Hàm Liên Tục.pdf

Hàm liên tục 1 Hàm liên tục 1 Cho f I  ℝ và a  I  Hàm liên tục tại a  lim �→� f(x) = f(a)  Hàm liên tục phải (trái)  lim �→�±� f(x) = f(a)  Hàm liên tục trên I  liên tục tại  x  I Tập C(I, ℝ[.]

Hàm liên tục

1 Hàm liên tục

1 Cho f : I  ℝ và a  I

 Hàm liên tục tại a  lim

→

f(x) = f(a)

 Hàm liên tục phải (trái) 

lim

→ ± f(x) = f(a)

 Hàm liên tục trên I  liên tục tại  x  I

Tập C(I, ℝ)

Maple (1)

2 Liên tục tại a

1) f liên tục a  liên tục

phải, trái

2) f liên tục a, f(a) > 0 ( )  f(x)

>

( ) 0 ( )

3) f liên tục a  | f(x) | ≤

( )

M

3 Các tính chất

1) f, g  C(I, ℝ)  f + g, f.g, f /g  C(I, ℝ)

2) f  C(I, ℝ) và g  C(J, ℝ)  gof  C(I, ℝ)

3) f  C(I, ℝ) và  f–1 : J  ℝ 

f–1  C(J, ℝ) 4) Hàm sơ cấp liên tục bên trong I

2 Các định lý

1 (Trị lớn nhất, bé nhất) Cho f 

C([a, b], ℝ)

 x1, x2  [a, b] :  f(x1)  f(x)  f(x2)

 min(f) = f(x1), max(f) = f(x2)

 m  f(x)  M

Maple (2)

2 (Trị trung gian) Cho f  C([a, b],

ℝ)

 m <  < M,  c  (a, b) :  = f(c)

 f(a)f(b) < 0   c  (a, b) : f(c)

= 0

 f(x)  0  f(x) > 0 hoặc

f(x) < 0

 f(<a, b>) = <m, M>

3 (Hàm ngược) Cho f  C(I, ℝ) và đơn điệu thực sự

Khi đó

 f–1 : J = f(I) ℝ liên tục và đơn điệu cùng chiều với f

4 (Thác triển liên tục) Cho f : I – {a}

 ℝ liên tục sao cho lim

→ f(x) = ℓ Khi

đó

g : I  ℝ, x  g(x) = ( ) ≠

ℓ =

liên tục trên I

3 Phân loại gián đoạn

1 Cho f : I  ℝ và a  I̅

 a là gián đoạn  f không liên tục tại điểm a

 Gián đoạn loại 1 :  f(a+0), f(a–0) <



+) Bỏ qua được : f(a+0) = f(a–0) +) Không bỏ qua

 Gián đoạn loại 2 :

2 Phân loại điểm gián đoạn của hàm

sơ cấp

 Tìm điểm biên, điểm ghép

 Tính giới hạn tại các điểm đó

Ví dụ Phân loại điểm gián đoạn

f(x) =

Giải

 D(f) : sin(x)  0  x  k

 x = 0 là điểm gián đoạn loại một lim

→ = 1

 x = k  0 là điểm gián đoạn loại hai

lim = –, lim = +

Maple (3)

4 Khử dạng vô định

1 Dạng ( )

 lim

→ = lim

→

 QT L’hopital

Ví dụ Tìm giới hạn lim

Giải

 t = x –   0  x = t + 

sin(mx) = sin(mt + m) = (–1)m

sin(mt) ~ (–1)m (mt)

sin(nx) =

 ℓ = lim

→

( ) ( ) = lim

→

( )

(−1)( )

2 Dạng ( )

 lim

→ = lim

→ = lim

→

 QT L’hopital

3 Dạng (0)



→ (.A)

.A = ( ) hoặc .A = ( )

Ví dụ Tìm

√ − 1 )

Giải

 √ + 1 = 1 + ~ 1 +

 ℓ =

=

→ = 1

4 Dạng (–)



→ (A – B)

A – B = B( – 1)

→

⎯⎯ ∞ ≁

0 × ∞ ~

Ví dụ Tìm

Giải

 f(x) =

sin x ~ x, sin x ~ −

 ℓ =

→ = 0

5 Dạng (uv)



→ (00, 0, 1, 0)

+)

→ = AB

+) (1) : ℓ = → ( )

 y = uv : ln

→ y(x) =

→ vln(u)

Ví dụ Tìm giới hạn ℓ =

Giải

 u =

→

⎯⎯⎯⎯ 1, v = 2x + 1

→

⎯⎯⎯⎯ +

 v(u – 1) = −

→

⎯⎯⎯⎯ –6

ℓ = e–6

Ví dụ Tìm giới hạn

→

Giải

 u = x  0, v = xx – 1  ?

→ xln x =

→ =( )

→ (–x)

= 0

 w = xx

→

⎯⎯⎯ e0 = 1



→ xln2 x =

→ =( )

 y = , ln y(x) = (exlnx – 1)ln x

exlnx ~ 1 + xlnx

→ ln y(x) =

→ xln2x = 0

ℓ = → ( ) = 1