Phương pháp quy nạp

DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 11 Chương III Trong chương này bài đầu tiên chúng ta sẽ làm quen với phương pháp qui nạp toán học, một trong những phương pháp hữu hiệu để nghiên cứ

Chµo mõng

Các thày cô giáo đến dự giờ thăm lớp

DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG

VÀ CẤP SỐ NHÂN

11

Chương III

Trong chương này bài đầu tiên chúng ta sẽ làm quen

với phương pháp qui nạp toán học, một trong những

phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu dãy số trong

toán học; tiếp đó chúng ta sẽ nghiên cứu về dãy số

đồng thời tìm hiểu một số vấn đề xung quanh 2 dãy

số đặc biệt là cấp số cộng và cấp số nhân.

Mục tiêu: Học sinh cần

- Hiểu nội dung của phương pháp qui nạp toán học

gồm 2 bước bắt buộc theo một trình tự qui định

- Biết sử dụng phương pháp qui nạp toán học đẻ giải

các bài toán một cách hợp lí

Gv: Ngô Thị Vân Anh

Xét 2 mệnh đề chứa biến

a Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

b Với mọi thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

( ) :"3n 3 1"& ( ) :"2n ", *

P n > n+ Q n > n n∈¥

*

n∈ ¥

Trả lời:

a P(n) Q(n)

n ? 3n+1

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2n

b Với mọi P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn.n∈ ¥ *

3 9 27 81 243

4 7 10 13 16

<

>

>

>

>

2

8 16

4 3 2

1 4

>

>

>

>

>

Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

1 Phương pháp qui nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi ta thực hiện theo các bước

1

n k = ≥

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1

B2: Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết qui nạp-GTQN)

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

2 Ví dụ áp dụng:

1 2 3 (1)

2

n n

+ + + + =

Ví dụ1 : Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có:

( 1)

2

n n

+ + + + =

Lời giải:

+) Với n = 1, ta có ,đẳng thức (1) đúng.VT(1) 1 1(1 1) VP(1)

2

+

= = =

+) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là ( ( 1) GTQN )

1 2 3

2

k k

+ + + + =

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:

( 1)[( 1) 1]

2

k k

+ + + + + + =

Thật vậy:

(2) (1 2 3 ) ( 1)

VT = + + + + + + k k

( 1)

( 1) 2

k k

k

+

( 1) ( 1) 1

2

k + k + +

=

(2)

VP

=

Vậy với mọi n ∈ N*, ta có: ( 1)

2

n n

+ + + + =

Xét 2 mệnh đề chứa biến

a Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

b Với mọi thì P(n), Q(n) đúng hay sai?n∈ ¥ *

Trả lời:

a P(n) n ? 3n+1

1 2 3 4 5

3n

b Với mọi P(n) sai; n∈ ¥ *

3 9 27 81 243

4 7 10 13 16

<

>

>

>

>

c

( ) :"3n 3 1"& ( ) :"2n ", *

P n > n+ Q n > n n∈¥

n ≥ ∀ ∈ n N cã > n +

c Dự đoán kết quả tổng quát của P(n)

§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

1 Phương pháp qui nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi ta thực hiện theo các bước sau:

*

n ∈ ¥

1

n k = ≥

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1

B2: Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết qui nạp-GTQN)

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

2 Ví dụ áp dụng:

Chú ý: (SGK- 82)

HOẠT ĐỘNG NHÓM

: n ≥ ∀ ∈ 2, n N : 3n > 3 n + 1

2

:1.4 2.7 + + + n n (3 + = 1) n n ( + 1)

CMR

: * 13n 1 6

n

( )

* : 1.4 2.7 (3 1) ( 1)2 1

CMR

Với n = 1, ta có VT(1) = 1.(3.1+1) =4 = 1.(1+1)2=VP(1), đẳng thức đúng

Giả sử đẳng thức đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:

2

1.4 2.7 + + + k k (3 + = 1) k k ( + 1)

Ta phải chứng minh đúng với n = k+ 1, tức là :

[ ] [ ]2 ( )

1.4 2.7 + + + k k (3 + + + 1) ( k 1) 3( k + + = + 1) 1 ( k 1) ( k + + 1) 1 2

Thật vậy:

(2) [1.4 2.7 (3 1)] ( 1) 3( 1) 1

VT = + + + k k + + + k k + +

2

( 1) ( 1) 3( 1) 1

= + + + + +

( k 1)[ ( k k 1) 3 k 4]

= + + + +

2

( k 1)( k 4 k 4)

= + + +

2

( k 1)( k 2)

= + +

(2)

VP

=

(GTQN)

Vậy với mọi n ∈ N*, ta có: 1.4 2.7 + + + n n (3 + = 1) n n ( + 1)2 ( ) 1

2

( k 1)( k 2)

= + +

: ∀ ∈ n N * un = 13n − 1 6 (2) M

1

1 13 1 12 6

1

1 13k 1 6

k

u + = + − M

Với n = 1 ta có: (Mệnh đề (2) đúng)

Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:

Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k+ 1, tức là :

Thật vậy:

13k 1 6

k

1

1 13k 1 13.13k 1

k

13(13k 1) 12

13 uk 12 6

Vậy với mọi n ∈ N*, ta có: un = 13n − 1 6 M

3k > 3 k + 1

( )

Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (3) đúng

Giả sử bất đẳng thức (3) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:

Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k+ 1, tức là :

Thật vậy: theo giả thiết qui nạp có:

1

3k+ > 3( k + + 1) 1

1

3k > 3 k + ⇔ 1 3k+ > 3(3 k + 1)

1

3k+ 9 k 3

1

1

Vậy: n ≥ ∀ ∈ 2, n N cã : 3n > 3 n + 1

•Nêu phương pháp qui nạp toán học

•Chú ý khi chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên n ≥ p

• Học thuộc và nắm chắc qui trình chứng minh bài toán bằng

phương pháp qui nạp

• Các bài tập 1,2,3,4 tự luyện tập

• Bài 5: Đa giác lồi ít nhất mấy cạnh thì có đường chéo?

§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

QUÝ THẦY CÔ CÙNG CÁC EM SỨC KHỎE

THÀNH ĐẠT.