Bài tập thể hiện phương pháp quy nạp, diễn dịch pps

Bài tập lớn chương 1Hãy tìm trong sách giáo khoa và sách bài tập toán ở THCS và THPT những ví dụ bài tập thể hiện được các phương pháp quy nạp ,diễn dịch ,suy diễn ,phản chứng ,phân tích

Bài tập lớn chương 1

Hãy tìm trong sách giáo khoa và sách bài tập toán ở THCS và THPT những ví dụ bài tập thể hiện được các phương pháp quy nạp ,diễn dịch ,suy diễn ,phản chứng ,phân tích ,tổng hợp ,tổng quát hóa ,đặc biệt hóa ,tương tự hóa ,trừu tượng hóa ,cụ thể hóa,.hãy chọn một số bài điển hình để trinh bày theo các giai doạn của việc tìm tòi lời giải ( phân tích ,lời giải ,khai thác… )

Bài tập thể hiện phương pháp quy nạp, diễn dịch

Bài 1: CMR với n ∈ N* ta có đẳng thức:

2 + 5 + 8 + …+ 3(n - 1) = n(3n + 1)

2 (*)

1, Phân tích

Đẳng thức trên liên quan đến tập số tự nhiên nên ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp toán học Từ đó ta có lời giải sau

2, Lời giải

Thật vậy với n = 1, ta có:

2 = 1(3.1 + 1)

2 luôn đúng

Giả sử mệnh đề đã cho đúng với n = k, tức là

2 + 5 + 8 + … + (3k - 1) = k(3k + 1)

2 (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, nghĩa là

2 + 5 + 8 + … + (3k – 1) + [3(k + 1) - 1] = (k + 1) 3.(k + 1) 1[ ]

2

+

Ta thấy:

2 + 5 + 8 + … + (3k – 1) + [3(k + 1) - 1] = (k + 1) 3.(k + 1) 1

2

 2 + 5 + 8 + … + (3k – 1) + 3(k + 2) = (k + 1)(3k + 4)2 (**)

Theo giả thiết quy nạp ta có:

(**) k(3k + 1)

2 + 3(k + 2) = (k + 1)(3k + 4)

2  3k + k + 6k + 42 3k + 4k + 3k + 42

 3k + 7k + 42 3k + 7k + 42

Vậy với mọi n ∈ N* ta luôn có :

2 + 5 + 8 + …+ 3(n - 1) = n(3n + 1)

2

3, Khai thác bài toán

10, CMR với n ∈ N* ta có đẳng thức:

1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2

20, CMR với n ∈ N* ta có đẳng thức:

3 + 9 + 27 + … + 3n = 1

2(3n + 1 - 3) Bài 2: CMR với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta có bất đẳng thức

3n ≥ 3k + 1

1, Phân tích

Vì bài toán trên liên quan đến tập số tự nhiên N nên để chứng minh bài này ta nên sử dụng phương pháp quy nạp

2, Lời giải

Xét n = 2 ta có : 32 = 9 > 7 (luôn đúng)

Giả sử bài toán trên đúng với n = k ≥ 2

Tức là ta có 3k > 3k + 1 (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh bài toán trên cũng đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh :

3k + 1 > 3(k + 1) + 1 hay 3k + 1 > 4k + 1 Thật vậy , theo giả thiết quy nạp 3k > 3k + 1

 3.3k > (3k + 1) 3

 3k +1 > 9k + 3 > 3k + 4

Hay 3k + 1 > 3k + 4

Kết luận : vậy 3n > 3n + 1

3, Khai thác

10, CMR với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta có bất đẳng thức

2n > 2n + 3

20, CMR với mọi số tự nhiên n ≥ 3 ta có bất đẳng thức

3n > n2 + 4n + 5

Bài tập thể hiện phương pháp suy diễn:

Bài tập thể hiện phương pháp phản chứng

Bài 1:CMR nếu a5 + b5 mà chia hết cho 5 thì ta có a + b chia hết cho 5

1, Phân tích:

Đây là bài toán chứng minh sự chia hết có điều kiện

Có rất nhiều cách để chứng minh sự chia hết thì ta có thể sử dụng một trong số các cách sau tách tổng thành nhiều hạng tử chứng minh chia hết nhờ phân tích thành nhân tử ,có thể sử dụng nguyên tắc suy luận Dirichlet có thể sử dụng các định lý ơle định lý fercma ,hoặc có thể sử dụng phương pháp quy nạp …

Tuy nhiên ở bài này chứng minh theo những cách đó rất khó vì bài toán có điều kiện ràng buộc,mà ta nhận thấy nếu a + b không chia hết cho

5 thì ta sẽ có (a5 + b5) – (a - b) = (a5 - a) + (b5 - b) không chia hết cho 5

Tuy nhiên ta lại có

a5 – a = a (a4 - 1)= (a2 - 1)a(a2 + 1) = (a - 1)a(a + 1)(a2 + 1)

= (a - 1)a (a + 1)(a2 – 4 + 5)

= (a - 1)(a - 1)a(a + 1)(a + 2)+ 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 5

Và b5 – b cũng chia hết cho 5

Vì vậy ta sẽ chứng minh bài toán bằng phương pháp phản chứng

2, Lời giải Giả sử ta có a5 + b5 M 5 nhưng a + b không chia hết cho 5

 a5 + b5 – (a + b) không chia hết cho 5(1)

Mà (a5 + b5) – (a - b) = (a5 - a) + (b5 - b) Mặt khác ta có

a5 – a = a (a4 - 1)= (a2 - 1)a(a2 + 1) = (a - 1)a(a + 1)(a2 + 1)

= (a - 1)a (a + 1)(a2 – 4 + 5) = (a - 1)(a - 1)a(a + 1)(a + 2)+ 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 5

Tương tự ta cũng có b5 – b chia hết cho 5 Nên (a5 + b5) – (a + b)chia hết cho 5

=> (1) mâu thuẫn với điều này

=> giả sử là sai Vậy nếu ta có a5 – b5 chia hết cho 5 thì a + b chia hết cho 5

3, Khai thác bài toán Bài toán tương tự:

10, chứng minh rằng nếu a7 - b7 chia hết cho 7 thì ta có a + b chia hết cho 7

20, Nếu n2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5

CM: giả sử n2 chia hết cho 5 nhưng n không chia hết cho 5

=> n = 5k + m ( với m = 1, 2, 3, 4) Khi đó n2 = (5k + m) 2 = 25k2 + 10km + m2

Ta có 25k2 + 10km chia hết cho 5 nhưng m2 chỉ nhận các giá trị 1,

4, 9, 16 (vì m = 1, 2, 3, 4) cho nên m2 không chia hết cho 5

Nên ta có n2 không chia hết cho 5 mâu thuân với giả thiết là n2 chia hết cho 5

=>điều giả sử là sai Vậy nếu n2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5

Bài 2: CMR với mọi số thực a, b, x, y ta có

(a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2

1, Phân tích Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức

Ta nhận thấy : (a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2 = a2x2 + b2x2 + a2y2+ b2y2 - a2x2 - b2x2 + 2axby = a2y2+ b2y2 + 2axby = (ax + by)2 ≥0 Cho nên ta có thể sử dụng phương pháp phán chứng để chứng minh bất đẳng thức trên

2, Lời giải

Giả sử với mọi số thực a, b, x, y ta có

(a2 + b2)(x2 + y2) < (ax + by)2  (a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2 < 0

 a2x2 + b2x2 + a2y2+ b2y2 - a2x2 - b2x2 + 2axby < 0

 (ax + by)2 < 0 => vô lí

=> điều giả sử là sai

Vậy ta có (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2

3, Khai thác

10, cho các số thực a, b , c, d thỏa mãn a + b = 2 cd Chưng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng :

c2 ≥ a; d2 ≥ b

2 0 , Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 CMR a + b + c ≥ 3.

Bài tập thể hiện phương pháp phân tích

Bài 1:CMR x3 + y3 ≥ x2y + xy2 ∀x ≥ 0, y ≥ 0x3 + y3 ≥ x2y + xy2

1, Phân tích

Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức thỏa mãn điều kiện.Ta thấy vế trái và vế phải của biểu thức có nhân tử chung là (x + y)

từ đó ta có x3 + y3 - x2y - xy2 ≥ 0

 (x + y)(x - y)2 ≥ 0 (*)

Vì x ≥ 0, y ≥ 0 nên bất đẳng thức đúng , từ đó ta suy ra điều phải chứng minh

2, lời giải

x3 + y3 ≥ x2y + xy2

 x3 + y3 –(x2y + xy2) ≥ 0

 (x + y)(x2 – xy + y2) – xy(x + y) ≥ 0

 (x + y)(x - y)2 ≥ 0

Vì x ≥ 0, y ≥ 0 => x + y ≥ 0 => (x + y)(x - y)2 ≥ 0 ∀ x ≥ 0, y ≥ 0 Vậy x3 + y3 ≥ x2y + xy2

3, khai thác bài toán

Ta có bài toán tương tự

10, Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác.CM (b - c)2 < a2

20, CMR x4 - x 5 + x - x + 1 ≥ 0 ∀ x ≥0

Bài 2 : CM các đẳng thức sau

cos(a - b) cos(a + b) = cota.cotb + 1

cota.cotb - 1

1, Phân tích

Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức trên ta đi biến đổi vế trái , áp dụng công thức cộng lượng giác : cos(x + y) = cosxcosy – sinxsiny

cos(x - y) = cosxcosy + sinxsiny

sau đó chia cả tử và mẫu cho sinasinb ta được cota.cotb + 1

cota.cotb - 1

Từ đó ta có lời giải toán sau

2, Lời giải

Ta có cos(x + y) = cosxcosy – sinxsiny

cos(x - y) = cosxcosy + sinxsiny

=> cos(cos(a - b)a b+ )=cosacosb + sinasinbcosacosb - sinasinb

Chia cả tử và mẫu cho sinasinb ta được

cos( ) cos( )

a b

a b

− + =

cota.cotb + 1 cota.cotb - 1

3, Khai thác bài toán

Tương tự lời giải của bài toán trên ta có bài toán sau

Chứng minh các đẳng thức sau

10, sin(a + b)sin(a - b) = sin2a – sin2b = cos2a – cos2b

20, cos(a + b)cos(a - b) = cos2a – sin2b = cos2a – sin2b

30, 1 - sin a2 1 - tana

1 sin 2a = 1 tanb

Phương pháp tổng hợp

Bài 1: CMR ∀ a ∈R, a > 2

3a + 4a < 5a (1)

1, Phân tích

Ta có 3, 4, 5 là bộ số pitago: 32 + 42 = 52 

2 2

   +

 ÷  ÷

    = 1

Và các hàm số y =

2 3 5

 

 ÷

  và y =

2 4 5

 

 ÷

  nghịch biến.

Từ đó ta có lời giải sau

2, Lời giải

Bất đẳng thức (1) 

2 2

   +

 ÷  ÷

    < 1

Do 3

5< 1 => y = 3

5

x

 

 ÷

  nghịch biến

4

5< 1 => y =

2 4 5

 

 ÷

  nghịch biến

Nên với a > 2 ta có

3 5

a

 

 ÷

  <

2 3 5

 

 ÷

  ;

4 5

a

 

 ÷

  <

2 4 5

 

 ÷

 

Vậy

a a

   +

 ÷  ÷

    <

2 2

   +

 ÷  ÷

    =1

 3a + 4a < 5a

Khai thác bài toán

10, Bài toán tương tự :

CM ∀ a > 2 , a ∈ R ta có 6a + 8a < 10a

20, Bài toán tổng quát

CMR ∀ a > 2 , a ∈ R xa + ya < za

(x, y, z là những bộ số pitago, nghĩa là x2 + y2 = z2, x, y, z∈ R )

Bài 2 : cho x ∈ [-2, 0].CMR |x + 1| ≤ 1

1, Phân tích

Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh |x + 1| ≤ 1 ta cần chứng minh -1 ≤ x + 1 ≤1

Từ đó ta có lời giải sau

2, Lời giải

Ta có x ∈[-2, 0] => -2 ≤ x≤ 0

 -2 + 1 ≤ x + 1 ≤ 0 + 1

 -1 ≤ x + 1 ≤1

 |x| ≤ 1

3, Khai thác bài toán

Bài toán tương tự

10, cho x ∈ [-8, 2] CMR |x2 + 3| ≤ 5

20, cho x ∈ [-23, 3] CMR |x + 10| ≤13

Bài tập thể hiện phương pháp tổng quát hóa và đặc biệt hóa

Bài 1

Bài 2: xác định n ∈ N để 2n - 1M 7

1) Phân tích

Đây là bài toán tìm số liên quan đến sự chia hết

Nhận thấy 2n – 1 = 2n – 1n Tổng quát bài toán ta thấy bài toán có dạng tìm số tự nhiên n sao cho an – bn chia hết cho c( a, b ,c là số

nguyên)mà theo nhị thức newton ta có:

an – bn = ( a – b ) A Với a, b nguyên thì A nguyên , tức là an – bn chia hết cho (a – b) ta có thể dựa vào đó để tìm n sao cho an – bn chia hết cho c

Từ đó ta có lời giải sau:

2) Lời giải

n có thể rơi vào các trường hợp : n = 3k, 3k + 1, 3k + 2

• với n = 3k ta có

2n – 1 = 23k – 1 = 23 K - 1K = (23 - 1).A = 7.A M 7

=> n = 3k thì 2n – 1 chia hết cho 7

• Với n = 3k + r với r = 1 hoặc n = 2

=> 2n – 1 = 2 (3k + r) – 1 = 2(3k + r) – 2r + (2r – 1)

= 2r (23k - 1) + (2r - 1)

Do 2r.(23k - 1) chia hết cho 7

còn 2r – 1 không chia hết cho 7 nên 2n – 1 không chia hết cho 7

=> n = 3k + 1 hoặc n = 3k+ 2 thì 2n – 1 không chia hết cho 7

Kết luận: với n = 3k (k ∈ N) thì 2n – 1 chia hết cho 7

3) Khai thác bài toán

10, Tìm n sao cho 5n – 1 chia hết cho 9

20, tìm n sao cho 9n – 4n chia hết cho 5

Bài tập thể hiện phương pháp tương tự hóa

Bài 1: Theo mẫu: vì 22 = 4 nên 4 2 = Hãy hoàn thành bài tập sau:

a Vì 52 = 25 nên = 5

b Vì 7 = 49 nên … = 7

c Vì 1 = 1 nên 1 = …

d Vì

2 2

3

  =

 ÷

  nên … = …

1) Phân tích:

Đây là bài toán về căn bậc hai số học của một số; căn bậc hai số học của một số akhông âm là số x sao cho: x2 = a

Theo mẫu ta có: Vì 22 = 4 nên 4 2 = Sử dụng tính chất này ta sẽ giải được bài tập Ta có lời giải sau:

2) Lời giải:

a Vì 2

5 = 25 nên 25 = 5

b Vì 7 2 = 49 nên 49 = 7

c Vì 12 = 1 nên 1 = 1

d Vì

2

  =

 ÷

  nên

9 = 3

3) Khai thác bài toán

10 Vì

2

4

5

  =

 ÷

  nên … = …

20 Vì 122 = nên … = 12

10 Vì

2

  =

 ÷

  nên

16 4

25 = 5

20 Vì 122 =144 nên 144 12=

Bài 2: Cho các đa thức sau:

3 2 5 3

a Thu gọn các đa thức trên

b Tính N + M và M + N

1) Phân tích

Đây là những đa thức một biến, để thu gọn đa thức ta thực hiện nhóm phần hệ số của những biến có cùng số mũ với nhau Sau đó thực hiện phép tính giữa các hệ số, ta sẽ thu được biểu thức thu gọn cần tìm

Để cộng (trừ) hai đa thức cùng biến với nhau ta cộng (trừ) phần hệ

số của những biến có cùng số mũ cho nhau Sau đó, ta sẽ thu được biểu thức cần tìm

Ta có lời giải sau:

Lời giải

a Thu gọn các đa thức

Ta có:

3 2 3

2 3

N = 15y + 5y - 4y - 2 = -y + (15 - 4)y = (5-5)y - 2y = -y + 11y - 2y

Tương tự:

M y= +y −3y 1 y+ − +y − +y 7y

5

=(1 + 7)y + (1 - 1)y + (1 - 1)y - 3y + 1

=8y - 3y + 1

b Ta có:

N + M = (-y + 11y - 2y) + (8y - 3y + 1)¨

=-y +11y -2y+8y +3y-1

=(1+8)y +11y +(-2+3)y+1

=7y +11y -5y+1

N - M = (-y + 11y - 2y) - (8y - 3y + 1)

= -y + 11y - 2y - 8y + 3y - 1

= ( -1 - 8)y + 11y + ( -2 + 3)y - 1

= -9y + 11y + y - 1

2) Khai thác bài toán

10 Cho hai đa thức:

1 P(x)=-5x - +8x +x

3

2 Q(x)=x -5x-2x +x -

3

20 Cho:

4 2

P(x) = 2x - 2x - x + 1 Q(x)= -x + 5x + 4x R(x)= -2x + x + 5

Tính: P(x) + Q(x) + R(x)và P(x) - Q(x) - R(x)

Bài 3: Cho p > 0, q > 0 Chứng minh rằng:

(p + 2)(q + 2)(q + p)³16.q.p.lim

x→∞

1 Phân tích:

- Đây là dạng chứng minh bất đẳng thức, có nhiều cách để chứng minh

- Ta thấy trong bài toán có dạng các tổng của các chữ số không

âm Vì vậy, ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh bất đẳng thức này

- Bất đẳng thức Côsi: Với mọi a > 0, b> 0 Ta có: a + b 2 ab.≥

Ta có lời giải sau:

2 Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm p, 2 Ta có:

p+ ≥2 2 2p (1) Tương tự, ta có:

q + ≥ 2 2 2q (2)

p + ≥ q 2 pq (3) Nhân các vế của (1), (2), (3) với nhau ta được:

(p + 2)(q + 2)(p + q) 2 2p.2 2q.2 pq ≥

⇔ (p + 2)(q + 2)(p + q) 16pq ≥

Dấu bằng xảy ra khi p = q = 2

Vậy, bất đẳng thức được chứng minh

3 Khai thác bài toán:

10 Chứng minh rằng: a2 + + ≤ b2 c2 2( ab bc ca + + ), với

, ,

a b clà độ dài ba cạnh của một tam giác

20 Cho x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0 sao cho: x y z + + = 1.

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

TRỪU TƯỢNG HÓA

Bài 1:

Trong kho tàng văn hóa dân gian Việt Nam có bài toán: “Trăm trâu trăm cỏ” sau đây:

“Trăm trâu trăm cỏ,

Trâu đứng ăn năm,

Trâu nằm ăn ba,

Lụ khụ trâu già,

Ba con một bó

Hỏi có bao nhiêu trâu đứng, bao nhiêu trâu nằm, bao nhiêu trâu già?”

Bài làm:

a Phân tích:

- Đây là dạng bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

- Đề bài yêu cầu tìm số trâu đứng, số trâu nằm, số trâu già Từ đây ta

sẽ lập được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn Giả sử gọi x là số trâu đứng, y là số trâu nằm, z là số trâu già

- Từ thông tin đè bài đưa ra, ta sẽ thiết lập được mối quan hệ giữa x,

y, z như sau:

+ Trước hết đề bài cho biết tổng số trâu là “trăm trâu” suy ra:

x + y + z = 100

+ Đề bài cho biết tổng số cỏ là “trăm cỏ” Trong đó, trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, trâu già ba con một bó Ta sẽ có phương trình:

5x + 3y + 1

3y = 100

Từ đó ta có lời giải sau:

b Lời giải:

Gọi số trâu dứng là x, số trâu nằm là y, số trâu già là z ( x, y, z là những số nguyên dương nhỏ hơn 100)

Ta có hệ phương trình:

x + y + z = 100

1 5x + 3y + z = 100

3







Đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, nếu không tính đến điều kiện của ẩn thì hệ phương trình này có vô số nghiệm (nếu khử z ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn 7x + 4y = 100)

Tuy nhiên, vì x, y, z phải là những số nguyên dương nhỏ hơn 100 nên chỉ có một số hữu hạn nghiệm, cụ thể ở đây có ba nghiệm:

1

1

1

x = 4

y = 18

z = 78









2 2 2

x = 4

y = 18

z = 78







3 3 3

x = 4

y = 18

z = 78









c Khai thác bài toán

Tương tự ta có các bài toán sau:

Bài 1: Có hai dây chuyền may áo sơmi Ngày thứ nhất, cả hai dây chuyền may được 930 áo Ngày thứ hai, do dây chuyền thứ nhất tăng năng suất 18%, dây chuyền thứ hai tăng năng suất 15% nên cả hai dây chuyền may được 1083 áo Hỏi trong ngày thứ nhất mỗi dây chuyền bao nhiêu áo sơmi

Bài 2: Cho một số có hai chữ số Nếu viết thêm hai chữ số vào bên phải số đó thì được số mới lớn hơn số đã cho 1995 đơn vị Tìm số đã cho

và hai chữ số viết thêm

Bài 3: Một ô tô chở 2190 kg gạo, đựng trong 37 bao Có ba loại: 62

kg, 60 kg và 50 kg Số bao 62 kg nhiều gấp đôi số bao 60 kg Hỏi số bao mỗi loại?

Bài 2: Toán cổ: “Quýt ngon mỗi quả chia ba Cam ngon mỗi quả chia ra

làm mười Mỗi người một miếng, trăm người Có mười bảy quả không đủ

để chia Hỏi có bao nhiêu cam? Bao nhiêu quýt?”

Bài làm:

a Phân tích

- Đây là dạng bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

- Dựa vào các dữ kiện bài toán cho để tìm mối liên hệ giữa ẩn với nhau

- Bài toán yêu cầu tìm số cam và số quýt, Gọi số cam là x, số quýt là

y Ta có: x + y = 17

- Lại có mỗi quả quýt chia ba, mỗi quả cam chia ra làm mười, mỗi người một miếng, trăm người Từ đó, ta có phương trình:

10x + 3y = 100

Từ đó, ta đi giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta sẽ tìm được số cam và số quýt Ta có lời giải sau:

b Lời giải