Hàm Khả Vi.pdf

Hàm khả vi 1 Công thức Lagrange 1 Cực trị 1 Hàm f I  ℝ đạt cực đại tại a  I0   > 0  0 <  x – a  < , f(x) < f(a)  Cực tiểu, Cực trị = Cực đại  cực tiểu 2 Các tính chất của cực trị  Tính địa[.]

Hàm khả vi

1 Công thức Lagrange

1 Cực trị

1 Hàm f : I  ℝ đạt cực đại tại a  I0

  > 0 :  0 <  x – a  < , f(x) < f(a)

 Cực tiểu, Cực trị = Cực đại  cực tiểu

2 Các tính chất của cực trị

 Tính địa phương và chặt

 Cực trị phân cách khoảng tăng, giảm

 Phân biệt với TLN, BN

3 (Bổ đề Fermat)

f(a  I ) cực trị

 f ’(a)  f’(a) = 0

Ví dụ Khảo sát cực trị tại a = 0

1) y = x2

2) y = x3

3) y = | x |

Maple (1)

CT > CD TLN=CD TLNCD

TBN=CT TBNCD

CDR

4

 Cực trị  dừng + kì dị = tới hạn

 Điểm tới hạn của HSC = dừng + ghép

2 Công thức Lagrange

1 (Định lý Roll)

∈ C([ , ])

 ’  ( , )

( ) = ( )

 ∃ ∈ ( , )

( ) = 0

2 (Định lý Lagrange)

∈ C([ , ])

 ’  ( , ) 

∃ ∈ ( , ) ( ) = ( ) ( )

Maple (2)

Ví dụ Cho y = x3 – x Tìm c  [0, 2] ?

Giải

 f thỏa mãn giả thiết

f(0) = 0, f(2) = 6, k = ( ) ( ) = 3

f’(x) = 3x2 – 1 = 3  x = ±

√

 c =

√  [0, 2]

3 (Công thức số gia hữu hạn)

1) Cho f  C1(I, ℝ) và [a, a + h]  I

f(a + h) – f(a) = h.f’(a + h) với   (0, 1) 2) Cho f  C1([a, b], ℝ) : m  f’(x)  M

m(b – a)  f(b) – f(a)  M(b – a)

Ví dụ CMR  n  ℕ*,  ln 1 + 

Giải

 f(x) = ln(x) thuộc lớp C1 trên [n, n+1]

 f’(x) = 

  ln(n + 1) – ln(n) = ln(1 + ) 

2 Qui tắc L’hopital

1 (Định lý Cauchy)

, ∈ C([ , ])

∃ , Î ( , )

( ) ≠ 0



∃ ∈ ( , ) ( )

( ) = ( ) ( )

( ) ( )

2 (Qui tắc L’Hopital)

1) Cho (x), (x)

→

⎯⎯ 0



→ ( )

( ) = ℓ  

→ ( )

( ) = ℓ

2) Cho A(x), B(x)

→

⎯⎯ 



→ ( )

( ) = ℓ  

→ ( )

( ) = ℓ

3 Khử dạng vô định ( ) hoặc ( )

 Dùng được khi a =  hoặc ℓ = 

 Chỉ là điều kiện cần

 Qui ước viết

→ ( )

( ) =( )

→ ( )

( )

 Các trường hợp khác không dùng

Ví dụ Tính các giới hạn

1)

Giải

 x – sin x , x3

→

⎯⎯ 0

 ℓ =( )

→ =( )

2)

→

( )

→

4)

6)

→

Giải

 u = x x = exlnx

→

⎯⎯ e0 = 1

→ ln =

→ ( )=

→ (− ) = 0

→ ln ( )= = 0

 y =

ln y(x) = (xx – 1)ln x =

→

⎯⎯ 0

ℓ = e0 = 1

Ví dụ Tính các giới hạn

1)

→

Giải

1)



→ ( )=

→ =  !

2)

→

Giải

 ℓ =( )

→ tan ℓ



→

⎯⎯⎯⎯ 0

3 Khai triển Taylor

1 Khai triển Taylor

1 Cho f  Cn(I, ℝ) và a  I0

 Đa thức Taylor tại a

Tn(x) = ( ) + ( )

! ( − ) + ⋯ + ( )( )

! ( − )

 Phần dư Rn(x) = f(x) – Tn(x)

Maple (3)

2 Công thức khai triển hữu hạn

1) (Công thức Taylor)

f(x) = Tn(x) + (( )( )

)! ( − ) với c  (a, x)

2) (Công thức Maclaurin) Với a = 0  I0

f(x) = ∑

( ) (0)

! + o(xn) Maple (4)

2 Khai triển Maclaurin

1 Hàm mũ

1) f(x) = ex, f(n)(x) = ex, f(n)(0) = 1

ex = 1 +

! +

! + … +

! + ( )

2) Thay x bằng –x

e–x = 1 −

! +

! + … + ( )

! + ( )

2 Hàm lượng giác

1) ch(x) = (ex + e–x)

= 1 +

! + … +

2) sh(x) = (ex – e–x)

= +

! + … +

3) cos(x) = +

= 1 −

! + … + ( )

4) sin(x) = −

= −

! + … + ( )

3 Hàm nhị thức

1) f(x) = (1 + x)m với m  ℚ

f(n)(x) = m(m–1) (m–n+1)(1 + x)m–n, f(n)(0) = m[n]

(1 + x)m = 1 +

! + ⋯ + [ ]

2) m = –1

= 1 – x + x2 – x3 + + (–1)nxn + o(xn)

3) Thay x bằng –x

= 1 + x + x2 + x3 + + xn + o(xn)

4) Thay x bằng x2

= 1 – x2 + x4 – x6 + + (–1)nx2n + o(x2n)

4 Các hàm khác

1) ln(1 + x) = ∫

= − + … + ( ) + ( )

2) arctan(x) = ∫

= − + … + ( ) + ( )