(Luận văn thạc sĩ) cơ sở mahler trong không gian các hàm liên tục

Trang 1 NGUYỄN THỊ VÂN KHÁNH CƠ SỞ MAHLER TRONG KHƠNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤCChuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

để luận văn được hoàn thành

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với các Thầy Cô ở Khoa Toán - Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và các Thầy Cô đã tham gia giảng dạy, quản lý lớp học, đã truyền đạt cho tôi nhiều kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học

Ngoài ra tôi cũng chân thành cảm ơn các Anh Chị trong Khoa Sư phạm Khoa học Tự Nhiên Trường Đại Học Sài Gòn đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Cảm ơn các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Nguyễn Thị Vân Khánh

Không gian các hàm liên tục C( Z p  C p ) là không gian Banach với chuẩn được xác định bởi f  Max f x    ,   x Z P  ;   f C Z  P  C P  Có một kết quả rất đẹp

của Mahler nói rằng: “Tập các đa thức dạng x ; n  0,1, 2, 

n

  

 

  là cơ sở trực chuẩn

của C( Z p  C p )” Quả thực, mặc dù còn hạn chế về chuyên môn nhưng khi nghiên

cứu kết quả trên tôi cảm thấy rất hấp dẫn Thực hiện đề tài này giúp tôi tập làm quen với các phương pháp nghiên cứu Toán học và trên hết là có thể phát triển tư duy của bản thân

2 Mục đích nghiên cứu:

Mục tiêu chính của luận văn là giới thiệu kết quả trên của Mahler, đồng thời chúng tôi tìm tòi ứng dụng hệ số Mahler trong một số trường hợp cụ thể, ngoài ra chúng tôi mỡ rộng kết quả của Mahler cho không gian các hàm liên tục hai biến C(Z p xZ p  C p )

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu chính của luận văn là các hàm cơ bản trên không gian C(

Z p  C p ) Tuy nhiên chúng tôi không tập trung vào việc xây dựng các hàm liên tục

cơ bản trên Cp, phạm vi nghiên cứu chính của chúng tôi là tìm tòi cách biểu diễn các hàm đó qua cơ sở Mahler

4 Cấu trúc luận văn:

Luận văn bao gồm 3 chương

Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản để có thể nghiên cứu được những chương sau

Chương 2: CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC

C(Z P C P )

sở trực giao, trực chuẩn và các tính chất của nó, để từ đó có thể hiểu rõ hơn việc xây dựng cơ sở trực chuẩn Mahler trong không gian các hàm liên tục C(Z p  C p ), cũng như nghiên cứu các tính chất và kết quả liên quan đến cơ sở Mahler, hệ số Mahler

Chương 3: HỆ SỐ MAHLER CỦA MỘT SỐ HÀM CƠ BẢN

Chương 3 chúng tôi trình bày cách biểu diễn hệ số Mahler qua một vài hàm cơ bản như hàm số mũ, hàm exp, hàm sin, hàm cos, hàm p-adic Gamma, tổng vô hạn của hàm liên tục, hàm lũy thừa Ngoài ra ở cuối chương chúng tôi có mở rộng cơ sở

và công thức tính hệ số Mahler trong không gian các hàm liên tục hai biến C(Z p xZ p  C p )

Người thực hiện

Nguyễn Thị Vân Khánh

Chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản để người đọc có thể dễ dàng nắm bắt được các chương sau, tuy nhiên chúng tôi chỉ chứng minh một số kết quả được sử thường xuyên trong những chương sau, các kết quả chưa được chứng minh độc giả có thể dễ dàng tìm thấy trong mục 2 và 5 của phần tài liệu tham khảo

1.1 Chuẩn trên trường:

Cho là chuẩn trên trường K, nếu thoả điều kiện mạnh hơn iii) là

iii)’  x y K x y Max x y ,  ,    ,  thì ta nói là chuẩn phi-Archimedean

0 neáu x 0

neáu x 0 p

( p là số nguyên tố )

Trong đó Nếu x = 0 thì ord p   0  

Nếu x Z  \ 0   thì ord x p   là số mũ của p trong sự phân tích x thành các thừa số nguyên tố

Mọi chuẩn không tầm thường trên Q đều tương đương với chuẩn p (p là một

số nguyên tố nào đó) hoặc tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường trên Q

Vậy 1 1 

3 Ta có x  1 x  x x  1   1 1 , mà x  0 (vì x ≠ 0) Vậy x 1 1

x

 

ª

1.1.5 Nguyên lý tam giác cân:

Cho là một chuẩn phi-Archimedean trên trường K

Nếu x  y thì x y Max x y     ,

Chứng minh:

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x  y  Max x y   ,  y

Theo tính phi-Archimedean ta có x y   y (*) Mặt khác y   x  x y    Max x y x   , 

Nếu Max x y x   ,   x thì y  x , trái giả thiết Vậy Max x y x   ,    x y  y   x y (**)

Gọi S là tập hợp các dãy Cauchy hữu tỉ theo p , trên S ta định nghĩa một quan

hệ tương đương như sau:     x n y n n  x n y n 



 lim   0

Ta gọi Q P là tập hợp các lớp tương đương theo quan hệ trên và trang bị cho Q P

hai phép toán cộng và nhân như sau:      

Nếu   0 thì x n p  0 , ngược lại   0 thì   M N :  p  x n p ;   n M

Trường số hữu tỉ Q được xem là trường con của Q P nhờ ánh xạ nhúng a    a

Tập hợp Z P   x Q x  P : p  1  là vành con của Q P và được gọi là vành các số nguyên p-adic

Với mỗi x Q  p , giả sử  m ; 

p

x p m Z , ta hoàn toàn có thể chứng minh x được

biểu diễn duy nhất dưới dạng   

Ta đã biết trường số thực R không đóng đại số, bao đóng đại số của R là trường

số phức C Làm đầy đủ Q theo p ta được trường Q P Giống như R, Q P đầy đủ nhưng không đóng đại số Ký hiệu Q P là bao đóng đại số của Q P , chuẩn p trên Q P

có thể mỡ rộng thành chuẩn trên Q P như sau Với   Q P thì  là phần tử đại số trên Q P Gọi Irr(,Q P , x) là đa thức nhận 

Trường số phức C p có vai trò tương tự như trường số phức C trong giải tích phức thông thường

Vành các số nguyên p-adic có các tính chất sau

1 Tập các số nguyên p-adic Z p là vành con của trường Q p

4 C p đóng đại số, đầy đủ và Compact địa phương

và dãy khá đơn giản hơn, mệnh đề sau sẽ cho ta thấy điều đó

1.3.2 Mệnh đề:

Trong trường p-adic C p ta có

1 Dãy   a n hội tụ khi và chỉ khi     0, N :   n N  a n  1  a n p  

Chọn  sao cho M <  0 , trong đó M Max a   i p ,   i  0,1,  

 số mũ của p trong j ! bằng số mũ của p trong (p.1) (p.2) !

j p

a j

s s s

s s

s s

1.3.5 Chuỗi hàm lũy thừa:

Cho a 0 ,a 1 ,… là một dãy trong C p Khi đó chuỗi 

Bán kính hội tụ  của chuỗi hàm lũy thừa n

Trong trường số p-adic C p , ta có các kết quả sau

1  C p  ,  là không gian Banach

2 c o là không gian con mở của C p 

3 c oo trù mật trong c o

2.1 Tính chất Tôpô trên trường phi-Archimedean:

1 Mọi hình cầu trên trường K đều vừa mở vừa đóng

2 Mọi hình cầu trên trường K đều có vô số tâm

3 Hai hình cầu bất kỳ trong K hoặc rời nhau hoặc lồng nhau

Chứng minh:

1 Lấy a K  và r  0

Chứng minh hình cầu mở B a r   ,  là tập đóng:

Trên K ta định nghĩa một quan hệ như sau:  x y K x y ,  ,    x y r

Ta có là một quan hệ tương đương Thật vậy Hiển nhiên x x và ( x y  y x );  x y K , 

 x y z K , ,  , giả sử x y và y z

Ta có x z       x y y z Max x y y z   ,    r

   

 B b r ,  B a r ,

Vậy B a r     ,  B b r ,

Việc chứng minh cho hình cầu mở hoàn toàn tương tự

3 Không mất tính tổng quát ta hoàn toàn có thể giả sử B a r   , và B b s   , là hai hình cầu đóng với a b K ,  và r s   0 Nếu B a r   , và B b s   , không rời nhau, nghĩa

là B a r     ,  B b s ,   , ta sẽ chứng minh B a r   , và B b s   , lồng nhau Ta có

Trong trường K ta có các kết quả sau

1 Mặt cầu đơn vị B   0,1 \ B    0,1   x K x  :  1  là nhóm con nhân của nhóm nhân K\{0}

2 B    1,1   x K x  :   1 1  là nhóm con của mặt cầu đơn vị

3 Với 0 < r < 1 cho trước, mọi hình cầu B r   1,   x K x  :   1 r  và

Vậy mặt cầu đơn vị là nhóm con nhân của K\{0}

2 Trước tiên ta chứng minh B   1,1   B   0,1 \ B   0,1 

  

  x B 1,1 ta có x     x 1 1 Max x   1 ,1 1   ( vì x   1 1 ) Lại có 1 1 1      x x Max  1  x x ,   x ( vì 0  B (1,1 )   B x ( ,1 )   x    1 1 x )

1

 x   x B    0,1 \ B   0,1 

Rõ ràng  B a X a ;   là một phủ của X Ta sẽ chứng minh phủ này gồm các hình cầu rời nhau Thật vậy

 a b X ,  , ta cần chứng minh hai hình cầu B B a , b hoặc rời nhau hoặc bằng nhau Nếu B a  B b   , theo định lý 2.1.2 thì B B a , b phải lồng nhau Giả sử B a  B b (*) Mặt khác theo cách đặt B a , rõ ràng B a là hình cầu lớn nhất (chứa trong X) trong số những hình cầu có cùng tâm a, bán kính r   r r 1 2 , , , , r n  Theo định lý 2.1.2 ta có thể khẳng định B b là một trong những hình cầu tâm a, bán kính r   r r 1 2 , , , , r n 

Cho X K  , B là tập vừa đĩng vừa mở trong K, đặt V B X   Ta cĩ Anh xạ  V : X  K thỏa        

Ta cĩ V B X    V cũng là tập vừa đĩng vừa mở Giả sử x X 

Nếu x V  (V-mở), hiển nhiên x V   B  B là một lân cận của x và thỏa

Cho X K  , ta cĩ các kết quả sau

1 Mọi hàm hằng địa phương đều liên tục

2 Đặt LC X   K    hàm hằng địa phương : f X  K  , khi đĩ LC X   K  là khơng gian vectơ con của khơng gian vectơ các hàm liên tục C X   K  trên trường K

Chứng minh:

1 Giả sử f X :  K là hàm hằng địa phương Ta cần chứng minh f liên tục

Thật vậy,   x 0 X , theo giả thiết f là hàm hằng địa phương  U là lân cận của x 0

Đặc biệt, không gian các hàm hằng địa phương bị chặn cũng trù mật trong không gian các hàm liên tục bị chặn BC X   K 

Cuối cùng ta chứng minh tập các hàm hằng địa phương bị chặn trù mật trong không gian các hàm liên tục bị chặn BC X   K 

Giả sử f BC X    K  , do f bị chặn    M 0 : f x    M x X ;  

            

 g x  Max f x , f x  g x  Max M , ;   x X

 g bị chặn Mặt khác f liên tục nên theo kết quả chứng minh trên ta có Với  0 cho trước,   g LC X   K      : f x  g x     ; x X

Vậy tập các hàm hằng địa phương bị chặn trù mật trong không gian các hàm liên tục bị chặn

Không mất tính tổng quát ta chọn 0  X , tịnh tiến x 0 = 0 và x 1 , x 2 ,…, x m  X thành

c 1 , c 2 ,…, c m sao cho X B        0,   B c 1 ,   B c 2 ,    B c  m ,   , trong đó

      0, ,  1 , ,  2 , , ,   m ,  

B B c B c B c là các hình cầu rời nhau và c 1  c 2   c m

Trước tiên ta chứng minh định lý đúng với      

j j

x

c , trong đó n j  N, j  {1,2,…,m} là các số nguyên được định nghĩa quy nạp theo m

Ta chứng minh P(x) là đa thức cần tìm, nghĩa là

1

s s

n s

c

Lấy                      

  1  1  0,

s s

c

Vậy phát biểu trên đúng với m = 1 Giả sử phát biểu trên đúng với (m – 1), nghĩa là tồn tại n j  N, j  {1,2,…,m-1} sao cho

Bây giờ ta chứng minh phát biểu trên đúng với m

Nghĩa là chứng minh tồn tại n m  N sao cho  

sn sn i

s s s

Ta tiếp tục chứng minh định lý với f C( X K )

Từ giả thiết X K  , f C( X K ) và  > 0, theo định lý 2.2.4 ta tìm được một hàm hằng địa phương g X :  K sao cho f x      g x     ; x X

Ta có     x X r , x 0 sao cho g là hàm hằng trên B x r   , x

j j j

g x h x , trong đó i là hằng số Gọi M Max    i , i   1,2, , m  

Theo chứng minh trên ta có, với mỗi h i i ;   1,2, , m  ta đều tìm được một đa thức P i

2.3.1 Chuẩn trên không gian vectơ:

Cho E là không gian vectơ trên trường ( , ) K Ta nói chuẩn trên E là ánh

xạ : E  R  thỏa các điều kiện sau i)   x E x ,  0 và x    0 x 0

Vậy  là chuẩn phi-Archimedean trên C( Z p  C p )

2.3.4.2 Định lý :

Cho  E ,   , , F  là các không gian định chuẩn trên trường K

Anh xạ K-tuyến tính A E :  F liên tục nếu và chỉ nếu tồn tại M  0 sao cho

2.3.5 Phép đẳng cự:

Cho  E ,   , , F  là các không gian vectơ định chuẩn trên trường K Ta nói ánh

xạ tuyến tính f E :  F là phép đẳng cự nếu f bảo toàn chuẩn

Nói cách khác f là phép đẳng cự khi và chỉ khi f x    x ;   x E

2.4 Cơ sở trực giao – cơ sở trực chuẩn:

Cho ( , ) E là một không gian Banach trên trường K, trong đó là chuẩn Archimedean

phi-2.4.1 Định nghĩa:

Với mọi phần tử x, y thuộc E, ta nói x trực giao y nếu x  inf  x   y ,   K  ,

ký hiệu x  y

Chứng minh:

1

(  ) Hiển nhiên x   y x  inf  x   y ,   K    x  y ;    K

(  ) Để chứng minh x  y ta sẽ chứng minh x  inf  x   y ,   K 

2  x x 1 , , , , 2 x n   E là một tập hợp trực giao nếu với mỗi số tự nhiên n thì

Ví dụ sau đây sẽ cho thấy rõ hơn nhận xét trên

n n

Ta sẽ chứng minh e 1  e e 2 ; 1  e e 3 ; 2  e 3 nhưng  e e e 1 , , 2 3  không phải là tập hợp trực giao trong E 2

Hoàn toàn tương tự e 2  e 3

Tuy nhiên  e e e 1 , , 2 3  không phải là tập hợp trực giao vì e 3      1,1  0,0 nên e 3

không thể trực giao với e 3   e 1 e 2

ª

2.4.5 Định lý :

Cho x 1 , x 2 ,  E , ta có các kết quả sau

1  x x 1 , , , , 2 x n  là tập hợp trực giao khi và chỉ khi  x 1 , x 2 , , x n  là tập trực giao   n N

2  x 1 , x 2 , , x n  là tập trực giao khi và chỉ khi

3  x 1 , x 2 , , x n  là tập trực giao khi và chỉ khi

Theo giả thiết ta có  x x x j , j 1 , j 2 , , x jk  là tập trực giao  x j  v

Vậy x j  x x 1 , , , 2 x j  1 , x j  1 ;  j hay  x x 1 , , , , 2 x n  là tập hợp trực giao

j j j j j

Nếu  e e 1 , , , , 2 e n  là tập trực chuẩn và e e 1 , , , , 2 e n trù mật trong E thì

 e e 1 , , , , 2 e n  là cơ sở trực chuẩn của E

Vậy A là ánh xạ K-tuyến tính liên tục

Bây giờ ta sẽ chứng minh A là tồn ánh Theo định lý 1.4.2 ta cĩ c oo      1 , , , , c : 1  n   0  n   0, n đủ lớn  trù mật trong c o Anh xạ A thu hẹp trên c oo là một phép phép đẳng cự vì

    y E e ,e , ,e , , dãy y 1 2 n    n  e ,e , ,e , 1 2 n sao cho

 n  n lim y y

n n n n

  

 

  cĩ những tính chất sau

0 ) (

n f

n j j

x n

a a

j  0  1   thì ( , ) m n ; , ,

j a S

n j

 f x   có nhiều hơn n nghiệm

mà f x   là hàm đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng n

 0 0

0

0

n j

 f y   có nhiều hơn n nghiệm

mà f y   là hàm đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng n



0

0

n j

n ;   x Z p

p

x n

n

Theo chứng minh trên ta có

ord m ord m n ord n

m S p

j m

p n

i i

x x

i i

x x

Đặt  i  i  i  1   i i ;  1, 2, , n  và  0  0



0

n n

i i

x x

i i

n

1 1

m k m

a    

 

x m

k k k k

k k j

j j

k k j j

C L Id f x k

L f x j

n

j

ª 2.6.3 Định lý:

Nếu f  C( Z p  C p ) có biểu diễn Mahler là

Nếu f  C( Z p  C p ) có biểu diễn Mahler là

1 0

Chương 3:

HỆ SỐ MAHLER CỦA MỘT SỐ HÀM CƠ BẢN

Chương này chúng tôi sẽ trình bày cách biểu diễn hệ số Mahler của một số hàm liên tục cơ bản như hàm số mũ, hàm exp, hàm sin, hàm cos, hàm p-adic Gamma, tổng vô hạn của hàm liên tục và hàm lũy thừa Đồng thời ở cuối chương, chúng tôi mở rộng cơ sở và hệ số Mahler trên không gian các hàm liên tục hai biến

!

n n

n S ord n

n p







Từ nhận xét trên ta có định nghĩa sau

3.1.1.4 Định nghĩa:

Cho trước t E  exp :

exp liên tục exp   lim exp  

x t

n x

Tương tự, trong giải tích phức các hàm sin và cos có các khai triển Taylor là

x

n là

1 1

Trước tiên ta nhận thấy nếu 2

n n

n

x n

2n 1

n 2n 1 2n 1

2n 1

n 1 2n 1 2n 1

Tương tự ta có

n n

n n n n

Dãy   a n  C p là dãy nội suy p-adic khi và chỉ khi      0, J N :  m m N , 

a a với   Max   , p  1 

Bây giờ ta chứng minh nếu a  1 p  1 thì p n  1   n  1

p

a với   Max a   1 , p p  1 

bằng phương pháp quy nạp thep n

Với n =1 Theo kết quả trên ta có p  1    1

p p