Phương trinh vô tỉ

Một số phương pháp giải pt vô tỉ Phương trìnhpt chứa căn là 1 nội dung rất quan trọng trong chương trình bồi dưỡng HSG toán bậc THCS và THPT,thường xuyên xuất hiện trong các đề thi chọn

Một số phương pháp giải pt vô tỉ

Phương trình(pt) chứa căn là 1 nội dung rất quan trọng trong chương trình bồi dưỡng HSG toán bậc THCS và THPT,thường xuyên xuất hiện trong các đề thi chọn HSG,thi vào lớp 10 chuyên và kể cả thi đại học

Các phương pháp để giải phương trình(gpt) vô tỉ rất đa dạng và phng phú,đòi hỏi học sinh chúng ta phải

tư duy thông minh,linh hoạt,khéo léo trong việc vận dụng ,kết hợp các phương pháp giải

I/Phương pháp biến đổi tương đương

Chúng ta xét một ví dụ đơn giản sau:

Ví dụ 1:

Gpt:

Lời giải:

Pt đã cho tương đương:

Giả sử 2 vế pt cùng dấu,bình phương 2 về rồi rút gọn được:

<=> <=> <=>

Thử lại thấy thỏa mãn.Vậy pt có nghiệm

Rõ ràng,biến đổi tương đương là phương pháp đơn giản nhất đẻ gpt vô tỉ.Nhưng khi bình phương 2 vế,ta cần chú ý tới điều kiện cùng dấu của 2 vế pt.Để cho chắc chắn,sau khi ra kết quả,chúng ta nên thử lại và loại bỏ những nghiệm không thỏa mãn

Chúng ta xét tiếp ví dụ sau:

Ví dụ 2: Gpt:

Lời giải:ĐKXD

Nếu gpt này bằng cách bình phương 2 vế thì lời giải sẽ dài dòng và không phù hợp với mỹ quan toán học

1 chút nào.Ta chú ý rằng có biểu thức nhân liên hợp là

và tích của chúng là

Do đó,pt đã cho tương đương:

<=>

Bình phương 2 vế được:

<=>

<=>

<=>

Vậy pt có nghiệm

II/Dùng hằng đẳng thức để gpt vô tỉ

1)Pt dạng <=> và <=>

Ví dụ 3:

Gpt:

Lời giải:

ĐKXD

Pt đã cho tương đương:

<=>

<=>

Ví dụ 4:

Gpt:

Lời giải:

ĐKXD Pt đã cho tương đương:

<=>

Việc giải tiếp 2 pt vô tỉ này quả thực là không quá khó khăn Chúng ta sang dạng tiếp theo:

2)Pt dạng

Ví dụ 5:

Gpt:

Lời giải:

ĐKXD

Pt đã cho tương đương với

<=>

<=>

3)Pt dạng <=>

Ví dụ 6:

Gpt:

Lời giải:

ĐKXD

Pt này tương đương:

<=>

<=> <=>

4)Pt dạng <=> <=>

Ví dụ 7:Gpt:

Lời giải:

Pt đã cho tương đương:

<=>

<=>

Vậy pt có nghiệm

III/Sử dụng định lý Viét để biến đổi pt chứa căn thành pt tích

Ví dụ 8:

Gpt:

Lời giải:Đặt ta có:

<=>

<=>

<=>

<=>

Ví dụ 9:Gpt:

Lời giải:

ĐKXD

Pt đã cho tương đương:

<=>

<=>

<=>

Qua 2 ví dụ trên,ta thấy các bước giải cơ bản của phườn pháp này là:

Bước 1: Viết phương trình về dạng bậc 2,đặt ẩn phụ

Bước 2: Biến đổi về dạng thích hợp và kiểm tra dạng Viét

IV/Đặt ẩn phụ

Khi bình phương 2 vế của 1 pt chứa căn mà ta được 1 pt bậc caokhos giải thì chúng ta thường nghĩ ngay đến phương pháp đặt ẩn phụ.Ẩn phụ thường chính là biểu thức chứa căn ,làm pt đơn giản hơn hoặc đưa

pt về hệ phương trình theo ẩn phụ

1)Đặt ẩn phụ để làm gọn pt

Ví dụ 10:Gpt:

Lời giải:

ĐKXD hoặc [TEX-1 \leq x \leq 0[/tex].Chia cả 2 vế cho ta được:

<=> hay (loại)

=> <=> <=>

2)Đặt ẩn phụ đưa pt về hpt

Ví dụ 11:Gpt:

Lời giải:

ĐKXD

Đặt

=>

Ta thu được hệ:

Ta dễ dàng giải được hệ này!

3)Một số dạng pt đặt ẩn phụ cơ bản

a)

Đặt <=> ,ta thu được pt bậc 2:

b)

Thu được pt bậc 2:

c)

Thu được pt bậc 2

d)

<=>

Thu được

thu được

===============

V/Sử dụng BDT để gpt vô tỉ

Khi gpt vô tỉ ta chú ý đến các BDT sau:

1)BDT Cauchy(AM-GM)

Cho số không âm Khi đó ta có BDT: Đẳng thức xảy ra <=>

Ví dụ 12:Gpt:

Lời giải:

ĐKXD Theo BDT AM-GM ta có:

Đẳng thức xảy ra <=>

2)BDT Bunhiacopski(B.C.S)

Đẳng thức xảy ra <=>

Ví dụ 13:

Gpt:

Lời giải:

ĐKXD

Áp dụng BDT B.C.S ta có:

Đẳng thức xảy ra <=>

<=> (do

3)Áp dụng tính chất nghịch biến của hàm khi và đồng biến của khi

để gpt chứa căn

Ví dụ 14:Gpt:

Lời giải:ĐKXD

=>

Đẳng thức xảy ra <=>

4)Sử dụng tính chất đơn điệu để gpt chứa căn

Dạng thường gặp là:

=>

Ví dụ 15:Gpt:

Lời giải:

ĐKXD

Các tính chất đơn điệu cơ bản của hàm số như sau:

* là hàm đơn điệu tăng

* là hàm đơn điệu tăng với

*Nếu là những hàm tăng và luôn dương suy ra là hàm giảm và là hàm tăng

5)Các BDT khác:

a)Với ta có:

Đẳng thức xảy ra <=>

Ví dụ 16:Gpt:

Lời giải:ĐKXD

Ta có:

Đẳng thức xảy ra <=> =>

b)Với ,ta có BDT:

Ví dụ 17:

Gpt:

Lời giải:

Ta có:

Đẳng thức xảy ra <=> <=>

==================

VI/Một số dạng pt chứa căn đặc biệt

Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 18: Gpt:

Để gpt này có rất nhiều cách,tuy nhiên có một cách khá đơn giản là đưa pt thành hpt bằng cách đặt ẩn phụ

<=>

Vậy pt có nghiệm

Ví dụ trên minh họa cho dạng pt sau:

Ta có thể đặt và đưa về hpt đối xứng:

Hay dạng

Bằng cách đặt ,ta cũng có thể đưa về hệ:

Việc giải 2 hpt này quả thật là không quá khó đối với trình độ THCS

=============

Cuối cùng,mời các bạn l m m à ột số b i t à ập ứng dụng: Giải các pt sau:

D

ạ ng I:

1/

2/

3/

4/

5/

D

ạ ng II:

6/

7/

8/

9/

10/

D

ạ ng III

11/

12/

D

ạ ng IV

13/

14/

15/

16/

17/

D

ạ ng V

18/

19/

20/