Phương pháp quy nạp toán học

Dãy số Cấp số cộng Cấp số nhân §2. §3. §4. CHƯƠNG III Dãy số Cấp số cộng Cấp số nhân §1. Phương pháp quy nạp Toán học Chương III DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC PHÉP QUY NẠP PHÉP SUY DiỄN PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN PHÉP SUY DiỄN PHÉP QUY NẠP “Quy nạp và suy diễn gắn chặt với nhau như phân tích và tổng hợp” PHÉP QUY NẠP LÀ GÌ ? Ph. Ăngghen “Quy nạp và suy diễn gắn chặt với nhau như phân tích và tổng hợp” (18201895) Hoạt động 1: Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai b) nN thì P(n) , Q (n) đúng hay sai P(n): “ >3n +1 ” và Q(n): “  n ” với nN Xét hai mệnh đề chứa biến: ? ? P(n) : “ 3n > 3n+1 ” Q(n) : “ 2n > n ” Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n) : “ 3n > 3n+1 ” và Q(n) : “ 2n > n ” a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai? b. Với mọi nN thì P(n), Q(n) đúng hay sai? Trả lời: P(n) : “ 3n > 3n+1 ” Q(n): “ 2n > n ” b. Với mọi nN P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn là đúng hay sai. vì ta không thể kiểm tra hết với mọi nN 3 9 27 81 243 4 7 10 13 16 2 8 16 32 5 4 3 2 1 4 T Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ F Với n =1;2;3;4;5 P(n) Sai Với n =1;2;3;4;5 Q(n) Đúng Ghi nhận: Muốn chứng tỏ một kết luận là SAI, ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp sai là đủ Muốn chứng tỏ một kết luận là ĐÚNG, ta phải chứng minh nó đúng với mọi trường hợp Với nN thì việc làm phép thử với một số giá trị của n ( cho dù làm được với một số lượng lớn) cũng không thể coi đó là chứng minh. Do đó, Phương pháp quy nạp toán học là phương pháp hữu hiệu để giải các bài toán dạng này §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bước 1: Bước 2: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k  1 (gọi là giả thiết quy nạp). I. Phương pháp quy nạp Toán học: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Bước3 : Chứng minh rằng với nN thì : 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) = n2 (1) Giải: 1) Khi n = 1: VT = 1, VP = 12 = 1 .Vậy (1) đúng. 2) Đặt VT = Sn. Giả sử với n = k  1 ta có: Sk = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k –1) = k2 (gt quy nạp) 3) Ta chứng minh (1)cũng đúng với n = k+1 : Ví dụ 1: II. Ví dụ áp dụng : Sk+1=1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) + 2(k + 1) – 1 = (k +1)2 Thật vậy: Sk+1= Sk+ 2(k + 1) – 1 = k2 + 2k + 1 = ( k + 1)2 Vậy: (1) đúng với mọi nN. 1 1 + 3 = 1 + 3 + 5 = 1 + 3 + 5 + 7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 1 4 = 22 9 = 32 16 = 42 25 = 52 = 12 + 3 + 5 + 7 + 9 n +...+ (2n – 1) = n2 2 .2 1 .1 3 .3 4 .4 5 .5 .n Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN Chứng minh : 1 + 3 + 5 + 7+ … + (2n – 1) = n2 Chứng minh rằng với nN thì n3 – n chia hết cho 3. Giải : Đặt An = n3 – n (1) 1) Với n = 1, ta có : A1= 0 … 3 2) Giả sử với(1) đúng với n = k  1, ta có: Ak = (k3 – k) … 3 (giả thiết quy nạp) 3) Ta chứng minh Ak+1 ... 3 Thật vậy: Ak+1 = (k+1)3 (k+1) = k3 +3k2 +3k +1 k 1 = (k3 k) +3(k2+k) = Ak+ 3(k2+k) Ak … 3 và 3(k2+k) ... 3 nên Ak+1 … 3 . Vậy: An = n3 – n chia hết cho 3 với mọi nN. Ví dụ 2: Ví dụ 2 Chứng minh rằng với mọi nN Nhóm 2: HOẠT ĐỘNG NHÓM CMR : Với mọi nN có un = 13n –1 6 … Nhóm 1: Hoạt động 2: HOẠT ĐỘNG NHÓM Thật vậy: CMR : Với mọi nN có un = 13n – 1 6 (2) … uk+1 = 13k+1– 1 = 13k .13 –1 = 13k.(12+1) – 1 = 12.13k +13k – 1 = 12.13k + uk Nhóm 1: Nhóm 2: Chứng minh rằng với mọi nN Lời giải: +) Với n = 1, ta có ,đẳng thức (1) đúng. +) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là (GTQN) Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh: Thật vậy: Vậy với mọi nN, ta có: Chú ý: Bài tập số 3 ( trang 82 – sgk Đại số Giải tích 11) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2, ta có các bất đẳng thức : a) 3n > 3n + 1 b) 2n+1 > 2n + 3 Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 2 Ở bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k  2 (giả thiết quy nạp) Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 . Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên ) thì : Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p . Ở bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k  p (giả thiết quy nạp) Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 . Củng cố: Nắm vững các bước thực hiện một bài toán chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n =1 (hoặc n = p ). Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k  1 (hoặc với số tự nhiên bất kỳ n = k  p) (giả thiết quy nạp) Bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 . Cần chú ý vào giả thiết quy nạp và dựa vào yêu cầu của bài toán để kết luận. Dặn dò: 1 Làm lại các bài tập vừa tiếp thu tại lớp 2 Làm các bài tập 1 2 trang 82 SGK. 3 Xem bài : “ BẠN CÓ BIẾT ? ”trang 83 SGK

.

§3 §4

.

§1

§1.

 CÁI RIÊNG

 CỤ THỂ

 CÁI CHUNG

 TỔNG QUÁT

PHÉP QUY NẠP

PHÉP SUY DiỄN

PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN

PHÉP SUY DiỄN

PHÉP QUY NẠP

“Quy nạp và suy diễn gắn chặt với nhau như phân tích và tổng hợp”

PHÉP QUY NẠP LÀ GÌ

Ph Ăng-ghen

“Quy nạp và suy

diễn gắn chặt với

nhau như phân

tích và tổng hợp”

(1820-1895)

Hoạt động 1:

a) Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai

b) nN* thì P(n) , Q (n) đúng hay sai

P(n): “ >3n +1 ” và 3n Q(n): “ 2n  n ” với nN* Xét hai mệnh đề chứa biến:

P(n) : “ 3 n > 3n+1 ” Q(n) : “ 2 n > n ”

Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n) : “ 3 n > 3n+1 ” và Q(n) : “ 2 n > n ”

a Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

b Với mọi nN* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

Trả lời:

a P(n) : “ 3 n > 3n+1 ” Q(n): “ 2 n > n ”

n ? 3n+1 1

2 3 4 5

1 2 3 4 5

2n

b Với mọi nN* P(n) sai ; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn

là đúng hay sai vì ta không thể kiểm tra hết với mọi nN*

3 9 27 81 243

4 7 10 13 16











2

8 16

4 3 2

1 4











T Đ Đ Đ

Đ Đ Đ Đ Đ F

Với n =1;2;3;4;5

P(n) Sai

Với n =1;2;3;4;5

Q(n) Đúng

 Ghi nhận:

 Muốn chứng tỏ một kết luận là SAI , ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp sai là đủ

phải chứng minh nó đúng với mọi trường hợp

của n ( cho dù làm được với một số lượng lớn) cũng không thể coi đó là chứng minh.

pháp hữu hiệu để giải các bài toán dạng này

§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1

Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất

kỳ n = k  1 (gọi là giả thiết quy nạp)

I Phương pháp quy nạp Toán học:

Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1

Chứng minh rằng với nN* thì :

1 + 3 + 5 + + (2n – 1) = n2 (1)

Giải:

1) Khi n = 1: VT = 1, VP = 12 = 1 Vậy (1) đúng

2) Đặt VT = Sn Giả sử với n = k  1 ta có:

Sk = 1 + 3 + 5 + + (2k –1) = k2 (gt quy nạp)

3) Ta chứng minh (1)cũng đúng với n = k+1 :

Ví dụ 1:

II Ví dụ áp dụng :

Sk+1=1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1)2

Thật vậy:

Sk+1= Sk+ [2(k + 1) – 1] = k2 + 2k + 1 = ( k + 1)2

Vậy : (1) đúng với mọi nN*.

1

1 + 3 =

1 + 3 + 5 =

1 + 3 + 5 + 7 =

1 + 3 + 5 + 7 + 9 =

1

4 = 2 2

9 = 3 2

16 = 4 2

25 = 5 2

= 12

+ 3 + 5 + 7 + 9

n

+ + (2n – 1) = n2

2.2 1.1

3.3

4.4

5.5

.n

Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN*

Chứng minh : 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2 n – 1) = n 2

Quan sát phần minh họa cho ví

dụ 1

Chứng minh rằng với nN* thì n3 – n chia hết cho 3.

Giải : Đặt An = n3 – n (1)

1) Với n = 1, ta có : A1= 0 … 3

2) Giả sử với(1) đúng với n = k  1, ta có:

Ak = (k3 – k) … 3 (giả thiết quy nạp)

3) Ta chứng minh Ak+1 3

Thật vậy: Ak+1 = (k+1)3- (k+1) = k3 +3k2 +3k +1- k -1

= (k3- k) +3(k2+k)

= Ak+ 3(k2+k)

Ak … 3 và 3(k2+k) 3 nên Ak+1 … 3

Vậy: A n = n 3 – n chia hết cho 3 với mọi nN*.

Ví dụ 2:Ví dụ 2

Chứng minh rằng với mọi nN*

I Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi nN* ta thực hiện theo các bước sau:

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1

B2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k  1 ( Giả thiết qui nạp-GTQN ) B3: Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

II Ví dụ áp dụng:

HOẠT ĐỘNG NHÓM

CMR : Với mọi nN* có un = 13 n –1 6 … Hoạt động 2: HOẠT ĐỘNG NHÓM

( 1)

1 2 3 (1)

2

n n

    

Thật vậy:

CMR : Với mọi nN* có un = 13 n – 1 6 (2) …

uk+1 = 13 k+1 – 1 = 13 k 13 –1

= 13 k ( 12+1 ) – 1

Với n = 1 ta có: u1 = 13 1 –1 =12 6 (Mệnh đề (2) đúng)

Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k ≥ 1 , nghĩa là: uk = 13 k – 1 6

Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k + 1 , tức là : uk+1= 13 k+1 – 1 6 …

= 12.13 k +13 k – 1

Vậy với mọi nN*, ta có un = 13 n – 1 6 … (2)

= 12.13 k + uk

Vì : 12.13 k 6 và uk … 6

Chứng minh rằng với mọi nN*

( 1)

1 2 3 (1)

2

n n

    

Lời giải:

+) Với n = 1, ta có ,đẳng thức (1) đúng.VT(1) 1   1(1 1)2 VP(1)

+) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là

( 1)

1 2 3

2

k k

    

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng

2

      

Thật vậy: VT (2) (1 2 3       k) (k 1)

2

k k

k



2

2

n n

    

 Chú ý:

Bài tập số 3 ( trang 82 – sgk Đại số & Giải tích 11)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2 , ta có các bất đẳng thức : a) 3 n > 3n + 1 b) 2 n+1 > 2n + 3

•Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 2

•Ở bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k  2 (giả thiết quy nạp)

•Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với

n = k+1

 Chú ý:

Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số

tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên ) thì :

•Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p

•Ở bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k  p (giả thiết quy nạp)

•Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với

n = k+1

 Củng cố:

Nắm vững các bước thực hiện một bài toán chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học

•Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n =1 (hoặc n = p ).

•Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k  1 (hoặc với

số tự nhiên bất kỳ n = k  p) ( giả thiết quy nạp )

•Bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1

•Cần chú ý vào giả thiết quy nạp và dựa vào yêu cầu

của bài toán để kết luận.

Dặn dò:

1/ Làm lại các bài tập vừa tiếp thu tại lớp

2/ Làm các bài tập 1& 2 trang 82 SGK

3/ Xem bài : “ BẠN CÓ BIẾT ? ”trang 83 SGK