Hệ thống phương pháp giải phương trình vô tỉ

Phần 1: Khái niệm phơng trình vô tỉ: là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn Phần 2: một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ:.. Phơng pháp nâng lên luỹ thừa.. Phơng pháp đặt ẩn phụ.. Phơng

Phần 1: Khái niệm phơng trình vô tỉ: là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn Phần 2: một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ:

Phơng pháp nâng lên luỹ thừa.

Phơng pháp đặt ẩn phụ.

Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

Phơng pháp bất đẳng thức.

Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

I/ Phơng pháp nâng lên luỹ thừa:

1 Phơng trình dạng f(x) =g(x)

Cách giải:







=

≥

⇔

=

)(

)(

0)

( )(

xg xf

xg xg xf

Chú ý: khi bình phơng dẫn đến phơng trình bậc cao thì nên sử dụng phơng pháp đặt

ẩn phụ

Ví dụ : giải các phơng trình sau:

a) 2x− 3 =x− 3 c)x+ x− 1 = 3

b)x− 2x− 5 = 4 d) 6x2 − 12x+ 7 =x2 − 2x

Giải:

0128

3 )3(32

03

332 22 =⇔

xx

x xx

x

xx

d) Đặt t= 2 2 267

2 7

12

6x − x+ ⇒ x − x= t − PT đã cho tơng đơng với PT

7

; 1 0

7

6

2 − t− = ⇔t= − t=

t từ đó suy ra x (loại t=-1)

2 Phơng trình dạng f(x) + g(x) = h(x) hoặc f(x) + g(x) = h(x) + u(x)

Phơng pháp giải: sau hai lần bình phơng đa PT đã cho về PT đã biết cách giải.

Chú ý: khi bình phơng dẫn đến PT bậc cao thì nên sử dụng phơng pháp khác, chỉ bình

ph-ơng khi biết hai vế không âm, nếu không thì chú ý đến phph-ơng trình hệ quả, có thể phân tích thành tích nếu đợc

Ví dụ: giải các PT

a) 5x− 1 = 3x− 2 − 2x− 3 b) 3x+ 4 − x− 3 = 3

c) x+ 1 + x+ 10 = x+ 2 + x+ 5 d) 2x2 − 9x+ 4 + 3 2x− 1 = 2x2 + 21x− 11

Giải: c) gợi ý: ĐK x ≥ − 1 bình phơng hai lần khử căn, nghiệm là x=-1

d)đặt x2 − 9x+ 4 =a≥ 0 , 2x− 1 =b≥ 0 phơng trình là a + 3 b = a+ 5b bình phơng hai vế rút gọn đợc b=0 hoặc b=a Nghiệm là 21 ; 5

3.áp dụng hằng đẳng thức (a+b) 3 =a 3 +b 3 +3ab(a+b)

Ví dụ: giảI phơng trình 3 x− 1 + 3 x− 2 = 3 2x− 3

2 3 3

3 3

3

; 2

; 1 0

) 3 2 )(

2 )(

1 (

3 2 2 1

) 2 )(

1 ( 3 2

=

=

=

⇔

=

−

−

−

⇔

−

=

− +

−

−

− +

−

x x x x

x x

x x

x x

x x

II/ Phơng pháp đặt ẩn phụ:

Tuỳ từng phơng trình cụ thể chọn ẩn phụ cho thích hợp nhằm khử căn đa về phơng trình

đã biết cách giải, sau đây là một số ví dụ:

Ví dụ1: giải biện luận phơng trình: x+ x+ + x+41 =a

2 1

Giải: đặt t= 2 41

4

x phơng trình đã cho thành

4

1 2

1 2

2

(t+ =a⇔ t= a− ≥ ⇒ a≥ (loại t = − a − 21) khi đó x= a− 2 − 41 =a− a

2

(

Ghi chú: khi đã giải đợc PT tổng quát có thể giảI PT với a=4, a=9, đợc kết quả khá gọn

gàng

Ví dụ2: giải PT 2x2 + 4x+ 7 =x4 + 4x3 + 3x2 − 2x− 7

Giải: biến đổi PT thành 4 2x2 + 4x+ 7 = ( 2x2 + 4x+ 7 ) 2 − 16 ( 2x2 + 4x+ 7 ) + 35

đặt t= 2x2 + 4x+ 7 ;t≥ 5 đơc pt t4 − 16t2 − 4t+ 35 = 0 ⇔ (t2 − 6 ) 2 − ( 2t+ 1 ) 2 = 0

Ví dụ3: giải phơng trình : 3 +x + 6 −x+ ( 3 +x)( 6 −x) = 3

Giải: đặt t = 3 +x+ 6 −x,Bunhiacops ki⇒ 3 ≤t≤ 3 2

⇒ t2 = 9 + 2 ( 3 + x )( 6 − x ) ⇒ ( 3 + x )( 6 − x ) = t22− 9

PT đã cho thành 229 3

=

t , học sinh tự giải tiếp

Ví dụ4: giải phơng trình: x2− x7 2 + x − x7 2 = x

Giải: DK:x4 ≥ 7 ,x3 ≥ 7 chuyển vế : 2 7 2 7 2

x

x x x

x − = − − bình phơng rút gọn hai lần

đ-ợc (x-2)(4x2+7x+14) = 0 Đáp số x=2

Ví dụ5: ( − 1 )( + 3 ) + 2 ( − 1 ) +−13 = 8

x x

x x

x

Điều kiện: x≤ − 3 ;x> 1 Đặt y= (x− 1 ) x x−+ 13, phơng trình trở thành

y2+2y-8=0 ta đợc y=2, y=-4

với y=2, ta có (x− 1 ) x x−+ 13, =2 bình phơng hai vế(đk x>1) đợc x2+2x-7=0 chọn x=− 1 + 8

với y=- 4, ta có (x− 1 ) x x−+ 13, =- 4 bình phơng hai vế (đk x≤ − 3) đợc x2+2x-19=0

chọn x= − 1 − 2 5

III/ Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:

Ví dụ1: Giải phơng trình 5 +x− 4 x+ 1 + 10 +x− 6 x+ 1 = 1 (1)

Giải: (1)













≥

=

− + +

− +

<

≤

= +

− +

− +

<

≤

−

= +

− + +

−

⇔

=

− + +

− +

⇔

=

− + +

− +

) 8 (

1 3 1 2

1

) 8 3

( 1 1 3

2 1

) 3 1

( 1 1 3

1 2

1 3 1 2

1 1

) 3 1 (

) 2 1

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x x

Nghiệm là: 3 ≤x≤ 8

Ví dụ2: giải phơng trình x+ 2 x− 1 + x− 2 x− 1 =x2+ 3 (1)

Gợi ý: (1)







≥

−

≤

≤

=

−

− ++

−

2 1 2

2 1

2 1 1 1

1

khix x

x

khi x

nghiệm là x=1 và x=5

VI/ Phơng pháp bất đẳng thức:

1 Chứng tỏ phơng trình vô nghiệm vì có một vế luôn nhỏ hơn vế kia:

Ví dụ: giải các phơng trình

a) x− 1 − 5x− 1 = 3x− 2(1) b) x− 1 − x+ 1 = 2 (2)

Giải: a) đk: x≥ 1, khi đó x<5x do đó x− 1 < 5x− 1 suy ra vế trái của (1) âm còn vế phải không âm Phơng trình vô nghiệm,

b) ĐK: x ≥ 1 khi đó (2)⇔ x− 1 = 2 + x+ 1 vế trái luôn nhỏ hơn vế phải Phơng trình vô nghiệm

2.Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế:

Ví dụ1: giải phơng trình 2x2 − 12x+ 27 + 5x2 − 30x+ 46 = −x2 + 6x− 5 (1)

Giải: vế trái 2 (x− 3 ) 2 + 9 + 5 (x− 3 ) 2 + 1 ≥ 9 + 1 = 4

vế phải −x2 + 6x− 5 = − (x− 3 ) 2 + 4 ≤ 4

vậy hai vế của (1) đều bằng 4 , khi đó x=3

Ví dụ2: giải phơng trình x− 2 + 4 −x =x2 − 6x+ 11 (2)

Giải: áp dụng bđt Bunhiacpôski cho 4 số 1 , 1 , x− 2 4 −x ta có

1 x− 2 + 1 4 −x ≤ ( 1 2 + 1 2 )(x− 2 + 4 −x) = 2; x2 − 6x+ 11 = (x− 3 ) 2 + 2 ≥ 2 do (2)

3 2

11 6

=

=

1 Sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không chặt:

Ví dụ1: giải phơng trình 2 2 2 225 9

) 2 )(

7 4 (x − x+ x − x+ = x − x+

Giải: áp dụng BĐT côsi ab ≤ a2+b vớia≥ 0 ,b≥ 0có : ta c ú

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(a +b c +d =a c +a d +b c +b d = ac+bd + ad−bc

25 9

2 2

) 2 7 4 ( 2

) 2 )(

7 4

dấu bằng xảy ra khi x2- 4x+7=x2 – x+2 , nghiệm là x=5/3

Ví dụ2: giải phơng trình 5 4 2

4

x x

Giải: đk x > 4/5 , ta có BĐT + a b ≥ 2

b

a với a>0, b>0 xảy ra đẳng thức khi a = b với x>4/5 (1) ⇔x= 5x− 4 ⇔x2 − 5x+ 4 = 0 ⇔x= 1 ;x= 4(thoả mãn đk )

V/ Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải các phơng trình không mẫu mực hoặc tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

1 Hớng giải: để giải phơng trình f(x)=g(x) , ta dùng tỉ số biến thiên hoặc phơng pháp

đạo hàm để chứng minh hai miền giá trị của hàm f(x) và g(x) chỉ có chung đúng một phần

tử x0, từ đó kết luận x0 là nghiệm

+ Cụ Thể: Ta sẽ chứng minh f(x) ≥g(x) hoặc f(x) ≤g(x) hoặc f(x) ≥A và g(x) ≤A

hoặc ngợc lại

+Bên cạnh đó ta sử dụng kết quả:

+Nếu f(x) tăng và g(x) giảm trên cùng một miền xác định thì đồ thị nếu cắt nhau thì cắt tại một điểm duy nhất Từ đó phơng trình f(x)=g(x) chỉ có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm

+ Nếu f(t) là hàm tăng hoặc giảm nghiêm ngặt trên D thì f(x) = f(y) ⇔x=y

2 Các ví dụ:

Ví dụ1: giảI phơng trình : x+ 1 + x+ 3 + 2x− 1 = 3 + 2

Giải: Điều kiện 21

0 1 2

0 3

0

1

≥

⇔









≥−

≥+

≥+

x x x

x

đặt : f(x) = x+ 1 + x+ 3 + 2x− 1

2 1 1 2 1 3 2 21 1 12

f x x x ⇒f (x)tăng trên [21 ; +∞) lại có

2

3

)

1

( = +

f nên đồ thị hàm số y=f(x) cắt đồ thị hàm số hằng y= 3 + 2tại một điểm duy nhất x=1 Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x=1

Ví dụ 2: giải phơng trình : x2 + 15 = 3x− 2 + x2 + 8

8 15 7 2

2 2

2

2

⇔

−

= +

− +

⇔ + +

−

=

x

x x

Ta thấy hàm ( ) 2 157 2 8

+ + +

x

f luôn giảm trên R, hàm g(x) = 3x− 2 luôn tăng trên R,

do đó đồ thị hàm f(x) cắt đồ thị hàm g(x) tại một điểm duynhất x=1, vậy phơng trình

đã cho có nghiệm duy nhất x=1

Ví dụ 3: giải hệ phơng trình









= + +

−

=

− + +

7 5 2

7 2 5

y x

y x

Giải: điều kiện:







≥

≥ 2

2

y

x

từ hệ ⇔ x+ 5 − x− 2 = y+ 5 − y− 2 ⇔ f(x) = f(y)

Xét hàm số f(t) = t+ 5 − t− 2 với t ≥ 2 ( ) 2 25. 25 0

2 2

1 5 2 1

−

t t t t

t

f(t) là hàm giảm trên [2 ; +∞) do đó f(x) = f(y) ⇔x=ykhi đó hệ PT

11 11

7 2

+

⇔ x x x y , nghiệm của hệ là (11;11)

Ví dụ 4: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực

3 x− 1 +m x+ 1 = 2 4 x2 − 1

Giải: đk x≥ 1 phơng trình đã cho x x m

x

−

+

1

1 1

1

1

+

−

t , khi đó (1) trở thành -3t2+2t=m vì t= 4

1 2 4

1

+

x x và x≥ 1 ⇒ 0 ≤t< 1 hàm số f(t) = − 3t2 + 2t, 0 ≤t < 1

có bảng biến thiên:

f/(t) + 0

3 1

Phơng trình đã cho có nghiệm t∈[0 ; 1) ⇔ − 1 < m≤ 31

Một số bài tập tơng tự: giải các phơng trình sau:

1) x− 2x− 5 = 4 6) x− 2 − x+ 3 = 4

2)x2 − 6x+ 9 = 4 x2 − 6x+ 6 7)3 (x+ 1 ) 2 +3 (x− 1 ) 2 + 3 x2 − 1 = 1

3) x+ 6 − 4 x+ 2 + x+ 11 − 6 x+ 2 = 1 8)3 24 +x + 12 −x = 6

4) x− 7 + 9 −x =x2 − 16x+ 66 9) 3 x+ 1 + 3 x+ 2 + 3 x+ 3 = 0

5) 2 ( 3x2 −x+ 2 )( 4x2 + 3x+ 1 ) = 3 + 2x+ 7x2 10) 3 −−x x+− 3 x x−− =6−x

3 3

5 7

5 7