phương pháp qui nạp toán học

Nguyên lí quy nạp toán học: Cho n0 là số nguyên dương, Pn là mệnh đề có nghĩa với mọi số nguyên n n0... 1' PHẦN RÚT KINH NGHIỆM Phương pháp:...

Tiết 4142 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC  BÀI TẬP

MĐYC: Kiến thức: Hiểu nguyên lí quy nạp toán học và nắm vững phương pháp chứng minh quy nạp để

giải một số bài toán đơn giản

Phân tiết: Tiết 1: Tiết 2: Bài tập

TG Công việc của thầy Công việc của

1'

20'

20’

T.2

1'

5'

12'

Ổn định:

Bài cũ:

Bài mới: Giải thích

nguyên lí quy nạp toán

học

H1:

H2:

H4:

Củng cố:

H1:

1 Nguyên lí quy nạp toán học:

Cho n0 là số nguyên dương, P(n) là mệnh đề có nghĩa với mọi số nguyên n n0 Nếu

a) P(n0) đúng, và b) Nếu P(n) đúng thì P(n+1) cũng đúng với mọi số nguyên

n n0 , khi đó P(n) đúng với mọi số nguyên n n0

Từ nguyên lí trên ta có phương pháp chứng minh quy nạp:

Phương pháp chứng minh quy nạp:

Giả sử ta phải chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi n 

n 0 , n N:

Bước 1: Kiểm tra với n = n 0 : P(n 0 ) đúng Bước 2: Giả sử với n = k,  kn 0 , k N thì P(k) đúng.

Ta phải chứng minh n = k+1 thì P(k+1) đúng Kết luận : P(n) đúng với mọi n n 0 , n N

Ví dụ1:

Chứng minh rằng: 1+2+3+…+ n = n (n2 1) với  n N*

Ví dụ 2:

Tính tổng: Sn =1+ 3 + 5 +…+ (2n1) Hướng dẫn:

Tính S1 = 12 , S2 = 22, S3 = 32 Dự đoán Sn = n2

Chứng minh dự đoán bằng quy nạp

Ví dụ 3: Chứng minh rằng:

an bn = (ab)(an1+an2b + an3b2 + …+abn2 + bn1), với mọi n

2 , n N

Bài tập

Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

a/ 12 + 22 + 32 + …+ n2 = n(n1)(62n1), mọi n N* b/ 13 + 23 + 33 + …+ n3=

2

2

) 1 n ( n







, mọi n N*

c/ 3+7 + …+ (4n1) = 2n2 +n ,mọi n N*

Bài 2:

Tính tổng: Sn = 2+4+6+ …+2n, n N*

ĐS: Sn = n(n+1)

Bài 3: Chứng minh rằng:

a/ n3 + 11n chia hết cho 6 , mọi n N*

b/ 13n  1 chia hết cho 6 , mọi n N*

HD:b/ 13n+11 = 13n+1  13n + 13n  1

Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Đại số và Giải tích 11 1

n

1

3

1 2

1







1 n

1 n 1

n

1 n n 1 n

1



















Bài 5: Với giá trị nào của số nguyên dương n thì ta có

2n+1 > n2 +3n (1) HD: Lần lượt thử với n =1, 2, 3, 4, 5, 6 ta thấy n = 4, 5, 6 thỏa mãn (1) Dự đoán (1) đúng với n  4

Chứng minh bằng quy nạp Giả sử 2k+1 > k2+3k , k 4 (2) Nhân hai vế của (2) với 2 ta được

2k+2 > 2k2 + 6k = (k+1)2+3(k+1) + k2 + k – 4

Do k2 + k – 4 > 0 với k  4 nên 2k+2 > (k+1)2+3(k+1)

Đại số và Giải tích 11 2

1'

PHẦN RÚT KINH NGHIỆM

Phương pháp: Nội dung:

Đại số và Giải tích 11 3