nếu ’ thì phơng trình vô nghiệm
Nếu ’ thì phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = Nếu ’ thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = ; x2 =
Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề
nào sai
A Nếu x1; x2 là nghiệm của phơng trình ax2+ bx + c = 0 (a
0) thì: S = x1+ x2 =
a
b
; P = x1.x2 =
a c
Trang 2B Nếu x1; x2 là nghiệm của phơng trình ax2+ bx + c = 0 (a
0)
thì: S = x1+ x2 =
a
c
; P = x1.x2 =
a b
C Nếu phơng trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có a+b+c = 0 thì
phơng trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =
a c
D Nếu phơng trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: a-b+c = 0 thì
phơng trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =
a c
E Nếu phơng trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: a- b+c = 0 thì
phơng trình có nghiệm: x1 = -1; x2 =
a
c
F Nếu phơng trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: a+b+c = 0 thì
phơng trình có nghiệm: x1 = -1; x2 =
a
c
G Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm
của phơng trình : x2- S x+P = 0
H Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm
của phơng trình : x2- P x+S = 0
Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn cùng tranh luận về các mệnh
đề sau:
A.Nếu phơng trình ax2+bx+c = 0 có a+b+c = 0 thì phơng
trình có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 =
a c
B.Nếu phơng trình ax2+bx+c = 0 có: a-b+c = 0 thì phơng
trình có 2 nghiệm: x1 = -1; x2 =
a
c
C.Phơng trình ax2+bx+c=0 có tổng hai nghiệm là
a
b
và tích
hai nghiệm là
a c
D.Phơng trình 2x2-x+3 = 0 có tổng hai nghiệm là
2
1
và tích
hai nghiệm là
2 3
Hùng nói: cả bốn mệnh đề đều đúng
Hải nói: cả bốn mệnh đề đều sai Tuấn nói: A, B, C đúng còn D sai
Theo em ai đúng, ai sai? giải thích rõ vì sao?
II Toán tự luận
Loại toán rèn kỹ năng áp dụng công thức vào tính toán
Bài 1: Giải phơng trình
a) x2 - 49x - 50 = 0 b) (2- 3)x2 + 2 3x – 2 – 3 = 0
Giải:
a) Giải phơng trình x2 - 49x - 50 = 0 + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = - 49; c = 50) = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601; = 51
Do > 0 nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
2
51 ) 49 (
2
51 ) 49 (
x
+ Lời giải 2: ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0 Nên phơng trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = 50
1
50
+ Lời giải 3: = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601 Theo định lí Viet ta có :
50 1 50
).
1 ( 50 49
50 ) 1 ( 49
2 1 2
1 2 1
x x x
x x x
Vậy phơng trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = 50
1
50
b) Giải phơng trình (2- 3)x2 + 2 3x – 2 – 3 = 0
Trang 3+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2- 3; b = 2 3; c = – 2 – 3)
= (2 3)2- 4(2- 3)(– 2 – 3) = 16; = 4
Do > 0 nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
) 3 2
(
2
4 3 2
) 3 2 ( 2
4 3 2
x
+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2- 3; b’ = 3; c = – 2 – 3)
’ = ( 3)2- (2- 3)(– 2 – 3) = 4; = 2
Do ’ > 0 nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
1
3 2
2 3
3 2
2 3
x
+ Lời giải 3: ứng dụng của định lí Viet
Do a + b + c = 2- 3 + 2 3+ (- 2 - 3) = 0
Nên phơng trình có nghiệm:
x1 = 1; x1 = ( 7 4 3 )
3 2
3 2
*Yêu cầu:
+ Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng
công thức
+ áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn
đến sai sót)
+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công
thức và tính toán
* Bài tập tơng tự: Giải các phơng trình sau:
1 3x2 – 7x - 10 = 0
2 x2 – 3x + 2 = 0
3 x2 – 4x – 5 = 0
4 3x2 – 2 3x – 3 =
0
5 x2 – (1+ 2)x + 2 = 0
6 3x2 – (1- 3)x – 1 = 0 7.(2+ 3)x2 - 2 3x – 2 + 3 = 0
8 x2 – x – 6 = 0
Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của
ph-ơng trình
x2 – 42x + 441 = 0 (*)
Ta có: ’ = (- 21)2- 441 = 0 Phơng trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21 Vậy u = v = 21
*Bài tập t ơng tự:
1 Tìm hai số u và v biết:
a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24 c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10
2 Tìm kích thớc mảnh vờn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m2
Bài 3: Giải các phơng trình sau
(phơng trình quy về phơng trình bậc hai) a) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0
b)
) 4 )(
1 (
8 1
x x x
x
c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 d) 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0
Giải a) Giải phơng trình x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 (1) (1) (x2 - 2)(x + 3) = 0 (x+ 2)(x- 2)(x + 3) = 0
x = - 2; x = 2; x = - 3 Vậy phơng trình (1) có nghiệm x = - 2; x = 2; x =
- 3 b) Giải phơng trình
) 4 )(
1 (
8 1
x x x
x
(2) Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì
(2) 2x(x- 4) = x2 – x + 8 x2 – 7x – 8 = 0 (*)
Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phơng trình (*) có nghiệm x1 = -1(không thoả mãn ĐK) ; x2 = 8 (thoả mãn ĐK) Vậy phơng trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phơng trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3)
Ta có: (3) 5x4 – 3x2 – 26 = 0 Đặt x2 = t (t 0) thì (3) 5t2 – 3t – 26 = 0 Xét = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529 = 23 Nên: t1 =
5
13 5
2
23 ) 3 (
(thoả mãn t 0) ;
t2 = 2
5 2
23 ) 3 (
(loại)
Trang 4Với t =
5
13
x2 =
5
13
x =
5
13
Vậy phơng trình (3) có nghiệm x1 =
5
13
; x2 =
5 13
d) Giải phơng trình 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0 (4)
Đặt x2+x = t Khi đó (4) 3t2 – 2t – 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 Nên t1 = 1; t2 =
3
1
t1 = 1 x2+x = 1 x2 + x – 1 = 0
1 = 12 - 4.1.(-1) = 5 > 0 Nên x1 =
2
5
1
2
5
1
t2 =
3
1
x2+x =
3
1
3x2 + 3x + 1 = 0 (*) 2 = 32 - 4.3.1 = -3 < 0 Nên (*) vô nghiệm
Vậy phơng trình (4) có nghiệm x1 =
2
5
1
2
5
1
* Bài tập tơng tự: Giải các phơng trình sau:
1 x3+3x2+3x+2 = 0
2 (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x +
5)2
3 x4 – 5x2 + 4 = 0
4 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0
5 x3 + 2 x2 – (x - 3)2 =
(x-1)(x2-2
6 10 1 3
x x
x
7 (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x -
4 = 0
2
x
x x
x
9
x x
x
2
6 3 5 2
Bài 4: Cho phơng trình x2 + 3x - 5 = 0 có 2 nghiệm
là x1 và x2
Không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức
sau:
A =
2 2
1 1
x
x ; B = x1 + x2 ; C = 2
2
2 2
1 1
x
x ; D = x1 + x2
Giải
Do phơng trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Viet ta có:
x1 + x2 = 3; x1.x2 = 5
5
1 5
3
1 1
2 1
2 1 2 2
x x
x x x
B = x1 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= ( 3 ) 2 2 ( 5 ) 3 2 5
5
1 ) 5 (
5 2 3
2
2 1
2 2
2 1
x x
x x
;
D = (x1+x2)( x1 - x1x2 + x2 ) =
) 15 3 3 3 ( )]
5 ( 5 2 3 )[
3
* Bài tập tơng tự:
Cho phơng trình x2 + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x1 và
x2 Không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A =
2 2
1 1
x
x ; B = x1 + x2 ; C = 2
2
2 2
1 1
x
x ; D = x1
+ x2
E =
2
3 1
3 2 1
2 2 2 1
2 1
5 5
6 10
6
x x x x
x x x x
; F =
2
2 1
2 2 1
2 2 2 1
2 1
4 4
3 5
3
x x x x
x x x x
Loại toán rèn kỹ năng suy luận (Phơng trình bậc hai chứa tham số)
Bài 1: (Bài toán tổng quát)
Tìm điều kiện tổng quát để phơng trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có:
1 Có nghiệm (có hai nghiệm) 0
2 Vô nghiệm < 0
3 Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)
= 0
4 Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
5 Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
Trang 56 Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0
7 Hai nghiệm dơng(lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0
8 Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 và P > 0
9 Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối
lớn hơn a.c < 0 và S < 0
12 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối
lớn hơn
a.c < 0 và S > 0
(ở đó: S = x1+ x2 =
a
b
; P = x1.x2 =
a
c
)
* Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện
tổng quát, giúp học sinh chủ động khi giải loại toán này
Bài 2: Giải phơng trình (giải và biện luận): x2- 2x+k = 0
( tham số k)
Giải
’ = (-1)2- 1.k = 1 – k Nếu ’< 0 1- k < 0 k > 1 phơng trình vô nghiệm
Nếu ’= 0 1- k = 0 k = 1 phơng trình có nghiệm
kép x1= x2=1
Nếu ’> 0 1- k > 0 k < 1 phơng trình có hai
nghiệm phân biệt
x1 = 1- 1 k; x2 =
1+ 1 k
Kết luận:
Nếu k > 1 thì phơng trình vô nghiệm
Nếu k = 1 thì phơng trình có nghiệm x=1
Nếu k < 1 thì phơng trình có nghiệm x1 = 1- 1 k ; x2 =
1+ 1 k
Bài 3: Cho phơng trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số
m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất
đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm
nghiệm còn lại(nếu có)?
Giải
a) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =
2
3
(là nghiệm) + Nếu m ≠ 1 Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm ’ = 3m-2 0 m
3 2
+ Kết hợp hai trờng hợp trên ta có: Với m
3
2
thì phơng trình có nghiệm
b) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =
2
3
(là nghiệm) + Nếu m ≠ 1 Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất ’ = 3m-2 = 0 m =
3
2
(thoả mãn m ≠ 1)
Khi đó x = 1 3
3 2
1 1
1
m
+Vậy với m = 1 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x =
2 3
với m =
3
2
thì phơng trình có nghiệm duy nhất x = 3
c) Do phơng trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 4m – 3 = 0 m =
4 3
Khi đó (1) là phơng trình bậc hai (do m -1 =
4
3
-1=
4
1
0) Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = 12 6
4 1
3 1
3
x m
Trang 6Vậy m =
4
3
và nghiệm còn lại là x2 = 6
* Giáo viên cần khắc sâu trờng hợp hệ số a có chứa tham
số (khi đó bài toán trở nên phức tạp vàhọc sinh thờng hay
sai sót)
Bài 4: Cho phơng trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số
x)
a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phơng trình thoả
mãn x1 +x2 10
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2
Giải a) Ta có: ’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) =
4
15 2
1 2
m
Do 0
2
1 2
4
15
> 0 với mọi m Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phơng trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 – 3 – m
< 0 m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P =
x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phơng trình có hai nghiệm âm S < 0 và P > 0
3 1 0
)
3
(
0
)
1
(
2
m m m
m
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 =
-(m+3)
Khi đó A = x1 +x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10
Theo bài A 10 4m2 – 6m 0 2m(2m-3) 0
0 3 2 0 3 0 3 2 0 0 3 2 0
m m m m m
Vậy m
2
3
hoặc m 0 e) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có:
6 2 2
2 2 ) 3 (
) 1 ( 2
2 1 2 1 2
1 2 1
m x x m x x m
x x m x x
x1 + x2+2x1x2 = - 8 Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8 x1(1+2x2) = - ( 8 +x2)
2
2 1
2 1
8
x
x x
Vậy
2
2 1
2 1
8
x
x x
2
1
2
Bài 5: Cho phơng trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số) a) Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1
c) Lập phơng trình ẩn y thoả mãn
2 1 1
1
x x
y ;
1 2 2
1
x x
y với
x1; x2 là nghiệm của phơng trình ở trên
Giải a) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
2 2 1 0 2 1 0
'
m m m m P
Vậy m = 2 b) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m Phơng trình có nghiệm 0 2 – m 0 m 2 (*)
Trang 7Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m
– 1 (2)
Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)
Từ (1) và (3) ta có:
7 5 2 5 1 2 3 4 2 2 1 2 3 2
2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1
x x x x x x x x x x x x
Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1
(2)
Khi đó:
m
m m
x x
x x x x x x x
x
y
y
1
2 1
2 2 1
1
2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2
1
2 1
1 1 2
1 )
1 )(
1
(
2 2
1 2 1 1
2 2 1
2
1
m
m m
m x
x x x x
x x
x
y
y
(m≠1)
y1; y2 là nghiệm của phơng trình: y2 -
m
m
1
2
.y +
1
2
m
m =
0 (m≠1)
Phơng trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0
*Yêu cầu:
+ HS nắm vững phơng pháp
+ HS cẩn thận trong tính toán và biến đổi
+ Gv: cần chú ý sửa chữa những thiếu sót của học sinh,
cách trình bày bài và khai thác nhiều cách giải khác
* Bài tập tơng tự:
1) Cho phơng trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)
a) Định m để phơng trình có nghiệm kép
Tính nghiệm kép này
b) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm
2) Cho phơng trình : x2 – 4x + m + 1 = 0
a) Định m để phơng trình có nghiệm
b) Tìm m sao cho phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:
x12 + x2 = 10 3) Cho phơng trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 a) Chứng minh rằng, phơng trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi
b) Định m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 <
x1 < x2 <6 4) Cho phơng trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0 a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x1, x2 với mọi m b) Đặt A = 2(x1 + x2 ) – 5x1x2
a) Chứng minh A= 8m2 – 18m + 9 b) Tìm m sao cho A=27
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia
5) Cho phơng trình ; x2-2(m + 4)x + m2 – 8 = 0 Xác định m
để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:
a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất
b) B = x1 + x2 – x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất
c) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m 6) Cho phơng trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0 a) Chứng minh rằng phơng trình luông có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Xác định m để: x1 + x2 = 4(x1 + x2) c) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả mãn:
y1 + y2 = x1 + x2 và 3
1
2 2
1
y y y
7) Cho phơng trình : x2 + ax + 1 = 0 Xác định a để phơng
trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn :
2
1 2 2
2
1
x
x x
x
> 7 8) Cho phơng trình : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1)
Trang 8a) Giải và biện luận phơng trình (1) theo m
b) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2:
* Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m
* Tìm m sao cho x1 x2 2
Bài 174
Cho phơng trình có ẩn số x : x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0
1) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm số với mọi m
2) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phơng trình
thoả mãn điều kiện x1 +x2 10
Bài 175
Cho phơng trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0
1) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
2) Đặt A = 2(x1 + x2 ) – 5x1x2
a) Chứng minh A= 8m2 – 18m + 9
b) Tìm m sao cho A=27
3) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng 2 lần
nghiệm kia
Bài 176
Cho phơng trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)
a) Định m để phơng trình có nghiệm kép
Tính nghiệm kép này
b) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm
Bài 177
Cho phơng trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0
a) Chứng minh rằng, phơng trình luôn luôn có hai nghiệm
khi m thay đổi
b) Định m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:
1 < x1 < x2 <6
Bài 178
Cho hai phơng trình: x2 + x + a = 0 (1)
x2 + ax2 + 1 = 0 (2) Tìm các giá trị của a để hai phơng trình:
a) Tơng đơng với nhau
b) Có ít nhất một nghiệm chung
Bài 179
a) Chứng minh rằng đẳng thức:
(m2 + m + 1)2 + 4m2 + 4m = (m2 + m + 1)2 b) Cho phơng trình: mx2 - (m2 + m + 1)x + m + 1 = 0 (1) Tìm điều kiện của m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1
Bài 180
Gọi a,b là hai nghiệm của phơng trình: x2 + px + 1 = 0 Gọi c,d là hai nghiệm của phơng trình: y2 + qy + 1 = 0 Chứng minh hệ thức: (a – c)(a – d)(b – c)(b – d) = (p – q)2
Bài 181
Giả sử a và b là hai nghiệm của phơng trình x2+px+1 = 0 Giả sử c và d là hai nghiệm của phơng trình x2+qx+1 = 0 Chứng minh hệ thức: (a – c)(b – c)(a + d)(b + d) = q2 + p2
Bài 182
Cho phơng trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0 1) Chứng minh rằng, phơng trình có nghiệm với mọi m 2) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
Bài 183
Cho phơng trình : x2 – 4x + m + 1 = 0 a) Định m để phơng trình có nghiệm
b) Tìm m sao cho phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:
x12 + x2 = 10
Bài 184
Cho phơng trình : x2 – 2mx + m + 2 = 0 a) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm không âm b) Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức: E= x 1 x2 theo m
Bài 185
Trang 9Cho phơng trình : 3x2 – mx + 2 = 0 Xác định m để phơng
trình có hai nghiệm thoả mãn: 3x1x2 = 2x2 – 2
Bài 186
Cho phơng trình: x2 – 2(m – 1)x - m = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x1,
x2 với mọi m
b) Với m 0, lập phơng trình ẩn y thoả mãn:
1 2 2 2 1
1
1 ,
1
x x y x x
Bài 187
Cho phơng trình : 3x2 - 5x + m = 0 Xác định m để phơng
trình có hai nghiệm thoả mãn: x1 – x2 = 5/9
Bài 188
Cho phơng trình ; x2-2(m + 4)x + m2 – 8 = 0 Xác định m
để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:
a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất
b) B = x1 + x2 – x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất
c) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m
Bài 189
Cho phơng trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luông có 2 nghiệm x1, x2
với mọi m
b) Xác định m để: x1 + x2 = 4(x1 + x2)
c) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả
mãn: y1 + y2 = x1 + x2, 3
1
2 2
1
y y y
Bài 190
Cho phơng trình : x2 + ax + 1 = 0 Xác định a để phơng
trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn :
2
1 2 2
2
1
x
x x
x
> 7
Bài 191
Cho phơng trình : 2x2 + 2(m + 2)x + 4m + 3 = 0
a) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 b) Chứng minh rằng các nghiệm x1, x2 thoả mãn:
2 2
1 2 1
2
2 1
3
x x x x
Bài 192
Cho phơng trình : ax2 + bx + c = 0 (a 0) Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2b2
Bài 193
Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bc + c = 0 (a 0)
Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này bằng k lần nghiệm kia (k > 0) là:
kb2 = (k + 1)2ac
Bài 194
Chứng minh rằng phơng trình : (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 luôn luôn có 2 nghiệm với mọi a, b, c
Bài 195
Co hai phơng trình : x2 + mx + 2 = 0 (1)
X2 + 2x + m = 0 (2) a) Định m để 2 phơng trình có ít nhất một nghiệm chung b) Định m để 2 phơng trình tơng đơng
c) Xác định m để phơng trình: (x2+mx+2)(x2+2x+m) = 0 có
4 nghiệm phân biệt
Bài 196
Với giá trị nào của các tham số a và b, các phơng trình bậc hai: (2a + 1)x2 – (3a – 1)x + 2 = 0 (1)
(b + 2)x2 – (2b + 1)x – 1 = 0 (2)
Có hai nghiệm chung
Bài 197
Với giá trị nào của tham số k thì hai phơng trình sau có nghiệm chung : 2x2 + (3k + 1)x – 9 = 0
6x2 + (7k – 1)x – 19 = 0
Trang 10Bài 198
Với giá trị nào của số nguyên p , các phơng trình sau đây có
nghiệm chung 3x2 - 4x + p – 2 = 0
x2 – 2px + 5 = 0
Bài 199
Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 với a, b, c là các
số hữu tỷ, a 0, có một nghiệm là 1 + 2
Hãy tìm nghiệm còn lại
Bài 200
Tìm tất cả các số nguyên k để phơng trình:
kx2 – ( 1-2k) + k – 2 = 0 luôn luôn có nghiệm số hữu tỷ
Bài 201
Cho phơng trình bậc hai: 3x2 + 4(a – 1)x + a2 – 4a + 1 = 0
xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2
thoả mãn hệ thức :
2 1
2 1
x
1 x
1 2
x x
Bài 202
Cho biết phơng trình: x2 + px + 1 = 0 có hai nghiệm là a và
b,phơng trình: x2 + qx + 2 = 0 có hai nghiệm là b và c
chứng minh hệ thức : (b – a)(b – c) = pq – 6
Bài 203
Cho các phơng trình : x2 - 5x + k = 0 (1)
x2 - 7x + 2k = 0 (2) Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn
gấp 2 một trong các nghiệm của phơng trình (1)
Bài 204
Cho các phơng trình : 2x2 + mx – 1 = 0 (1)
mx2 - x + 2 = 0 (2) Với giá trị nào của m, phơng trình (1) và phơng trình (2) có
nghiệm chung
Bài 205
Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình bậc hai:
3x2 - cx +2c - 1 = 0
Tính theo c giá trị của biểu thức: S = 3
2 3
1 x
1
Bài 206
Xác định a để hai phơng trình sau có nghiệm chung :
x2 + ax + 8 = 0
x2 + x + a = 0
Bài 207
Tìm tất cả các số nguyên k để các phơng trình bậc hai:
2x2 + (3k – 1)x – 3 = 0 6x2 – (2k – 3)x – 1 = 0 a) Có nghiệm chung
b) Tơng đơng với nhau
Bài 208
Cho phơng trình bậc hai: 2x2 + 6x + m = 0 Với giá trị nào của tham số m, phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2
x
x x
x
1
2 2
1
Bài 209
Cho biết x1 và x2 là hai nghiệm phân biệt khác 0 của phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0, a,b,c R) Hãy lập
một phơng trình bậc hai có các nghiệm là : 2
2
2
1 x
1 , x 1
Bài 210 Biết rằng x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: ax2 +
bx + c = 0 Hãy việt phơng trình bậc hai nhân x1 và x2 làm hai nghiệm
Bài 211
Cho f(x) = x2 – 2(m+ 2)x + 6m + 1 a) CMR: phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m
b) Đặt x = t + 2 Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với
m để phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2