CHUYÊN ĐỀ:SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I.. Các bước giải tổng quát: i Bước 1: Tìm GTNN min fx và GTLN max fx của fx trên X.. Chú ý: i Nếu bài toán không hạn
Trang 1CHUYÊN ĐỀ:
SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Bài toán:
Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x) = g(m) (1) có nghiệm thực x Î X
Trong đó m là tham số, X là tập hợp con của ¡
Các bước giải tổng quát:
i) Bước 1: Tìm GTNN (min f(x)) và GTLN (max f(x)) của f(x) trên X
ii) Bước 2: min f(x) £ g(m) £ max f(x).
Chú ý:
i) Nếu bài toán không hạn chế khoảng nghiệm thì ta xem X = Df( x) (miền xác định của f(x))
ii) Nếu hàm f(x) không đạt min hoặc max thì ta phải dùng giới hạn, ta có thể thay bước 2) bằng bảng biến thiên (BBT) của f(x)
iii) Đối với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ 2 nghiệm phân biệt trở lên thì ta phải dùng BBT
4i) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) và nhớ tìm điều kiện của t (miền giá trị của t)
II CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
Bài 1 Tìm điều kiện của m để phương trình x2 + 2x- m =2x - 1 (1)
1) có nghiệm thực, 2) có 1 nghiệm thực, 3) có 2 nghiệm thực phân biệt
HƯỚNG DẪN GIẢI
(1)
x 2x m (2x 1) m 3x 6x 1
ï + - = - ï = - +
Đặt y = - 3x2 + 6x - 1, với x 1
2
³ ta có:
Bảng biến thiên
x - ¥ 1
2 1 + ¥
y 2
5
4 - ¥ Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
1) m £ ,2 2) m 5 m 2
4
< Ú = , 3) 5 m 2
4 £ <
2 4 + + + + = (2) có nghiệm thực
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt 1 2 1
t x 0 x t
= + ³Û = - , (2) trở thành:
2
t t t m t t m t m
æ ö÷ ç
- + + + = Û + + = Û ççè + ÷÷ø = .
Do
2
1 1
t 0 t
2 4
æ ö÷
ç +
³ Þ ççè ÷÷ø ³ nên (2) có nghiệm
1 m 4
³
2
m
16 x 4 0
16 x
- - - =
- (3) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t = 16- x2 ÞÎ t (0; 4], (3) trở thành m 2 t 4 0 t 4t m t - - = Û - = Lập BBT của hàm số y = t2 – 4t, ta có 4- ££m 0 Chú ý: Nếu giải như bài 2, ta sẽ loại mất m = 0 Do đó nên lập BBT để tránh sai sót. Bài 4 Tìm điều kiện của m để phương trình x 1 m x 2 2 0 x 2 x 1 - + - + = + - (4) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t x 1 t (0; ) \ {1} x 2 -= ÞÎ + ¥ + , (4) trở thành m 2 t 2 0 t 2t m t - + = Û + = Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t, ta có 0 < m ¹ 3 Bài 5 Tìm điều kiện của m để phương trình x + 1- m x - 1+ 2 x4 2 - 1 = 0 (5) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện: x ³ 1 + x = 1: (5) vô nghiệm + x > 1: 4 x 1 4 x 1 (5) m 2 0 x 1 x 1 + + = Û - + Đặt 4 x 1 4 2 t 1 t (1; ) x 1 x 1 + = = + ÞÎ + ¥ - - , (5) trở thành m 2 t 2 0 t 2t m t - + = Û + = Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t, ta có m > 3 Bài 6 Tìm điều kiện của m để phương trình x2 - 2x- 3 = x + m (6) 1) có nghiệm thực, 2) có 2 nghiệm phân biệt HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có (6) Û x2 - 2x- 3- x = m Đặt y = x2 - 2x - 3- x, x £ - 1Ú³x 3 2 2 2 x 1 x 1 x 2x 3 y ' 1 x 2x 3 x 2x 3 - - - -
-= - = Þ - - - -
Bảng biến thiên x - ¥ –1 3 + ¥
y’ – +
y + ¥ 1
1 –3
Dựa vào bảng biến thiên:
Trang 31) 3- £ m < - 1 mÚ³ 1, 2) không có m.
Bài 7 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x+ 1+ 1- x = m (7)
HƯỚNG DẪN GIẢI
2
1 x 1 x f(x) 1 x 1 x, x [ 1; 1] f (x)
2 1 x
- - +
= + + - Î - Þ = - Bảng biến thiên x - ¥ –1 0 1 + ¥
f’(x) + 0 –
f(x) 2
- 2 2
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: + m < 2Úm > 2: (7) vô nghiệm + m = 2: (7) có 1 nghiệm + 2 £ m < 2: (7) có 2 nghiệm phân biệt Bài 8 Tìm điều kiện m để phương trình x + 9- x = - x2 + 9x + m (8) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 2 0 x 9 x 9 x 0 (8) (9x x ) 2 9x x 9 m 9 2 9x x 9x x m ì ì ï + - ³ ï £ £ ï ï ï Û í Û í ï + - = - + ï - - + - + =
ïî Đặt 2 x (9 x) 9
t 9x x 0 t , x [0; 9]
2 2
+
-= - Þ££ = " Î , ta có (8) trở thành:
2
t 2t 9 m
- + + = Lập BBT của hàm số y = - t2 + 2t + 9 trên [0 ; 9/2] ta có 9 m 10
4
- ££
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt t = x- 4 ³Þ0 x = t2 + 4 Ta có (9) trở thành:
t + 4t + 4 + t + 4+ t = m Û t + 2t + 6 = m
Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t + 6, t ³ 0 ta có m ³ 6
6
+ + - + - - = (10) có nghiệm thực
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt t = x- 9 ³Û0 x = t2 + 9 Ta có (10) trở thành:
2
t 6t 9 t 6t 9
6
+ + + + + - + = Û 6 t( + 3+ t - 3 ) = t2 + 9+ m
2 2
t 12t 9 m, t 3 (*)
t 27 m, 0 t 3 (**)
é- + - = ³ ê
Û êê- + = £ <
+ Lập BBT của hàm số y = - t2 + 12t - 9, t ³ 3 ta suy ra (*) có nghiệm thực Û m £ 27
+ Do 18 < - t2 + 27 £ 27, t" Î [0; 3) nên (**) có nghiệm thực Û 18 < m £ 27
Vậy với m £ 27 thì (10) có nghiệm thực
Trang 4Bài 11 Tìm m để phương trình x- 1+ 3- x - (x- 1)(3- x) = m (11) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt t = x- 1+ 3- x ³Þ0 t2 = 2+ 2 x- 1 3- x ³Þ³2 t 2
Mặt khác t2 =2+ 2 x- 1 3- x £ 2+ [(x- 1)+ (3- x)]= 4 Þ££2 t 2
Ta có (11) trở thành:
2
2
t 2 1
t m t t 1 m
= Û - + + =
Lập BBT của hàm số 1 2
y t t 1, t 2; 2
= - + + Î êë úû ta có 1£ m £ 2
Chú ý: Nên lập BBT của t = x - 1+ 3- x để tìm miền giá trị t
2
+
£ £
Bài 13 Tìm m để phương trình x4 + 4x+ m + 4 x4 + 4x + m = 6 (13) có nghiệm thực
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt t = 4 x4 + 4x + m ³ 0 Ta có:
(13) Û t2 + t - 6 = 0 Û t = 2 Û 4 x4 + 4x+ m =2 Û - x4 - 4x+ 16 = m
Lập BBT của hàm số y = - x4 - 4x + 16 trên ¡ ta có m £ 19
1- x + 2 1- x = m (14) 1) có nghiệm thực duy nhất, 2) có nghiệm thực
HƯỚNG DẪN GIẢI
1) Nhận thấy nếu x0 là nghiệm của (14) thì – x0 cũng là nghiệm của (14)
Suy ra x0 = - x0 Û x0 = 0 là nghiệm duy nhất của (14)
Thế x0 = 0 vào (14) ta được m = 3 Thử lại ta thấy (14) có nghiệm duy nhất
Vậy m = 3
2) Đặt 6 2
t = 1- x Þ££0 t 1 Ta có (14) trở thành t3 + 2t2 = m
Lập BBT của hàm số y = t3 + 2t2 trên [0 ; 1] ta suy ra 0 £ m £ 3
Bài 15 Chứng tỏ rằng phương trình
2
3x 1
2x 1 mx 2x 1
-= - +
- (15) luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của m
HƯỚNG DẪN GIẢI
2
2
(15) 3x 1
3x 2 3x 2x
ï ï > ï >
ï
-î ïïî - ïïî
-
Xét hàm số f(x) 3x 2 , x 1 f (x)/ 3x 1
2 2x 1 (2x 1) 2x 1
-= > Þ =
Mặt khác
x
3x 2 lim
2x 1
+ ¥
®
-= + ¥
- , 1
x 2
3x 2 lim
2x 1
+
®
-= - ¥
- Suy ra hàm số f(x) có tập giá trị là ¡ Vậy (15) luôn có nghiệm thực với mọi m
Trang 5Bài 16 Tìm m để phương trình (x 3)(x 1) 4(x 3) x 1 m
x 3
+
- + + - =
- (16) có nghiệm thực
HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện x 1 0 x 1 x 3
x 3
+
- >
³ Û £ Ú
+ Với x £ - 1: (16) Û (x- 3)(x + 1)- 4 (x- 3)(x + 1) = m
Đặt t = (x- 3)(x + 1) ³ 0, x" £ - 1, (16) trở thành t2 - 4t = m Þ m ³ - 4
+ Với x > 3: (16) Û (x- 3)(x + 1)+ 4 (x- 3)(x + 1) = m Þ m ³ 0
Vậy m ³ - 4
Bài 17 Tìm m để phương trình 3 1- x + 31+ x = m (17) có nghiệm thực
HƯỚNG DẪN GIẢI
Xét hàm số 3 3 /
f(x) 1 x 1 x f (x)
3 (1 x) (1 x)
= - + + Þ = ê - ú
f (x) = 0 (1+ x) = (1+ x) x = 0 f(0) =2
3
1 x 1 x (1 x) 1 x (1 x) lim f(x) lim
(1 x) 1 x (1 x)
- + + êë - - - + - úû
=
é - - - + - ù
x
3
2
2
¥
®
é æ ö æ öù
ê ç - ÷÷- - + ç + ÷÷ú
ê çè ÷÷ø çè ÷÷øú
Suy ra tập giá trị của f(x) là (0; 2] Vậy 0< m £ 2
Bài 18 (trích đề thi ĐH khối B – 2004) Tìm điều kiện của m để phương trình:
m 1+ x - 1- x + 2 = 2 1- x + 1+ x - 1- x (18) có nghiệm thực
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt t = 1+ x2 - 1- x , 2 - 1££x 1
x 1 x 1 x
1 x 1 x
+ +
+ -t( 1)± = 2, t(0) = 0 ÞÎ t é0; 2 , xù" Î é- 1; 1 ù
ê ú ë û
ë û (18) trở thành
2
m(t 2) 2 t t m
t 2
- + + + = - + Û =
+ Xét hàm số
2
t t 2 t 4t
y y ' 0, t 0; 2
t 2 (t 2)
- + + - - é ù
= + Þ = + £ " Î êë úû. Bảng biến thiên
x - ¥ 0 2 + ¥
y’ 0 –
y 1
2 1
-Dựa vào bảng biến thiên, (18) có nghiệm thực Û 2- 1£ m £ 1
Trang 6Bài 19 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình m x2 + 2 = x + m (19).
HƯỚNG DẪN GIẢI
2
x
m x 2 1 x m do x 2 1 0, x
x 2 1 + - = = + - > "
Xét hàm số y 2 x
x 2 1
=
+
2 2
2 2 2
x
x 2 1
x 2
y '
x 2 1
+ -
-+
= Þ
2
2
2 x 2
0 x 2
x 2 x 2 1
- +
Giới hạn x x x
2
x lim y lim lim y 1
2 1
x 1
x x
÷
ç + - ÷
çè ø Bảng biến thiên
x - ¥ - 2 2 + ¥
y’ – 0 + 0 –
y –1 2
- 2 1
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
+ m < - 2Úm > 2: (19) vô nghiệm
+ 1- ££Úm 1 m = ± 2: (19) có 1 nghiệm
+ - 2 < m < - 1 1Ú < m < 2: (19) có 2 nghiệm phân biệt
Bài toán 20 Tìm m để phương trình 2x2 - x- 3 = mx+ m (20) có nghiệm thực x ¹ - 1
HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện 2 3
2x x 3 0 x 1 x (x 1)
2
- - ³Û < - Ú³¹ -
Ta có (20) 2x2 x 3 m
x 1
-
-= Û
Lập BBT của hàm số y 2x2 x 3
x 1
-
-=
+ ta suy ra m < - 2Ú£0 m < 2
Bài 21 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất:
3 4
x + 1- x + 2m x(1- x)- 2 x(1- x) = m (21)
HƯỚNG DẪN GIẢI
Nhận thấy x0 là nghiệm của (21) thì 1 – x0 cũng là nghiệm của (21) Từ đó, để (21) có nghiệm duy nhất thì
3
1
x 1 x x m m m 0 m 1
2
= - Û = Þ = Û = Ú = ±
t x 1 x 0, 0 x 1 x(1 x)
2
-= + - ³££Þ - =
(21) trở thành 2(t2 - 1) = mt2 + t - m3 - m
(21) 2(t 1) t t 2 x(1 x) x
2 2
Trang 7+ m = 1: (21) Û 2(t2 - 1) = t2 + t- 2 Û 2(t2 - 1) =(t - 1)(t + 2)
t 1
t 1
t 1 2(t 1)(t 1) (t 1) (t 2)
t 3t 2t 6 0
é = ê
ì ³
ïï êì >ï
ï - + = - + í
î êïëîï + - - =
2
x 0
t 2 x(1 x) 2 (t 3)(t 2) 0 2 x 1
é =
- = é
ê
ê
=
êï + - = ë ê ê
(loại)
+ m = - 1: (21) Û 2(t2 - 1) =(t + 1)(2- t)
t 2 x
t 3t 2t 6 0 2
ì £ £
Û íï -ïî - + = Û Û (nhận).
Vậy m = 0Úm = - 1
Bài 22 Tìm m để phương trình x + x2 - x + 1 = m (22) có nghiệm thực
HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện x + x2 - x+ 1³Û0 x2 - x + 1 ³ - x Û "x Î ¡
Xét hàm số
2
2
2 x x 1 2x 1 f(x) x x x 1 f (x) 0, x
2 x x 1
- + +
-= + - + Þ = > " Î
- + ¡ Giới hạn ( 2 )
xlim f(x) xlim x x x 1
® = ® + - + = + ¥
2
2
lim f(x) lim lim
1 1
x x x 1
x x 1
x x
- - +
- - +
1 x(1 )
2
x x 1 x 1 1
æ ö÷
+ - + çç + - + ÷
÷
2
f(x) , x x x x 1 , x
> " + - + > "
Vậy (22) có nghiệm thực m 2.
2
>
Û
