Các phương trình hàm dạng abel trong lớp hàm liên tục

KIM TH± HƯèNGCÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM DANG ABEL TRONG LéP HÀM LIÊN TUC LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC HÀ N®I - NĂM 2016 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN... KIM TH± HƯèNGCÁ

KIM TH± HƯèNG

CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM DANG ABEL TRONG LéP HÀM

LIÊN TUC

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

HÀ N®I - NĂM 2016 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

KIM TH± HƯèNG

CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM DANG ABEL TRONG LéP HÀM

LIÊN TUC

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP

Mã so: 60.46.01.13

Ngưài hưáng dan khoa HQC

GS TSKH NGUYEN VĂN M¾U

HÀ N®I - NĂM 2016

Mnc lnc

1.1 Hàm chan, le 5

1.2 1.3 Hàm tuan hoàn, phan tuan hoàn 6

1.2.1 Hàm tuan hoàn c®ng tính, phan tuan hoàn c®ng tính 6 1.2.2 Hàm tuan hoàn nhân tính, phan tuan hoàn nhân tính7 Hàm mũ 9 1.4 Phép l¾p 15

1.5 Đ¾c trưng cna m®t so hàm sơ cap 15

1.6 T¾p trù m¾t 18

1.7 Hàm chuyen đői các phép tính so hQc 18

2 Các 2.1 phương trình hàm dang Abel Phương trình hàm dang mũ 21

2.1.1 Nghi¾m thnc cna phương trình hàm dang mũ 21

2.1.2 Nghi¾m phúc cna phương trình hàm dang mũ 21

20 2.2 Phương trình hàm vói hàm arctan 23

2.3 Phương trình hàm sinh boi hàm lưong giác 24

2.4 M®t so dang phương trình hàm khác 26

2.4.1 Phương trình l¾p 26

2.4.2 Phương trình dang Pexider vói các phép tính so HQc 26 2.4.3 Ve nghi¾m cna m®t so h¾ phương trình 33

3 M®t so láp phương trình đa an hàm 35 3.1 Phương trình hàm Pexider và các dang toán liên quan 35

3

3.2 Phương trình D’Alembert trong lóp hàm so liên tuc 39

4 M®t so dang toán ve phương trình hàm tÈ các đe thi Olympic 48 4.1 Phương trình hàm vói c¾p bien tn do 48

4.1.1 Các đe thi HQc sinh gioi Vi¾t Nam 48

4.1.2 Các bài thi Olympic các nưóc và khu vnc 53

4.1.3 Đe thi toán Olympic quoc te (IMO) 72

4.2 Phương trình hàm m®t bien 73

4.2.1 Các đe thi HQc sinh gioi Vi¾t Nam 73

4.2.2 Các đe thi Olympic các nưóc và khu vnc 74

4.3 Phương trình hàm trên t¾p ròi rac 75

Ket lu¾n 80 Tài li¾u tham khao 81

4

Ma đau

Hi¾n nay, o m®t so trưòng phő thông, phương trình hàm van chưa đưoc

đe c¾p nhieu Phan lón các HQc sinh tiep c¾n vói phương trình hàm là các HQc sinh lóp chuyên toán, đoi vói HQc sinh đai trà phương trình hàm là m®t dang toán xa la Các HQc sinh tìm hieu ve phương trình hàm đeu cam thay khó boi vì khi HQc giai phương trình hàm không nhung đòi hoi ngưòi HQc phai v¾n dung nhieu kien thúc mà còn phai có kha năng tư duy tot, kha năng khái quát, nh¾n dang tìm ra cách giai hop lí.

Trong các kỳ thi HQc sinh gioi quoc gia, olympic toán khu vnc và quoc

te, thưòng xuat hi¾n các dang toán liên quan đen phương trình hàm.

Xuat phát tù thnc te đó, tôi cHQN đe tài: "Các phương trình hàm dang Abel trong lóp hàm liên tuc" làm đe tài lu¾n văn thac sĩ Vói muc tiêu chính cna lu¾n văn là cung cap thêm cho các em HQc sinh - sinh viên đ¾c bi¾t là các em HQc sinh- sinh viên khá, gioi, có năng khieu và yêu thích môn toán tài li¾u tham khao Ngoài nhung kien thúc lý thuyet cơ ban lu¾n văn còn nghiên cúu thêm m®t so phương trình hàm dang Abel trong lóp hàm liên tuc; phương trình hàm Pexider và các dang toán liên quan; phương tình D’Alembert trong lóp hàm liên tuc; m®t so dang toán ve phương trình hàm tù các đe thi Olympic.

Đe hoàn thành lu¾n văn này, tác gia đã thu th¾p, phân tích, nghiên cúu các tài li¾u ve phương trình hàm đ¾c bi¾t là các phương trình hàm dang Abel trong lóp hàm liên tuc thông qua các tài li¾u tham khao như sách, Internet, trao đői, thao lu¾n, tham khao ý kien cna thay hưóng dan, cna các chuyên gia và đong nghi¾p roi tőng hop, h¾ thong lai.

Cau trúc cna lu¾n văn gom ba phan: phan mo đau, phan n®i dung và phan ket lu¾n.

N®i dung lu¾n văn gom bon chương:

- Chương 1 M®t so kien thúc cơ ban.

Trong chương này trình bày các đ%nh nghĩa ve hàm chan, hàm le, hàm tuan hoàn, hàm phan tuan hoàn; các đ%nh nghĩa và các đ%nh lý, tính chat

đen hàm mũ; đ%nh nghĩa ve phép l¾p; đ¾t trưng cna m®t so hàm sơ cap; hàm chuyen đői các phép tính so HQc.

Chương 2 M®t so dang phương trình hàm Abel.

Trong chương này trình bày m®t so phương trình hàm dang Abel trong lóp hàm liên tuc: Phương trình mũ; phương trình l¾p; Phương trình hàm sinh boi hàm arctan; phương trình hàm sinh boi hàm lưong giác; các phương trình hàm dang khác.

Chương 3 Các lóp phương trình hàm liên quan.

Trong chương này trình bày m®t so lóp phương trình hàm liên quan như: Phương trình hàm Pexider và các dang toán liên quan; phương trình D’Alembert trong lóp hàm liên tuc.

Chương 4 M®t so dang toán ve phương trình hàm tù các đe thi Olympic.

N®i dung chn yeu cna chương trình bày m®t so dang toán tù các

đe thi hQc sinh gioi Vi¾t Nam, Olympic các nưóc và khu vnc, Olympic quoc

te (IMO).

Trong thơì gian thnc hi¾n lu¾n văn, tác gia đã nh¾n đưoc sn hưóng dan chi bao t¾n tình cna GS.TSKH Nguyen Văn M¾u Qua đây, tác gia xin đưoc bày to lòng biet ơn sâu sac và trân TRQNG nhung công lao, sn quan tâm, đ®ng viên và sn t¾n tình chi bao cna thay Nguyen Văn M¾u.

Tác gia chân thành cam ơn các thay giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin

HQc đã day bao t¾n tình, chân thành cam ơn các thay cô trong Ban giám hi¾u, phòng Đào tao, văn phòng khoa Toán - Cơ - Tin trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc quoc gia Hà N®i đã tao đieu ki¾n thu¾n loi trong suot thòi gian tác gia HQc t¾p và thnc hi¾n lu¾n văn.

Tác gia xin chân thành cam ơn Ban Giám hi¾u và t¾p the giáo viên trưòng Cao Đang Nông nghi¾p và PTNT Bac b® đã tao đieu ki¾n cho tác gia có cơ h®i HQc t¾p và nghiên cúu.

M¾c dù tác gia đã rat co gang HQc t¾p, nghiên cúu, thao lu¾n đe thnc hi¾n lu¾n văn này Tuy nhiên, đieu ki¾n ve thòi gian và khuôn khő cna lu¾n văn nên tác gia chưa đi sâu nghiên cúu đưoc tat ca các phương trình Abel và không tránh khoi nhung thieu xót Tác gia lu¾n văn mong muon nh¾n đưoc sn góp ý kien cna quý thay cô các đong nghi¾p đe lu¾n văn đưoc hoàn thi¾n hơn.

Hà N®i, tháng 12 năm 2016

Ngưòi thnc hi¾n Kim Th% Hưòng

Chương 1

M®t so kien thÉc cơ ban

Trong chương này, trình bày m®t so lý thuyet cơ ban thưòng đưoc su dungkhi nghiên cúu ve phương trình hàm Các kien thúc trong chương này đưoc thamkhao trong tài li¾u [1, 3]

Đ%nh nghĩa 1.2 Hàm f (x) đưoc GQI là hàm so le tai x = 0 trên M , M ⊂ D(f )

(GQI tat là hàm le trên M ) neu

trong đó g(x) là hàm le tùy ý trên R.

1.2.1 Hàm tuan hoàn c®ng tính, phan tuan hoàn c®ng tính

Đ%nh nghĩa 1.3 Hàm f (x) đưoc GQI là hàm tuan hoàn (c®ng tính) chu kỳ a(a >

Lài giai Theo gia thiet ∃m, n ∈ N+, (m, n) = 1 sao cho a = m

V¾y f (x) là hàm tuan hoàn vói chu kỳ 2b trên M.

1.2.2 Hàm tuan hoàn nhân tính, phan tuan hoàn nhân tính

Đ%nh nghĩa 1.5 Hàm f (x) đưoc GQI là hàm tuan hoàn nhân tính chu kỳ α (α >

Bài toán 1.5 Cho f (x), g(x) là hai hàm tuan hoàn nhân tính trên M có các chu

kỳ lan lưot là a và b và ln |a|

Bài toán 1.6 Chúng minh rang f (x) là hàm phan tuan hoàn nhân tính chu kỳ là

b (b > 1) trên M khi và chi khi f (x) có dang:

1

(1.9)

2

trong đó g(x) là hàm tuan hoàn nhân tính vói chu kỳ b2 trên M.

Lài giai Th¾t v¾y, neu f (x) có dang (1.9) thì

Ngưoc lai, gia su f (x) là hàm tuan hoàn nhân tính chu kỳ b trên M Khi đó

g(x) = −f (x) là hàm tuan hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M và

Cho y = 0, ta có E(x) = E(x)E(0), ∀x ∈ R.

Theo gia thiet E(0) = 0 suy ra E(x) = 0, ∀x ∈ R.

Suy ra E(x) = 0, ∀x ∈ R.

Tính chat 1.2 Neu E : R → R là hàm mũ và E ƒ≡ 0 thì E(0) = 1.

ChÚng minh Vì E : R → C là hàm mũ và E(x) không đong nhat bang 0 nên tù

Tính chat 1.3 Neu E : R → C là hàm mũ và ton tai x0 ∈ R sao cho E(x0) = 0

= E −1 (x)E −1 (y) = E ∗ (x)E ∗ (y).

Suy ra E ∗ (x + y) = E ∗ (x)E ∗ (y), x, y ∈ R.

1

−

Tính chat 1.6 MQI hàm f : R → C thoa mãn

f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), ∀x, y ∈ R (DE)

đeu là hàm chan trên R.

ChÚng minh De kiem tra thay f ≡ 0 thoa mãn (DE) và hàm f ≡ 0 là hàm chan trên t¾p R

Neu f ƒ≡ 0 , thay y bang −y vào phương trình (DE) ta có

Trong đó E : R → C∗ là hàm mũ đ%nh nghĩa o trên

ChÚng minh De thay f ≡ 0 thoa mãn (DE)

Cho u = v suy ra 2f (u) = 2f .u + v

Σf (0) = 0, ∀u ∈ R (trái gia thiet

Ta xét hai trưòng hop f (x) ∈ {−1; 1}, ∀x ∈ R và

f (x) ƒ∈ {−1; 1} vói m®t vài giá tr% x ∈ R

Trưòng hop 1 Xét f (x) ∈ {−1; 1}, ∀x ∈ R Ket hop vói (1.10), ta có

Trưòng hop 2 Xét f (x) ƒ∈ {−1; 1}, vói m®t vài giá tr% x ∈ R.

Do đó ton tai x0 ∈ R sao cho f (x0)2 − 1 ƒ= 0.

) + (β − α)f (x2

β2 0

) − f (x)f (x0

)]2

= 1 [f (x)21][f (x β2

=f (x0 + x + y) + f (x0 + x − y) + f (x0 + y + x) + f (x0 +

y − x) (theo (DE))

=2f (x0 + x + y) + f (x0 + x − y) + f (x0 + y − x)

E(x)[E(y) + E ∗ (y)] + E ∗ (x)[E ∗ (y) + E(y)]

f (x) = ax + b(a ƒ= 0, b ƒ= 0) có tính chat

f .x + y

Σ = 1 [f (x) + f (y)] , ∀x, y ∈ R

f (x + y) = f (x)g(y) + f (y)g(x), ∀x, y ∈ R, g(x + y) = g(x)g(y) − f (x)f (y), ∀x, y ∈ R.

−

R

1.6 T¾p trù m¾t

Đ%nh nghĩa 1.9 T¾p A ⊂ R đưoc GQI là trù m¾t trong B ⊆ R ký hi¾u [A]

= B

neu vói MQIx, y ∈ B; x < y luôn ton tai α ∈ A, sao cho x < α < y

Đ%nh nghĩa 1.10 T¾p A ⊂ R đưoc GQI là trù m¾t trong R ký hi¾u [A] = Rneu vói MQI x ∈ R ton tai dãy so (a n ) ⊂ A, sao cho a n → x khi n → ∞

Đ%nh nghĩa 1.11 Cho A ⊂ B ⊂ R neu vói MQI x ∈ B, vói MQIε > 0 ton tai y

∈ A, sao cho |x − y| < ε thì A đưoc GQi là t¾p trù m¾t trong B, ký hi¾u là [A]

= B.

Nh¾n xét 1.1 Đ%nh nghĩa 1.9 và đ%nh nghĩa 1.10 tương đương vói nhau.

Đ%nh nghĩa 1.12 Neu hai hàm so f (x), g(x) là hai hàm liên tuc trên R vàthoa mãn đieu ki¾n f (x) = g(x) vói MQI x ∈ A trong đó [A] = R thì f (x) = g(x) vói MQIx ∈ R.

Ta thưàng su dnng m®t so t¾p trù m¾t trong R sau

1.Vói Q := t¾p các so huu ty, ta có [Q] = R

2.Vói s = t¾p các so vô ty, ta có [s] = R.

3.Vói [A] = R t¾p {α + r | α ∈ A, r = const, r ∈ R} trù m¾t trong R

4.Vói [A] = R t¾p {αr | α ∈ A, r = const, r ƒ= 0, r ∈ R} trù m¾t trong R

Lài giai Gia su ton tai hàm so f (x) thoa mãn yêu cau bài ra

Thay x = y = 0 vào (1.11), ta đưoc f (0) = f (0) + f (0) ⇔ f (0) =

Thay y = x vào (1.11), ta đưoc f (2x) = 2f (x) Gia su f (kx) = kf

∀x ∈ R, ton tai dãy so (r n ) ⊂ Q, sao cho r n → x khi n → +∞ Khi đó, vì f (x)

liên tuc trên R nên ta có

Tài li¾u tham khao

[A] Tieng Vi¾t

[1] Nguyen Văn M¾u (1997), Phương trình hàm, NXB

Giáo duc

[2] Nguyen Văn M¾u (2006), Các bài toán n®i suy và

áp dnng, NXB Giáo duc [3]Nguyen Văn M¾u (2014), Phương trình hàm cơ ban vái đoi so bien đői, NXB

ĐHQGHN

[4]Nguyen Văn M¾u, Lê NGQc Lăng, Pham The Long, Nguyen Minh Tuan (2006),

Các đe thi Olympic Toán sinh viên toàn quoc , NXB Giáo duc.

[B] Tieng Anh

[5]N.H Abel, Methode générale pour trouver des fonctions d’une seule quantite variable lorsque une properieté des fonctions est exprimee pur une equation entre deux variables (Norwegian), Mag Naturwidenskab, 1, 1–10 (1823) (Oeu-vres complètes, tome 1, Grundahl & Son, Christiania, 1–10 (1881).)

[6]N.H Abel, Détermination d’une fonction au moyen d’une équation qui ne con- tient qu’une seule variable, Manuscript, Christiania, c 1824 (Oeuvres com- plètes, tome II Grundahl & Son, Christiania, 36–39 (1881).)

[7]N.H Abel, Untersuchung der Functionen zweier unabh a¨ngigen

vera¨nderlichen

Gro¨ssen x und y, wie f (x, y), welche die Eigenschaft haben, daβ f

[z, f (x, y)] eine symmetrische Function von x, y und z ist, J ReineAngew Math., 1, 11–15 (1826) (Oeuvres complètes, tome I Grundahl &Son, Christiania, 61–65 (1881).)

m(m−1)(m−2) x3 + , J Reine Angew Math., 1, 311–339 (1826) (Oeuvres plètes, tome I Grundahl & Son, Christiania, 219–250 (1881).)

com-25

1.2.

3

[9]N.H Abel, Note sur la fonction ψ(x) = x +

Manuscript,Freiberg (1826) (Oeuvres complètes, tome II Grundahl & Son, Christiania, 189–193 (1881).)

[10]N.H Abel, U¨ ber die Functionen, die der Gleichung ϕ(x) + ϕ(y) = ψ(xfy +

yfx)

2

n2

genug thun, J Reine Angew Math., 2, 386–394 (1827) (Oeuvres complètes, tome I Grundahl & Son, Christiania, 389–398 (1881).)

[11]N.H Abel, Manuscript, Christiania, c 1828 (Oeuvres complètes, tome II Grundahl & Son, Christiania, pp 287, 318–319 (1881).)

[12]M Bonk, On the second part of Hilbert’s fifth problem, Math Z., 210, 475–493(1992)

[13]E Hille and R.S Phillips, Functional analysis and semigroups, Am.Math Soc.Colloq., 31 (1957) MR:19 664 (1958)

[14]Pl.Kannappan, 2000, Functional Equations and Inequalities with Applications,

Springer Monogaphs in Mathematics, 2000

[15]M Kuczma, A survey of the theory of functional equations, Univ Beograd,

Publ Elektrotehn Fak Ser Mat Fiz., 130, 1–64 (1964) MR:30 5073 (1965)

[16]M Kuczma, B Choczewski, R Ger, 1990, Interative hàm al

Equa-tions, Cambridge University Press, Cambridge/New York/PortChester/Melbourne/Sydney

[17]S Paganoni Marzegalli, One-parameter system of functional equations, Aeq.Math., 47, 50–59 (1994)

[18]M Sablik, The continuous solutions of a functional equation of Abel, Aeq.Math., 39, 19–39 (1990) MR91a:39006

[19]Teodora-Liliana T.R., Vicentiu D.R., Titu Andreescu (2009), Problems in real

analysis: Advanced calculus on real axis, Springer.