(Luận văn thạc sĩ) cơ sở mahler trong không gian các hàm liên tục

Mục đích nghiên cứu: Mục tiêu chính của luận văn là giới thiệu kết quả trên của Mahler, đồng thời chúng tôi tìm tòi ứng dụng hệ số Mahler trong một số trường hợp cụ thể, ngoài ra chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

h

để luận văn được hoàn thành

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với các Thầy Cô ở Khoa Toán - Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và các Thầy Cô đã tham gia giảng dạy, quản lý lớp học, đã truyền đạt cho tôi nhiều kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học

Ngoài ra tôi cũng chân thành cảm ơn các Anh Chị trong Khoa Sư phạm Khoa học Tự Nhiên Trường Đại Học Sài Gòn đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Cảm ơn các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2008

Nguyễn Thị Vân Khánh

h

cứu kết quả trên tôi cảm thấy rất hấp dẫn Thực hiện đề tài này giúp tôi tập làm quen với các phương pháp nghiên cứu Toán học và trên hết là có thể phát triển tư duy của bản thân

2 Mục đích nghiên cứu:

Mục tiêu chính của luận văn là giới thiệu kết quả trên của Mahler, đồng thời chúng tôi tìm tòi ứng dụng hệ số Mahler trong một số trường hợp cụ thể, ngoài ra chúng tôi mỡ rộng kết quả của Mahler cho không gian các hàm liên tục hai biến C(ZpxZp Cp)

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu chính của luận văn là các hàm cơ bản trên không gian C(

Zp Cp ) Tuy nhiên chúng tôi không tập trung vào việc xây dựng các hàm liên tục

cơ bản trên Cp, phạm vi nghiên cứu chính của chúng tôi là tìm tòi cách biểu diễn các hàm đó qua cơ sở Mahler

4 Cấu trúc luận văn:

Luận văn bao gồm 3 chương

Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản để có thể nghiên cứu được những chương sau

Chương 2: CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC

C(ZPCP)

h

Trong chương này, chúng tôi chứng minh định lý Kaplansky, là một định lý khá quan trọng để có thể xây dựng cơ sở Mahler Đặc biệt chúng tôi nghiên cứu về cơ

sở trực giao, trực chuẩn và các tính chất của nó, để từ đó có thể hiểu rõ hơn việc xây dựng cơ sở trực chuẩn Mahler trong không gian các hàm liên tục C(Zp Cp), cũng như nghiên cứu các tính chất và kết quả liên quan đến cơ sở Mahler, hệ số Mahler

Chương 3: HỆ SỐ MAHLER CỦA MỘT SỐ HÀM CƠ BẢN

Chương 3 chúng tôi trình bày cách biểu diễn hệ số Mahler qua một vài hàm cơ bản như hàm số mũ, hàm exp, hàm sin, hàm cos, hàm p-adic Gamma, tổng vô hạn của hàm liên tục, hàm lũy thừa Ngoài ra ở cuối chương chúng tôi có mở rộng cơ sở

và công thức tính hệ số Mahler trong không gian các hàm liên tục hai biến C(ZpxZp Cp)

Người thực hiện

Nguyễn Thị Vân Khánh

h

Chương 1:

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản để người đọc có thể dễ dàng nắm bắt được các chương sau, tuy nhiên chúng tôi chỉ chứng minh một số kết quả được sử thường xuyên trong những chương sau, các kết quả chưa được chứng minh độc giả có thể dễ dàng tìm thấy trong mục 2 và 5 của phần tài liệu tham khảo

1.1 Chuẩn trên trường:

Cho là chuẩn trên trường K, nếu thoả điều kiện mạnh hơn iii) là

iii)’x y K x y Max x y,  ,    ,  thì ta nói là chuẩn phi-Archimedean

neáu x 0p

( p là số nguyên tố ) h

Mọi chuẩn không tầm thường trên Q đều tương đương với chuẩn p (p là một

số nguyên tố nào đó) hoặc tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường trên Q

1.1.5 Nguyên lý tam giác cân:

Cho là một chuẩn phi-Archimedean trên trường K

h

Gọi S là tập hợp các dãy Cauchy hữu tỉ theo p, trên S ta định nghĩa một quan

hệ tương đương như sau:   x n y n n x n y n

Nếu  0 thì x n p 0, ngược lại 0 thì  M N: p  x n p; n M

Trường số hữu tỉ Q được xem là trường con của QP nhờ ánh xạ nhúng a a

Tập hợp Z P x Q x P: p 1là vành con của QP và được gọi là vành các số nguyên p-adic

Với mỗix Q p, giả sử  m; 

p

x p m Z, ta hoàn toàn có thể chứng minh x được

biểu diễn duy nhất dưới dạng   

Ta đã biết trường số thực R không đóng đại số, bao đóng đại số của R là trường

số phức C Làm đầy đủ Q theo p ta được trường QP Giống như R, QP đầy đủ nhưng không đóng đại số Ký hiệuQ P là bao đóng đại số của QP, chuẩn p trên QP

có thể mỡ rộng thành chuẩn trênQ P như sau

Với Q P thì  là phần tử đại số trên QP Gọi Irr(,QP, x) là đa thức nhận 

Trường số phức C p có vai trò tương tự như trường số phức C trong giải tích phức thông thường

1.2.3 Tính chất của vành các số nguyên p-adic Z P :

Vành các số nguyên p-adic có các tính chất sau

1 Tập các số nguyên p-adic Zp là vành con của trường Qp

4 Cp đóng đại số, đầy đủ và Compact địa phương

1.3 Dãy và chuỗi trong C P :

và dãy khá đơn giản hơn, mệnh đề sau sẽ cho ta thấy điều đó

1.3.2 Mệnh đề:

Trong trường p-adic Cp ta có

1 Dãy a n hội tụ khi và chỉ khi    0, N: n N a n1a n p 

Chọn  sao cho M < 0 , trong đó M Max a  i p,  i 0,1,  

j S ord j

 số mũ của p trong j! bằng số mũ của p trong (p.1) (p.2) !

j p

a j

s s s

s s

1.3.5 Chuỗi hàm lũy thừa:

Cho a0,a1,… là một dãy trong Cp Khi đó chuỗi 



 n n

Bán kính hội tụ  của chuỗi hàm lũy thừa n

Trong trường số p-adic Cp, ta có các kết quả sau

1 Cp,  là không gian Banach

2 c o là không gian con mở của C p

3 c oo trù mật trong c o

h

2.1 Tính chất Tôpô trên trường phi-Archimedean:

1 Mọi hình cầu trên trường K đều vừa mở vừa đóng

2 Mọi hình cầu trên trường K đều có vô số tâm

3 Hai hình cầu bất kỳ trong K hoặc rời nhau hoặc lồng nhau

Chứng minh:

1 Lấy a K và r0

Trên K ta định nghĩa một quan hệ như sau: x y K x y,  ,   x y r

Ta có là một quan hệ tương đương Thật vậy

Hiển nhiên x x và (x yy x);x y K, 

x y z K, ,  , giả sửx y và y z

Ta có x z     x y y z Max x y y z  ,  r

h

 x z

Vậy là một quan hệ tương đương

Hơn nữa mỗi lớp tương đương xy K x y : B x r( , )  là tập mở

Việc chứng minh cho hình cầu mở hoàn toàn tương tự

3 Không mất tính tổng quát ta hoàn toàn có thể giả sử B a r , vàB b s , là hai hình cầu đóng với a b K,  và r s 0 Nếu B a r , vàB b s , không rời nhau, nghĩa

làB a r   , B b s,  , ta sẽ chứng minh B a r , vàB b s , lồng nhau Ta có

h

Việc chứng minh cho hình cầu mở hoàn toàn tương tự

Vậy hai hình cầu bất kỳ trong K hoặc rời nhau hoặc lồng nhau

ª

2.1.3 Định lý:

Trong trường K ta có các kết quả sau

1 Mặt cầu đơn vịB 0,1 \B  0,1  x K x : 1là nhóm con nhân của nhóm nhân K\{0}

2 B  1,1  x K x :  1 1là nhóm con của mặt cầu đơn vị

3 Với 0 < r < 1 cho trước, mọi hình cầu B r 1, x K x :  1 rvà

Vậy mặt cầu đơn vị là nhóm con nhân của K\{0}

2 Trước tiên ta chứng minhB 1,1 B 0,1 \B 0,1

Vậy hình cầu B r 1, x K x :  1 r là nhĩm con

Chứng minh tương tự cho hình cầu B r 1, 

B a,r nếuB a,r Xvà B a,r X

Rõ ràngB a X a;  là một phủ của X Ta sẽ chứng minh phủ này gồm các hình cầu rời nhau Thật vậy

h

a b X,  , ta cần chứng minh hai hình cầuB B a, b hoặc rời nhau hoặc bằng nhau NếuB aB b  , theo định lý 2.1.2 thì B B a, b phải lồng nhau Giả sửB a B b (*) Mặt khác theo cách đặt B a, rõ ràng B alà hình cầu lớn nhất (chứa trong X) trong số những hình cầu có cùng tâm a, bán kính rr r1 2, , , , r n  Theo định lý 2.1.2 ta có thể khẳng định B b là một trong những hình cầu tâm a, bán kính rr r1 2, , , , r n 

ChoX K Ký hiệu C(XK) chỉ tập các hàm liên tục từ X vào K Trên

C(XK) ta định nghĩa 2 phép toán “cộng” và “nhân” như sau

ChoX K , B là tập vừa đĩng vừa mở trong K, đặt V B X  Ta cĩ

Ta cĩV B X   V cũng là tập vừa đĩng vừa mở Giả sử x X

Nếux V (V-mở), hiển nhiên x V B  B là một lân cận của x và thỏa

ChoX K , ta cĩ các kết quả sau

1 Mọi hàm hằng địa phương đều liên tục

2 ĐặtLC X K  hàm hằng địa phương :f XK, khi đĩ LC X K là khơng gian vectơ con của khơng gian vectơ các hàm liên tục C X Ktrên trường K

Chứng minh:

1 Giả sửf X: Klà hàm hằng địa phương Ta cần chứng minh f liên tục

Thật vậy, x0 X, theo giả thiết f là hàm hằng địa phương Ulà lân cận của x0

Đặc biệt, không gian các hàm hằng địa phương bị chặn cũng trù mật trong không gian các hàm liên tục bị chặn BC X K

Mặt khác f liên tục nên theo kết quả chứng minh trên ta có

Với 0 cho trước,  g LC X K    : f x g x   ; x X

Vậy tập các hàm hằng địa phương bị chặn trù mật trong không gian các hàm liên tục bị chặn

Không mất tính tổng quát ta chọn 0  X , tịnh tiến x0 = 0 và x1, x2,…, xm  X thành

c1, c2,…, cm sao choX B      0, B c1, B c2,   B c m,, trong đó

     0, , 1, , 2, , ,  m,

B B c B c B c là các hình cầu rời nhau và c1  c2   c m

Trước tiên ta chứng minh định lý đúng với      

x

c , trong đó nj  N, j  {1,2,…,m} là các số nguyên được định nghĩa quy nạp theo m

Ta chứng minh P(x) là đa thức cần tìm, nghĩa là

c

h

Vậy phát biểu trên đúng với m = 1

Giả sử phát biểu trên đúng với (m – 1), nghĩa là tồn tại nj  N, j  {1,2,…,m-1} sao cho

Bây giờ ta chứng minh phát biểu trên đúng với m

Nghĩa là chứng minh tồn tại nm  N sao cho  

Ta tiếp tục chứng minh định lý với f C( X K )

Từ giả thiết X K , f C( X K ) và  > 0, theo định lý 2.2.4 ta tìm được một hàm hằng địa phương g X: K sao cho f x   g x   ; x X

Ta có   x X r, x 0sao cho g là hàm hằng trên B x r , x

j j j

g x h x , trong đói là hằng số GọiM Max i ,i1,2, ,m 

Theo chứng minh trên ta có, với mỗi h i i; 1,2, ,mta đều tìm được một đa thức Pi

2.3 Không gian các hàm liên tục C( Zp  Cp ):

2.3.1 Chuẩn trên không gian vectơ:

h

Cho E là không gian vectơ trên trường( , )K Ta nói chuẩn trên E là ánh

xạ : ER thỏa các điều kiện sau

i)  x E x, 0 và x   0 x 0

ii)    x E,  K, x   x

iii)x y E x y,  ,   x  y

Nếu thoả điều kiện mạnh hơn iii) là

iii)’x y E x y,  ,  Max x y , thì ta nói là chuẩn phi-Archimedean

Không gian vectơ E trên trường K được trang bị thêm một chuẩn được gọi là không gian định chuẩn trên K

2.3.2 Mệnh đề (chuẩn trên C( Zp  Cp )):

Trong C( Zp Cp ), ánh xạ   

:C Z p C p R được xác định như sau: f  Max f x ( ) ,p  x Z p  là chuẩn phi-Archimedean trên C( Zp Cp )

f g Max f x g x x Z Max f x g x x Z Max f g

Vậy là chuẩn phi-Archimedean trên C( Zp Cp )

2.3.4.2 Định lý :

ChoE,  , ,F là các không gian định chuẩn trên trường K

Anh xạ K-tuyến tínhA E: Fliên tục nếu và chỉ nếu tồn tại M 0 sao cho

A x M x x E

2.3.5 Phép đẳng cự:

ChoE,  , ,F  là các không gian vectơ định chuẩn trên trường K Ta nói ánh

xạ tuyến tính f E: F là phép đẳng cự nếu f bảo toàn chuẩn

Nói cách khác f là phép đẳng cự khi và chỉ khi f x   x ; x E

2.4 Cơ sở trực giao – cơ sở trực chuẩn:

Cho( , )E là một không gian Banach trên trường K, trong đó là chuẩn Archimedean

phi-2.4.1 Định nghĩa:

Với mọi phần tử x, y thuộc E, ta nói x trực giao y nếu x inf xy ,K,

ký hiệu x  y

h

Chứng minh:

1

(  ) Hiển nhiên x y x infxy ,K x y ;  K

(  ) Để chứng minh xy ta sẽ chứng minh x inf xy ,K

2 x x1 , , , , 2 x n E là một tập hợp trực giao nếu với mỗi số tự nhiên n thì

Nhận xét: nếu x n x m; m n thì không chắc cóx x1 , , , 2 x nlà tập hợp trực giao

Ví dụ sau đây sẽ cho thấy rõ hơn nhận xét trên

Ví dụ:

Trong E2 ta dễ dàng chứng minh được  x y,  Max x y x y E , ; ,  là một chuẩn phi-Archimedean

Hơn nữa ( ,E2 ) cũng là một không gian Banach trên trường K Thật vậy

Giả sử  x y n, n n N E2 là dãy Cauchy

n n

Ta sẽ chứng minh e1e e2; 1e e3; 2 e3 nhưng e e e1 , , 2 3không phải là tập hợp trực giao trong E2

Hoàn toàn tương tự e2 e3

Tuy nhiên e e e1 , , 2 3không phải là tập hợp trực giao vì e3    1,1  0,0 nên e3

không thể trực giao với e3  e1 e2

ª

2.4.5 Định lý :

Cho x1,x2, E, ta có các kết quả sau

1 x x1 , , , , 2 x n là tập hợp trực giao khi và chỉ khi x1,x2, ,x nlà tập trực giao n N

2 x1,x2, ,x n là tập trực giao khi và chỉ khi

3 x1,x2, ,x n là tập trực giao khi và chỉ khi

Theo giả thiết ta cóx x x j, j1, j2, ,x jklà tập trực giao x jv

Vậy x j x x1, , ,2 x j1,x j1 ;j hay x x1 , , , , 2 x n là tập hợp trực giao

Tiếp tục quá trình như vậy với chỉ số n lùi dần

Khi n = 2, theo giả thiết ta có 2 2x 1 1x  2 2x  2 2x 1 1x  1 1x

Nếue e1 , , , , 2 e n là tập trực chuẩn và e e1, , , , 2 e n trù mật trong E thì

e e1 , , , , 2 e n là cơ sở trực chuẩn của E

VậyA là ánh xạ K-tuyến tính liên tục

Bây giờ ta sẽ chứng minh A là tồn ánh

Theo định lý 1.4.2 ta cĩcoo   1, , , , c :1 n  0 n  0, n đủ lớntrù mật trong c o Anh xạ A thu hẹp trên c oo là một phép phép đẳng cự vì

  y E e ,e , ,e , , dãy y1 2 n   n  e ,e , ,e , 1 2 n sao cho

n n n n

n f

n j j

x n

a a

 f x  có nhiều hơn n nghiệm

mà f x  là hàm đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng n

h

 0 0

0

0

n j

 f y  có nhiều hơn n nghiệm

mà f y  là hàm đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng n



0

0

n j

n

h

Theo chứng minh trên ta có

1 1

ord m ord m n ord n

m S p

điều kiện sau

i) Với mỗi f  C( Zp Cp ), tồn tại duy nhất các phần tử a0, a1,…  Cp sao

i i

x x

i i

x x

f x f x a

n

h

m k m

a   

 

x m

k k

k k j j

C L Id f x k

L f x j

k

f x j k j

Nếu f  C( Zp Cp ) có biểu diễn Mahler là

1 0

Chương 3:

HỆ SỐ MAHLER CỦA MỘT SỐ HÀM CƠ BẢN

Chương này chúng tôi sẽ trình bày cách biểu diễn hệ số Mahler của một số hàm liên tục cơ bản như hàm số mũ, hàm exp, hàm sin, hàm cos, hàm p-adic Gamma, tổng vô hạn của hàm liên tục và hàm lũy thừa Đồng thời ở cuối chương, chúng tôi mở rộng cơ sở và hệ số Mahler trên không gian các hàm liên tục hai biến

!

n n

n S ord n

tx p tx E

Từ nhận xét trên ta có định nghĩa sau

h

x t

n x

Tương tự, trong giải tích phức các hàm sin và cos có các khai triển Taylor là

x

n là

1 1

Trước tiên ta nhận thấy nếu 2

x n

2n 1

n 2n 12n 1

2n 1

n 1 2n 1 2n 1

Dãy  a n C p là dãy nội suy p-adic khi và chỉ khi     0, J N:m m N, 

a a với  Max,p 1

Bây giờ ta chứng minh nếu a1p 1 thì p n 1 n 1

p

a với  Max a  1 ,p p 1

bằng phương pháp quy nạp thep n

Với n =1 Theo kết quả trên ta có p1  1

p p

Giả sử phát biểu đúng với n Ta sẽ chứng minh phát biểu đúng với (n+1) Theo giả thiết quy nạp ta có

n

p p

p

h

p n

n p

p

p p

p p p

p

p p

n

p

p n

p p n

() Ta có1, , , , a a n là dãy nội suy p-adic

lim sup 0 lim sup 1 0

x

n

h

n n

3.4.1.6 Tính chất của hàm p-adic Gamma:

Hàm p-adic Gamma p có những tính chất sau

n p p

ii)     1 1

!1



n p n

p p

iii)   1  

1 0

p j

3.4.1.7 Bổ đề:

h

Nếu hàm p-adic Gamma p; p 2 có biểu diễn Mahler là

m

p mp p

Lấy 0 k J  và phân hệ thặng dư trên theo modul pk, ta được pk lớp, ký hiệu

J k

p p

Với dãy nội suy p-adic  

3.5.2 Định lý (hệ số Mahler của hàm tổng vô hạn):

3.6 Hệ số Mahler của hàm lũy thừa:

Với mỗi số tự nhiên m, giả sử ta có biểu diễn Mahler

n j n

m nm

i đều không chứa hệ số tự do

n j n

m nm

Ta có x m1 x x m nên hệ số Mahler của xm+1 là a n m, 1 n a nma n1,m;n 1

4 Nếu n = 0, hiển nhiên 0 !  1a0m;  m N

Bây giờ ta sẽ chứng minh n a! nm; n 1 bằng quy nạp theo m