phương pháp quy nạp hay

 CÁI RIÊNG CỤ THỂ  CÁI CHUNG  TỔNG QUÁT PHÉP QUY NẠP PHÉP SUY DIỄN PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN PHÉP SUY DIỄN PHÉP QUY NẠP “Quy nạp và suy diễn gắn chặt với nhau như phân tích và tổng hợp” P

TRƯỜNG THPT HỒNG ĐỨC

Gv: NGUYỄN THANH SƠN

.

§3

.§4

.

§1

.

Tiết 37

 CÁI RIÊNG

 CỤ THỂ

 CÁI CHUNG

 TỔNG QUÁT

PHÉP QUY NẠP

PHÉP SUY DIỄN

PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN

PHÉP SUY DIỄN

PHÉP QUY NẠP

“Quy nạp và suy diễn gắn chặt với nhau như phân tích và tổng hợp”

PHÉP QUY NẠP LÀ GÌ

Hãy cùng tìm hiểu về phương pháp quy nạp

Toán học

Có hai cách suy luận:“ Suy

diễn ” và “ Quy Nạp ”

Mối quan hệ giữa hai cách suy luận đó như thế nào ?

Ph Ăng-ghen

(1820-1895)

Hoạt động 1:

a)Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai ?

b) ∀ n ∈ N* thì P(n) , Q (n) đúng hay sai ?

P(n):

“

>3n +1 ” và Q(n): “

3n 2n > n ” với n∈N*

Xét hai mệnh đề chứa biến:

P(n) : “ 3n > 3n+1 ” Q(n) : “ 2n > n ”

Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n) :

“ 3n > 3n+1 ” và Q(n) : “ 2n > n ”

a Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

b Với mọi n ∈ N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

Trả lời:

a.P(n) : “ 3 n > 3n+1 ” Q(n): “ 2 n > n ”

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

2n

b Với mọi n∈N* P(n) sai ; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn là đúng hay sai vì ta không thể kiểm tra hết với mọi n∈N*

3 9 27 81 243

4 7 10 13 16

<

>

>

>

>

2

8 16

4 3 2

1 4

>

>

>

>

>

Đ Đ Đ Đ

Đ Đ Đ Đ Đ

S

Với n =1;2;3;4;5

P(n) Sai

Với n =1;2;3;4;5

Q(n) Đúng

 Nhận xét:

 Muốn chứng tỏ một mệnh đề là SAI , ta chỉ

cần chỉ ra một trường hợp sai là đủ

chứng minh nó đúng với mọi trường hợp

 Với n∈N* thì việc làm phép thử với một số giá trị của n ( cho dù làm được với một số lượng lớn) cũng không thể coi đó là chứng minh.

phương pháp hữu hiệu để giải các bài toán

dạng này

§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Bước 1 :

Bước 2 :

Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1

Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất

kỳ n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp )

I Phương pháp quy nạp Toán học:

Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.

Bước3 :

Chứng minh rằng với n∈N* thì:

1 + 3 + 5 + + (2n – 1) = n 2

Giải:

1) Khi n = 1 : VT = 1, VP = 1 2 = 1

2) Đặt VT = S n

S k = 1 + 3 + 5 + + (2k –1) = k 2

3) Ta cần chứng minh (1)cũng đúng với n = k+1 :

Ví dụ 1:

II Ví dụ áp dụng :

S k+1 = 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) + [2(k + 1) – 1]

Thật vậy:

S k+1 = S k + [2(k + 1) – 1]

Vậy : (1) đúng với mọi n∈N*.

(1 )

Vậy (1) đúng

Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 ta có:

( gt quy nạp )

= (k +1) 2

= k 2 + 2k + 1 = ( k + 1) 2

1

1 + 3 =

1 + 3 + 5 =

1 + 3 + 5 + 7 =

1 + 3 + 5 + 7 + 9

=

1

4 = 2 2

9 = 3 2

16= 4 2

25 = 5 2

= 1 2

+ 3 + 5 + 7 + 9

n

+ + (2n – 1) = n2

2.2 1.1

3.3

4.4

5.5

.n

Mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ∈ N*

Minh họa mệnh đề : 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2 n – 1) = n 2

Chứng minh rằng với n∈N*

thì n 3 – n chia hết cho 3 (1) Giải : Đặt A n = n 3 – n

1) Với n = 1 , ta có : A 1 = 0 … 3

2) Giả sử với(1) đúng với n = k ≥ 1 , ta có:

A k = (k 3 – k) … 3 (giả thiết quy nạp)

3) Ta chứng minh A k+1 3

Thật vậy: A k+1 = (k+1) 3 - (k+1)

= (k 3 - k) +3(k 2 +k)

= A k + 3(k 2 +k) (Vì: A k … 3 và 3(k 2 +k) 3 nên A k+1 … 3 )

Vậy: A n = n 3 – n chia hết cho 3 với mọi n∈N*.

Ví dụ 2

= k 3 +3k 2 +3k +1- k -1

I Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi n∈N* ta thực hiện theo các bước sau:

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1

B2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 ( Giả thiết qui nạp-GTQN )

B3: Ta c/ minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

II Ví dụ áp dụng: HOẠT ĐỘNG NHÓM

a CMR : Với mọi n∈N* có u n = (13 n –1) 6 …

b CMR : Với mọi n∈N* có un = (10 n – 4) 3 …

Hoạt động 2: HOẠT ĐỘNG NHÓM

Thật vậy:

a CMR : Với mọi n∈N* có u n = (13 n – 1) 6 (2) …

u k+1 = 13 k+1 – 1 = 13 k 13 –1

= 13 k ( 12+1 ) – 1

-Với n = 1 ta có: u 1 = 13 1 –1 =12 6

u k = (13 k – 1) 6

u k+1 = (13 k+1 – 1) 6 …

= 12.13 k + 13 k – 1

Vậy với mọi n∈N*, ta có un = (13 n – 1) 6 … (2)

= ( 12.13 k + uk ) 6

(Vì : 12.13 k 6 và u k 6) …

(M.đề (2) đúng)

- Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k ≥ 1 , nghĩa là:

-Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k + 1 , tức là :

Thật vậy:

b CMR : Với mọi n∈N* có u n = (10 n – 4) 3 … (3)

u k+1 = 10 k+1 – 4

= 10 k ( 1+9 ) – 4

u k = (10 k – 4) 3

u k+1 = (10 k+1 – 4) 3 …

= 10 k – 4 + 9.10 k

Vậy với mọi n∈N *, ta có un = (10 n – 4) 3 … (3)

= ( u k + 9.10 k ) 3

(Vì: 9.10 k 3 và u k 3) …

là:

Ta phải chứng minh (3) đúng với n = k + 1 , tức là :

= 10 k 10 – 4

Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi

số

tự nhiên n ≥ p ( p là một số tự nhiên ) thì :

•Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p

•Ở bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự

nhiên bất kỳ n = k ≥ p ( giả thiết quy nạp )

•Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với

n = k+1

CHÚ Ý:

Nắm vững các bước thực hiện một bài toán

chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ p) ( giả thiết quy nạp )

bài toán để kết luận.

CỦNG CỐ:

1/ Làm lại các bài tập vừa tiếp thu tại lớp

2/ Làm các bài tập 1, 2 &3 trang 82-83 SGK.

3/ Xem bài : “ BẠN CÓ BIẾT ? ”trang 83 SGK

NHẬN XÉT- DẶN DÒ:

Bài tập số 3 (trang 82 – sgk Đại số & Giải tích 11)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 , ta có các

bất đẳng thức : a) 3 n > 3n + 1 b) 2 n+1 > 2n + 3

•Ở bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 2 ( giả thiết quy nạp )

•Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với

n = k+1

•Bài tập này các em sẽ được hướng dẫn trong tiết luyện tập.

HƯỚNG DẪN BTVN :