Phơng trình chứa ẩn trong căn thứcphơng trình vô tỉ I.. Phơng pháp giải chung Để giải phơng trình có chứa ẩn trong căn thức ta làm nh sau: + Tìm điều kiện xác định của phơng trình + Tách
Trang 1Phơng trình chứa ẩn trong căn thức
(phơng trình vô tỉ)
I Phép biến đổi tơng đơng
1/ 2 k + 1 f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) = g 2 k + 1 ( x )
2/ 2 k + 1 f ( x ) = 2 k + 1 g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x )
=
≥
⇔
=
) (
2 )
(
0 )
(
x
k g x f
x
g x
g
k x f
=
≥
≥
⇔
=
) ( ) (
0 f(x) hoặc 0
) (
x g x f
x g
k g x
k x f
Đặc biệt:
a)
=
≥
≥
⇔
=
g(x) f(x)
0) f(x) Hay ( 0 g(x) g(x)
f(x)
b)
=
≥
⇔
=
) ( g f(x)
0 g(x) g(x)
x
II Phơng pháp giải chung
Để giải phơng trình có chứa ẩn trong căn thức ta làm nh sau:
+ Tìm điều kiện xác định của phơng trình + Tách riêng căn thức và tìm cách khử căn thức + Giải phơng trình nhận đợc
+ Thử các giá trị tìm đợc của ẩn vào phơng trình đã cho để loại giá trị không phù hợp
Lu ý:
+ Khi giải phơng trình ta phải hiểu rõ là ta sử dụng phép biến đổi tơng đơng hay phép biến đổi đa đến phơng trình hệ quả
Nếu đa đến phơng trình hệ quả thì phải thử lại vào phơng trình đã cho để loại bỏ nghiệm ngoại lai
+ Phép bình phơng hai vế của một phơng trình nói chung không phải là phép biến đổi tơng đơng
II Một số phơng pháp giải
Dựa vào các phép biến đổi tơng đơng ở trên ta có các phơng pháp giải phơng trình vô
tỉ : Nâng lên lũy thừa ; đặt ẩn phụ sau đây
1 Phơng pháp luỹ thừa:
Đặc biệt: nếu cả hai vế của phơng trình không âm thì khi bình phơng cả hai vế ta đợc
ph-ơng trình tph-ơng đph-ơng:
Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A = B ⇔ A2 = B2
Ví dụ: Giải phơng trình:
Trang 2x− 1 = 7 −
Giải
+ Điều kiện để căn bậc hai có nghĩa x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1
+ Điều kiện để vế trái không âm: 7 - x ≥ 0 ⇔ x ≤ 7
x−1=7−x (1)
⇒ ( )2 ( )2
7
x− = − (2)
⇔ x - 1 = 49 -14x + x2
⇔ x2 - 15x + 50 =0
⇔ x = 5 hoặc x = 10 ( loại vì không thỏa mãn điều kiện của ẩn )
Phơng trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5
Nhận xét :
a) Phơng trình (2) là phơng trình hệ quả của phơng trình (1) do đó ta nên dùng dấu (⇒)
x = 5 , x = 10 là các nghiệm của phơng trình (2) Chỉ giá trị tìm đợc nào thỏa mãn điều kiện 1 ≤ x ≤ 7 mới là nghiệm của phơng trình (1)
b) Ta có thể không cần tìm ĐKXĐ của phơng trình , ta chỉ cần thử giá trị tìm đợc của ẩn vào phơng trình đã cho để loại giá trị không phù hợp
Ví dụ: Giải phơng trình
x
x− 1 = 7 − Giải
x−1=7−x (1)
⇒ ( x− 1)2 =(7 −x)2 (2)
⇔ x - 1 = 49 -14x + x2
⇔ x2 - 15x + 50 =0
⇔ x = 5 hoặc x = 10 Thử x = 5 , x = 10 vào phơng trình x−1=7−x ta chỉ có x = 5 là nghiệm
Phơng trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5 c) Ta có thể trình bầy theo phép biến đổi tơng đơng:
7 7
1
0 7
7
=
=
≤
⇔
−
=
−
≥
−
⇔
−
=
x
x x
x
x x
x
Phơng trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5
Ví dụ 2: Giải phơng trình
4 3 2
2x+ + x− = (1)
Giải
Diều kiện để các căn bậc hai có nghĩa: x ≥ 3
Vì hai vế của phơng trình đã cho không âm nên bình phơng cả hai vế của phơng trình ta có phơng trình :
Trang 3(2x+1)(x−3) (=36−x)
Điều kiện để vế trái không âm : x ≤6 Khi đó bình phơng hai vế của phơng trình 2 ta có
ph-ơng trình
x2 - 88x + 336 = 0 (3) Phơng trình (3) có hai nghiệm x1 = 4 và x2 = 84 (Loại vì không thỏa mãn điều kiện x≤6
Bài tập:
Bài 1: Giải các phơngtrình
Bài 1: Giải các phong trình sau:
a) 3+ 2x−3=x
b) x+5=1−x
1 2
5
2x+ = x−
Bài: Giải phơng trình sau
a) 5x−1− 3x−2= x−1
b) x+3+ x−1=2
Giải
a) Điều kiện xác định của phơng trình
1 0
1
0 2 3
0 1 5
≥
⇔
≥
−
≥
−
≥
−
x x
x x
Với x ≥ 1 phơng trình đã cho tơng đơng với
2 3 1 1
5x − = x − + x −
Lúc này cả hai vế của phơng trình không âm , bình phơng hai vế ta đợc phơng trình tơng
đ-ơng
2 3 1 1
5x− = x− + x−
⇔ x+2=2 (x−1)(3x−2)
Với x ≥ 1 thì cả hai vế đều không âm Bình phơng hai vế ta đợc
( )2 ( ( )( ) )2
2 3 1 2
x
⇔ 11x2 - 24x + 4 = 0 Phơng trình này có hai nghiệm x1 = 2 và x2 =
112 Chỉ có nghiệm x1 = 2 thỏa mãn điều kiên
x ≥ 1
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 2 Bài: Giải các phơng trình sau
a) 8+ x + 5− x =5
Bài 1: Giải các phơng trình sau bằng cách da về phơng trình tích
a) x2 −3x+2 + x+3= x−2 + x2 +2x−3a)
2 Phơng pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ: Giải phơng trình
Trang 4Ví dụ: : Giải phơng trình : 2
2
1 2
1 1
2
= + +
x
Ngoài ra ta còn sử dụng một số phơng pháp sau:
Bài tập:
Bài : Giải các phơng trình sau:
1
3
6
x x x
x
x
− +
=
−
−
−
Giải
Điều kiện:
≠
≤
≤
⇔
≠
−
−
≥
−
≥
2 1
1 0
0 1
0 1
0
x
x
x x
x x
2
2 3 1
3
6
x x x
x
x
− +
=
−
−
−
(1 ) 3 2 2
1 3
6
x x x
x
x x
x
− +
=
−
−
− +
−
⇔3( x + 1−x)=2+2 x−x2
đặt x + 1−x =y (y>0) suy ra 2 x−x2 =y2 −1
Ta lại có ( x + 1−x)2 ≤2(x+1−x) =2⇒y= x + 1−x ≤ 2
Vậy ta có phơng trình
Y2 - 3y + 2 = 0 ⇔ y = 1 hoặc y = 2 (Loại vì không thỏa mãn y≤ 2
3 Phơng pháp tổng bình phơng
Ta áp dụng tính chất: Tổng các bình phơng của các số không âm bằng 0 khi và chỉ khi các
số đều bằng 0
X2 + Y2 + Z2 =0 ⇔
=
=
=
0 Z
0 Y
0 X
Nghĩa là chuyển tất cả về một vế rồi đa về tổng các bình phơng bằng 0
Ví dụ 1: Giải phơng trình :
2 2
1 2
= +
Giải
Điều kiện: x ≥ 0; y ≥ 1; z ≥ 2 :
(*) ⇔ x− 2 x+y− 2 y− 1 +z− 2 z− 2 = 0
⇔ (x− 2 x + 1) (+ y− 1 − 2 y− 1 + 1) (+ z− 2 − 2 z− 2 + 1)= 0
Trang 5⇔ ( x− 1) (2 + y− 1 − 1) (2 + z− 2 − 1)2 = 0
⇔
=
−
−
=
−
−
=
−
0 1 2
0 1 1
0 1
z
y
x
⇔
=
=
=
3 2 1
z y x
VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh :
x
x− 4 + 6 − = x2 - 10x + 27 (*)
Gi¶i
§iÒu kiÖn: 4 ≤ x ≤ 6
(*) ⇔ x2 - 10x + 27- x− 4 − 6 −x = 0
⇔ 2x2 - 20x + 54-2 x− 4 − 2 6 −x = 0
⇔ 2(x2 - 10x +25) +( x - 4 - 2 x− 4 + 1) + ( 6 - x - 2 6 −x +1) = 0
⇔ 2(x - 5)2 + ( )2
1
4 −
−
x + ( )2
1
⇔
x 5 0
x 4 1 0
6 x 1 0
− =
− − =
− − =
⇔ x = 5
Bµi tËp
Bµi 1:Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
a) x+y+z=2 x−2 +4 y−3+8 z−5
1
4 2
−
+
x
Bµi 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
+
+
−
+ +
−
= + +
− + +
24
2025 3
4 1
25 104
24 3
1
z y
x z
y x
Gi¶i
§iÒu kiÖn:
−
>
>
−
>
⇔
>
+
>
−
>
+
24 3 1
0
24
0
3
0
1
y x x
z
y
x
+
+
−
+ +
−
= + +
−
+
+
24
2025 3
4 1
25 104
24 3
1
z y
x z
y
x
24
2025 90
24 3
4 4
3 1
25 10
+ +
−
− +
− +
−
− +
+ +
− +
z
z y
y x
x
⇔
24
2025 24
90 24
3
4 3 4
3 1
25 1 10
= +
+ +
− +
+
−
+
−
−
− +
+
+ +
−
+
z
z z
y
y y
x
x x
Trang 6⇔ ( ) ( ) ( ) 0
24
45 24 3
2 3 1
5
= +
− + +
−
−
− +
+
−
+
z
z y
y x
x
⇔
=
=
=
⇔
=
− +
=
−
−
=
− +
2001 7 24
0 45 24
0 2 3
0 5 1
z y x
x
y
x
665
1225 1
4 3
16
−
−
−
−
−
−
=
−
+
−
+
x
Bài : Giải các phơng trình sau
a) 2x−3+ 5−2x =3x2 −12x+14
b) x−2+ 10−x =x2 - 12x + 40
Bài : Giải phơng trình
4
2 43 x x
43− + =
Hớng dẫn:
4
2 43 x
x
43− + = ⇔ 43− x2 +43+x2 + 21 =x4 +x2 + 21 ⇔
0 2
1 x 2
1 43
x
2 2
2
+
−
0 43 x
1
x2 + − 2 + = ⇔ x4 + x2 - 43 = 0 ⇔
−
=
=
6 x
6 x
4 áp dụng bất đẳng thức
Ta áp dụng bất đẳng thức để đánh giá hai vế
Ta có A≥ m và C ≤ m thì A = B = m
a) Bất đẳng thức Bunhiacôxki:
(ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2)
Đặc biệt: Nếu x = y = 1 ta có (a + b)2≤ 2(a2 + b2) Dấu ( = ) xẩy ra khi và chỉ khi a = b
Ví dụ: Giải phơng trình:
x
x− 4 + 6 − = x2 - 10x + 27
Giải
Điều kiện: 4 ≤ x ≤ 6
Ta có A2 = ( )2
6
x− + − ≤ ( ) ( )
6 4
Vì A ≥ 0 nên A = A2 ≤ 4 = 2
Ta lại có B = x2 - 10x + 27 = (x - 5)2 + 2 ≥ 2
Vậy A = B ⇔
=
=
2
2
B
A
⇔
=
−
−
=
−
0 5
6 4
x
x x
⇔ x = 5
Trang 7b) Bất đẳng thức Caushy.
Ví dụ: Giải phơng trình:
+
+
−
+ +
−
= + +
−
+
+
24
2025 3
4 1
25 104
24 3
1
z y
x z
y
x
Giải
Điều kiện: x > -1, y > 3, z > -24
Phơng trình đẵ cho tơng đơng với phơng trình sau
24
2025 24
3
4 3
1
25
1
+ + + +
− +
− + + +
+
z
z y
y x
Theo Bất đẳng thức Caushy ta có :
10 1
25 1 2
1
25
+
⋅ +
≥ +
+
+
x
x x
− − (2)
90 24
2025 24
2 24
2025
+
⋅ +
≥ + +
+
z
z z
Từ (1) , (2), (3) ta có :
104 24
2025 24
3
4 3 1
25
1
= + + + +
− +
− + +
+
+
z
z y
y x
Dấu ( = ) xẩy ra khi (1), (2), (3) đều xẩy ra dấy ( = ) Hay:
25
x 1
x 1 4
y 3
y 3 2025
z 24
z 24
+ =
− =
−
+ =
+
⇔
x 1 25
y 3 4
z 24 2025
+ =
− =
+ =
⇔
x 24
y 7
z 2001
=
=
=
Bài tập:
Bài 1: Giải các phơng trình sauâ
665
1225 1
4 3
16
−
−
−
−
−
−
=
−
+
−
+
x
Giải
a) Điều kiện : x > 3 , y > 1 , z > 665
Phơng trình đã cho tơng đơng với
x 3 + − + y 1 + − + z 665 + − =
áp dụng bất đẳng thức Cósi ta có
8 16 2 3 3
16 2
3 3
16
=
=
−
⋅
−
≥
− +
4 4 2 1 1
4 2 1 1
4
=
=
−
⋅
−
≥
− +
Trang 870 1225 2
665 665
1225 2
665 665
1225
=
=
−
⋅
−
≥
− +
665
1225 1
1
4 3
3
16
≥
− +
− +
− +
− +
− +
x
665
1225 1
1
4 3
3
16
=
− +
− +
− +
− +
− +
x
⇔
=
=
=
⇔
=
−
=
−
=
−
⇔
−
=
−
−
=
−
−
=
−
1990 5 19
35 665
1 1
4 3
665 665
1225
1 1
4
3 3
16
z y x
z y x
z z
y y
x x
Bài 1: Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp đối lập
a) x 2− + 10 x− =x2 - 12x + 40
b) 3x2 +6x+19+ 5x2 +10x+14 = 4 -2x - x2
c) 3x2 +6x+12 5x4 −10x+9 = 3 - 4x -2x2
d) x+ 2−x2 =4y2 +4y+31
Giải
a) Đặt A = x−2+ 10−x vậy A2 = 8 + 2 (x 2 10 x− ) ( − ) Ta lại có (x - 2) + (10 - x) =
8 nên tính (x - 2)(10 - x) lớn nhất khi và chỉ khi x - 2 = 10 - x hay x = 6
Vậy A2 ≤ 16 nên A ≤ 4
Ta lại có B = x2 - 12x + 40 = (x - 6)2 + 4 ≥ 4
Dấu ( = ) xẩy ra khi x = 6 Vậy phơng trình có nghiệm x = 6
Bài : Giải phơng trình sau
a) 3x2 +6x+7 + 5x2 +10x +14 =−x2 −2x +4 (1)
b) 3x2 −12x +16+ y2 −4x +13=5
Giải
a) (1) ⇔ 3(x +1)2 +4 + 5(x +1)2 +9 =−(x +1)2 +5
Ta có
3(x + 1)2 + 4 ≥ 4 > 0 ⇒ 3(x+1) +4≥ 4=2 (2)
5(x + 1)2 +9 ≥ 9 > 0 ⇒ 5(x +1) +9≥ 9=3 (3)
Từ (2) và (3) ta có 3x2 +6x +7+ 5x2 +10x +14≥5 (4)
Ta lại có -(x + 1)2 + 5 ≤ 5 (5)
Vậy 3x2 +6x +7 + 5x2 +10x +14 =−x2 −2x +4 ⇔
( 1) 0 1 5
4 2
5 14 10
5 7 6
2
2 2
=
⇔
= +
⇔
= +
−
−
= + +
+ + +
x x
x
x
x x
x
x
Trang 95 Đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ: Giải phơng trình:
4 4 1
Giải
⇔ ( )2 ( )2
2
⇔ x− 1 + x+ 2 = 3
+ Nếu x < - 2 ta có x− 1 = 1 −x và x+ 2 = −x− 2 Ta có phơng trình
1- x -x - 2 = 3 ⇔ x = 2(Loại) + Nếu -2 ≤ x < 1 ta có x− 1 = 1 −x và x+ 2 = x+ 2 Ta có phơng trình
1- x + x+ 2 = 3 ⇔ 0x = 0 ⇔ -2 ≤ x < 1 + Nếu x ≥ 2 thì x− 1 = x− 1 và x+ 2 = x+ 2 Ta có phơng trình
x +1 + x +2 = 3 ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0 (Loại)
Vậy với mọi giá trị -2 ≤ x < 1 đều là nghiệm đúng của phơng trình đã cho
Ví dụ 2: Giải phơng trình
2 1 2 2 2 1 2
2
2x+ x− + x− x− =
Giải:
Điều kiện
2
1 0
1
2x− ≥ ⇔x≥
2 1 2 2 2 1 2 2
2x+ x− + x− x− =
⇔ ( 2x−1+1) (2 + 2x−1−1)2 =2
⇔ 2x−1+1 + 2x−1−1=2
⇔ 2x−1+1+ 2x−1−1 =2
2
1 2
1
0 1 1
2
≤
≤
⇔
≥
≤
−
−
x x
x
thì ta có phơng trình
2 1 1 2 1 1
2x− + − x− + =
⇔ 0x = 0 Phơng trình này nghiệm đúng với mọi x mà 1
2
1≤x≤
2 1
0 1 1
2
>
⇔
≥
>
−
−
x x
x
thì ta có phơng trình
Trang 102 1 1 2 1 1
2x− + + x− − =
⇔ 2x−1=1
⇔ x = 1 (Không thỏa mãn điều kiện x > 1)
Vậy phơng trình đã cho nghiệm dúng với mọi x mà 1
2
1
≤
≤x
Ví dụ 3: Giải phơng trình
(x−1)−4 x−1+4 + (x−1) −6 x−1+9 =1
Giải
Điều kiện: x−1≥0⇔ x≥1
(x−1)−4 x−1+4 + (x−1) −6 x−1+9 =1
⇔ ( x−1−2) (2 + x−1−3)2 =1
⇔ x−1−2 + x−1−3 =1
1
2
1 ⇔ ≤ <
≥
<
x
x
thì ta có phơng trình
1 1 3
1
2− x− + − x − =
⇔ x−1=2
⇔ x = 5 ( Không thỏa mãn 1≤x <5)
1
3 1 2
≤
≤
⇔
≥
≤
−
x
x
thì ta có phơng trình
0x = 0 Phơng trình có vô số nghiệm 5≤x ≤10
1
3
1 ⇔ >
≥
>
x
x
thì ta có phơng trình:
0x = 6 (phơng trình này vô nghiệm) Vậy phơng trình đã cho có vô số nghiệm 5≤x≤10
Bài tập Bài 1:Giải phơng trình
a) x2 +2x+1+ x2 −6x+9 =4
b) x2 −2x+1= 6+4 2 − 6−4 2
5 1 6
8 1
4
3− − + + − − =
x
Bài 2: Giải các phơng trình sau:
a) x+2 x−1 + x−2 x−1 =2
b) x +8+2 x +7 + x +8−2 x +7 =4 (1)
Giải
Điều kiện x ≥ - 7
(1) x +7 +1 + x +7 −1=4⇔ x +7 +1+ x +7 −1 =4
Trang 116 Phơng pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ: : Giải phơng trình : 2
2
1 2
1 1
2
= + +
x
7 Nhân với nhân tử liên hợp
Bài tập
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
a) ( x+5 − x+2) (1+ x2 +7x+10)=3
Giải
Điều kiện x ≥ -2
( x+5+ x+2)( x+5− x+2) (1+ x2 +7x+10)=3( x+2+ x+5)
⇔ ( x+5 −1)( x+5 −2)=0
Một số bài tập
Bài Giải phơng trình sau:
a) 3x2 + 2x =2 x2 + x +1− x
Giải
Điều kiện
x2 + x ≥ 0
Phơng trình đã cho có dạng
3 x2 + x − x2 + x − =
đặt x2 + x = y (y≥0)
Ta có phơng trình 3y2 - 2y - 1 = 0 ⇔ y = 1 hoặc y =
2
1
− (Loại)
⇔
= +
⇔
=1 x2 x 1
y
2
5
1−
−
=
x hoặc
2
5
1+
−
=
x
Bài Giải phơng trình sau
a) 4 1− x2 +4 1− x +4 1+ x =3
Giải
Điều kiện: −1≤x ≤1
áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
( )( ) ( )( )
2
1 1
1 1
1 1
1 1
x x
x x
x x
2
1 1
1 1
1
x
2
1 1
1 1
1
x
Trang 121 1
2
1 1
2
1 1
1 1
x x
1 1
1−x + + x +
Ta lịa áp dụng tiếp bất đẳng thức Côsi ta có
1 2
1 1
1−x ≤ −x + =
1 2
1 1
1+ x ≤ + x + =
Suy ra 1− x + 1+ x +1≤3
Vậy 4 1− x2 + 4 1− x +4 1+ x ≤3
Do dó 4 1− x2 +4 1− x +4 1+ x =3
1 1
1 1
=
⇔
=
+
=
−
x x
x
Bài tập: Giải phơng trình sau
7 34
2
1+ + = + − +
x
Cách 1:
Tập xác định của phơng trình x≥1
Với x≥1 ta có x + 34 > x + 7 > 0 nên x+34 − x+7 >0
Vậy hai vế của phơng trình đã cho đều dơng nên
7 34
2
1+ + = + − +
x
7 34
2
−
⇔ 20 - (x−1)(x+2) = (x+34)(x+7)
⇒ ( ( )( ) )2 ( ( )( ) )2
7 34
2 1
20− x− x+ = x+ x+
⇔ ( (x−1) )(x+2) =4−x
⇒ ( ( ( ) )( ) )2 ( )2
4 2
⇔ x=2
Thử lại ta có x = 2 là nghiệm của phơng trình đã cho
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôxki
Tập xác định của phơng trình x≥1
x − 1 + x + 2 = x + 34 − x + 7
⇔ x−1+ x+2 + x+7= x+34