(Luận văn) cơ sở mahler trong không gian các hàm liên tục

Mục đích nghiên cứu: Mục tiêu chính của luận văn là giới thiệu kết quả trên của Mahler, đồng thời chúng tôi tìm tòi ứng dụng hệ số Mahler trong một số trường hợp cụ thể, ngoài ra chúng

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Trang 2

để luận văn được hoàn thành

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với các Thầy Cô ở Khoa Toán - Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và các Thầy Cô đã tham gia giảng dạy, quản lý lớp học, đã truyền đạt cho tôi nhiều kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học

Ngoài ra tôi cũng chân thành cảm ơn các Anh Chị trong Khoa Sư phạm Khoa học Tự Nhiên Trường Đại Học Sài Gòn đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Cảm ơn các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2008 Nguyễn Thị Vân Khánh

Trang 3

của C( Z p C p )” Quả thực, mặc dù còn hạn chế về chuyên môn nhưng khi nghiên

cứu kết quả trên tôi cảm thấy rất hấp dẫn Thực hiện đề tài này giúp tôi tập làm quen với các phương pháp nghiên cứu Toán học và trên hết là có thể phát triển tư duy của bản thân

2 Mục đích nghiên cứu:

Mục tiêu chính của luận văn là giới thiệu kết quả trên của Mahler, đồng thời chúng tôi tìm tòi ứng dụng hệ số Mahler trong một số trường hợp cụ thể, ngoài ra chúng tôi mỡ rộng kết quả của Mahler cho không gian các hàm liên tục hai biến C(ZpxZp Cp)

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu chính của luận văn là các hàm cơ bản trên không gian C(

Zp Cp ) Tuy nhiên chúng tôi không tập trung vào việc xây dựng các hàm liên tục

cơ bản trên Cp, phạm vi nghiên cứu chính của chúng tôi là tìm tòi cách biểu diễn các hàm đó qua cơ sở Mahler

4 Cấu trúc luận văn:

Luận văn bao gồm 3 chương

Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản để có thể nghiên cứu được những chương sau

Chương 2: CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC

C(ZPCP)luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Trang 4

Trong chương này, chúng tôi chứng minh định lý Kaplansky, là một định lý khá quan trọng để có thể xây dựng cơ sở Mahler Đặc biệt chúng tôi nghiên cứu về cơ

sở trực giao, trực chuẩn và các tính chất của nó, để từ đó có thể hiểu rõ hơn việc xây dựng cơ sở trực chuẩn Mahler trong không gian các hàm liên tục C(Zp Cp), cũng như nghiên cứu các tính chất và kết quả liên quan đến cơ sở Mahler, hệ số Mahler

Chương 3: HỆ SỐ MAHLER CỦA MỘT SỐ HÀM CƠ BẢN

Chương 3 chúng tôi trình bày cách biểu diễn hệ số Mahler qua một vài hàm cơ bản như hàm số mũ, hàm exp, hàm sin, hàm cos, hàm p-adic Gamma, tổng vô hạn của hàm liên tục, hàm lũy thừa Ngoài ra ở cuối chương chúng tôi có mở rộng cơ sở

và công thức tính hệ số Mahler trong không gian các hàm liên tục hai biến C(ZpxZp Cp)

Người thực hiện Nguyễn Thị Vân Khánh

Trang 5

Chương 1:

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản để người đọc có thể dễ dàng nắm bắt được các chương sau, tuy nhiên chúng tôi chỉ chứng minh một số kết quả được sử thường xuyên trong những chương sau, các kết quả chưa được chứng minh độc giả có thể dễ dàng tìm thấy trong mục 2 và 5 của phần tài liệu tham khảo

1.1 Chuẩn trên trường:

1.1.1 Định nghĩa:

Cho K là trường, ta nói chuẩn trên K là một ánh xạ : KR thỏa các điều kiện sau

i)  x K x,  0 và x    0 x 0ii) x y K x y,  ,  x y

neáu x 0p

( p là số nguyên tố )

Trang 6

Trong đó Nếu x = 0 thì ord p 0  Nếu x Z \ 0 thì ord x p  là số mũ của p trong sự phân tích x thành các thừa số nguyên tố

Ví dụ:

x = 50 = 52.2 thì ord5 50  2Nếu x Q \ 0 , giả sử x a; ,a b Z b , 0, , a b 1

Mọi chuẩn không tầm thường trên Q đều tương đương với chuẩn p (p là một

số nguyên tố nào đó) hoặc tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường trên Q

2 Ta có 1 1  2  12, mà 1 0 

Trang 7

Vậy 1 1 

3 Ta có x 1 x  x x 1  1 1, mà x 0(vì x ≠ 0) Vậy x 1 1

x

 

ª

1.1.5 Nguyên lý tam giác cân:

Cho là một chuẩn phi-Archimedean trên trường K

Nếu x  y thì x y Max x y   ,

Chứng minh:

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x  y Max x y ,  y

Theo tính phi-Archimedean ta có x y  y (*) Mặt khác y  x x y  Max x y x  , 

NếuMax x y x  ,  x thì y  x , trái giả thiết VậyMax x y x  ,  x y  y  x y (**)

Trang 8

Gọi S là tập hợp các dãy Cauchy hữu tỉ theo p, trên S ta định nghĩa một quan

hệ tương đương như sau:   x n y n n x n y n



 lim   0

Ta gọi QP là tập hợp các lớp tương đương theo quan hệ trên và trang bị cho QP

hai phép toán cộng và nhân như sau:     

Trường số hữu tỉ Q được xem là trường con của QP nhờ ánh xạ nhúng a a

Tập hợp Z P x Q x P: p 1là vành con của QP và được gọi là vành các số nguyên p-adic

Với mỗix Q p, giả sử  m; 

p

x p m Z, ta hoàn toàn có thể chứng minh x được

biểu diễn duy nhất dưới dạng   

Ta đã biết trường số thực R không đóng đại số, bao đóng đại số của R là trường

số phức C Làm đầy đủ Q theo p ta được trường QP Giống như R, QP đầy đủ nhưng không đóng đại số Ký hiệuQ P là bao đóng đại số của QP, chuẩn p trên QP

có thể mỡ rộng thành chuẩn trênQ P như sau Với Q P thì  là phần tử đại số trên QP Gọi Irr(,QP, x) là đa thức nhận 

Trang 9

Trường số phức C p có vai trò tương tự như trường số phức C trong giải tích phức thông thường

1.2.3 Tính chất của vành các số nguyên p-adic Z P :

Vành các số nguyên p-adic có các tính chất sau

1 Tập các số nguyên p-adic Zp là vành con của trường Qp

4 Cp đóng đại số, đầy đủ và Compact địa phương

1.3 Dãy và chuỗi trong C P : 1.3.1 Định nghĩa:

Dãy a ,a , C0 1  p được gọi là hội tụ đến a  CP nếu lim a - 0n p

Trang 10

và dãy khá đơn giản hơn, mệnh đề sau sẽ cho ta thấy điều đó

1.3.2 Mệnh đề:

Trong trường p-adic Cp ta có

1 Dãy a n hội tụ khi và chỉ khi    0, N: n N a n1a n p 

Trang 11

Chọn  sao cho M < 0 , trong đó M Max a  i p,  i 0,1,  

Lại chọn ’ sao cho ’S 2 p < 0

Trang 12

j S ord j

 số mũ của p trong j! bằng số mũ của p trong (p.1) (p.2) !

j p

Trang 13

a j

s s s

s s

1.3.5 Chuỗi hàm lũy thừa:

Cho a0,a1,… là một dãy trong Cp Khi đó chuỗi 



 n n

Trang 14

Bán kính hội tụ  của chuỗi hàm lũy thừa n

Trong trường số p-adic Cp, ta có các định nghĩa sau

Trong trường số p-adic Cp, ta có các kết quả sau

1 Cp,  là không gian Banach

2 c o là không gian con mở của C p

3 c oo trù mật trong c o

Trang 15

2.1 Tính chất Tôpô trên trường phi-Archimedean:

1 Mọi hình cầu trên trường K đều vừa mở vừa đóng

2 Mọi hình cầu trên trường K đều có vô số tâm

3 Hai hình cầu bất kỳ trong K hoặc rời nhau hoặc lồng nhau

Chứng minh:

1 Lấy a K và r0

Chứng minh hình cầu mở B a r ,  là tập đóng:

Trên K ta định nghĩa một quan hệ như sau: x y K x y,  ,   x y r

Ta có là một quan hệ tương đương Thật vậy Hiển nhiên x x và (x yy x);x y K, 

x y z K, ,  , giả sửx y và y z

Ta có x z     x y y z Max x y y z  ,  r

Trang 16

   

B b r, B a r,

VậyB a r   , B b r,

Việc chứng minh cho hình cầu mở hoàn toàn tương tự

3 Không mất tính tổng quát ta hoàn toàn có thể giả sử B a r , vàB b s , là hai hình cầu đóng với a b K,  và r s 0 Nếu B a r , vàB b s , không rời nhau, nghĩa

làB a r   , B b s,  , ta sẽ chứng minh B a r , vàB b s , lồng nhau Ta có

Trang 17

Trong trường K ta có các kết quả sau

1 Mặt cầu đơn vịB 0,1 \B  0,1  x K x : 1là nhóm con nhân của nhóm nhân K\{0}

2 B  1,1  x K x :  1 1là nhóm con của mặt cầu đơn vị

3 Với 0 < r < 1 cho trước, mọi hình cầu B r 1, x K x :  1 rvà

Vậy mặt cầu đơn vị là nhóm con nhân của K\{0}

2 Trước tiên ta chứng minhB 1,1 B 0,1 \B 0,1

 

 x B 1,1 ta có x    x 1 1 Max x 1 ,1 1 ( vì x 1 1 ) Lại có1 1 1    x x Max1x x,  x ( vì 0 B(1,1 )  B x( ,1 )   x    1 1 x )

1

 x   x B  0,1 \B 0,1luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Trang 18

B a,r nếuB a,r Xvà B a,r X

Rõ ràngB a X a;  là một phủ của X Ta sẽ chứng minh phủ này gồm các hình cầu rời nhau Thật vậy

Trang 19

a b X,  , ta cần chứng minh hai hình cầuB B a, b hoặc rời nhau hoặc bằng nhau NếuB aB b  , theo định lý 2.1.2 thì B B a, b phải lồng nhau Giả sửB a B b (*) Mặt khác theo cách đặt B a, rõ ràng B alà hình cầu lớn nhất (chứa trong X) trong số những hình cầu có cùng tâm a, bán kính rr r1 2, , , , r n  Theo định lý 2.1.2 ta có thể khẳng định B b là một trong những hình cầu tâm a, bán kính rr r1 2, , , , r n 

Trang 20

ChoX K , B là tập vừa đĩng vừa mở trong K, đặt V B X  Ta cĩ Anh xạ V :XKthỏa     

Ta cĩV B X   V cũng là tập vừa đĩng vừa mở Giả sử x X

Nếux V (V-mở), hiển nhiên x V B  B là một lân cận của x và thỏa

ChoX K , ta cĩ các kết quả sau

1 Mọi hàm hằng địa phương đều liên tục

2 ĐặtLC X K  hàm hằng địa phương :f XK, khi đĩ LC X K là khơng gian vectơ con của khơng gian vectơ các hàm liên tục C X Ktrên trường K

Chứng minh:

1 Giả sửf X: Klà hàm hằng địa phương Ta cần chứng minh f liên tục

Thật vậy, x0 X, theo giả thiết f là hàm hằng địa phương Ulà lân cận của x0sao chof x     c K x U X;

Trang 21

Đặc biệt, không gian các hàm hằng địa phương bị chặn cũng trù mật trong không gian các hàm liên tục bị chặn BC X K



 i; i  ,

i I

Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ g như sau

Trang 22

Cuối cùng ta chứng minh tập các hàm hằng địa phương bị chặn trù mật trong không gian các hàm liên tục bị chặnBC X K

Giả sử f BC X  K, do f bị chặn  M 0 : f x  M x X; 

 g x Max f x , f x g x Max M, ;  x X

 g bị chặn Mặt khác f liên tục nên theo kết quả chứng minh trên ta có Với 0 cho trước,  g LC X K    : f x g x   ; x X

Vậy tập các hàm hằng địa phương bị chặn trù mật trong không gian các hàm liên tục bị chặn

Trang 23

Không mất tính tổng quát ta chọn 0  X , tịnh tiến x0 = 0 và x1, x2,…, xm  X thành

c1, c2,…, cm sao choX B      0, B c1, B c2,   B c m,, trong đó

     0, , 1, , 2, , ,  m,

B B c B c B c là các hình cầu rời nhau và c1  c2   c m

Trước tiên ta chứng minh định lý đúng với      

x

c , trong đó nj  N, j  {1,2,…,m} là các số nguyên được định nghĩa quy nạp theo m

Ta chứng minh P(x) là đa thức cần tìm, nghĩa là

c

Trang 24

Vậy phát biểu trên đúng với m = 1 Giả sử phát biểu trên đúng với (m – 1), nghĩa là tồn tại nj  N, j  {1,2,…,m-1} sao cho

Bây giờ ta chứng minh phát biểu trên đúng với m

Nghĩa là chứng minh tồn tại nm  N sao cho  

Ta tiếp tục chứng minh kết quả quy nạp

Trang 26

Ta tiếp tục chứng minh định lý với f C( X K )

Từ giả thiết X K , f C( X K ) và  > 0, theo định lý 2.2.4 ta tìm được một hàm hằng địa phương g X: K sao cho f x   g x   ; x X

Ta có   x X r, x 0sao cho g là hàm hằng trên B x r , x

j j j

g x h x , trong đói là hằng số GọiM Max i ,i1,2, ,m 

Theo chứng minh trên ta có, với mỗi h i i; 1,2, ,mta đều tìm được một đa thức PithỏaP x i   h x i   ; x X

2.3 Không gian các hàm liên tục C( Zp  Cp ):

2.3.1 Chuẩn trên không gian vectơ:

Trang 27

Cho E là không gian vectơ trên trường( , )K Ta nói chuẩn trên E là ánh

xạ : ER thỏa các điều kiện sau i)  x E x, 0 và x   0 x 0

Vậy là chuẩn phi-Archimedean trên C( Zp Cp )

Trang 28

2.3.4.2 Định lý :

ChoE,  , ,F là các không gian định chuẩn trên trường K

Anh xạ K-tuyến tínhA E: Fliên tục nếu và chỉ nếu tồn tại M 0 sao cho

2.3.5 Phép đẳng cự:

ChoE,  , ,F  là các không gian vectơ định chuẩn trên trường K Ta nói ánh

xạ tuyến tính f E: F là phép đẳng cự nếu f bảo toàn chuẩn

Nói cách khác f là phép đẳng cự khi và chỉ khi f x   x ; x E

2.4 Cơ sở trực giao – cơ sở trực chuẩn:

Cho( , )E là một không gian Banach trên trường K, trong đó là chuẩn Archimedean

Trang 30

Chứng minh:

1

(  ) Hiển nhiên x y x infxy ,K x y ;  K

(  ) Để chứng minh xy ta sẽ chứng minh x inf xy ,K

Trang 31

2 x x1 , , , , 2 x n E là một tập hợp trực giao nếu với mỗi số tự nhiên n thì

Nhận xét: nếu x n x m; m n thì không chắc cóx x1 , , , 2 x nlà tập hợp trực giao

Ví dụ sau đây sẽ cho thấy rõ hơn nhận xét trên

n n

Trang 32

Ta sẽ chứng minh e1e e2; 1e e3; 2 e3 nhưng e e e1 , , 2 3không phải là tập hợp trực giao trong E2

Ta có e1   e2   e3   1Mặt khác

Hoàn toàn tương tự e2 e3

Tuy nhiên e e e1 , , 2 3không phải là tập hợp trực giao vì e3    1,1  0,0 nên e3

không thể trực giao với e3  e1 e2

ª

2.4.5 Định lý :

Cho x1,x2, E, ta có các kết quả sau

1 x x1 , , , , 2 x n là tập hợp trực giao khi và chỉ khi x1,x2, ,x nlà tập trực giao n N

2 x1,x2, ,x n là tập trực giao khi và chỉ khi

Trang 33

3 x1,x2, ,x n là tập trực giao khi và chỉ khi

Theo giả thiết ta cóx x x j, j1, j2, ,x jklà tập trực giao x jv

Vậy x j x x1, , ,2 x j1,x j1 ;j hay x x1 , , , , 2 x n là tập hợp trực giao

Trang 35

Max i n là dãy dương, tăng  x Maxi ,n N 

Trang 36

Nếue e1 , , , , 2 e n là tập trực chuẩn và e e1, , , , 2 e n trù mật trong E thì

e e1 , , , , 2 e n là cơ sở trực chuẩn của E

VậyA là ánh xạ K-tuyến tính liên tục

Bây giờ ta sẽ chứng minh A là tồn ánh Theo định lý 1.4.2 ta cĩcoo   1, , , , c :1 n  0 n  0, n đủ lớntrù mật trong c o Anh xạ A thu hẹp trên c oo là một phép phép đẳng cự vì

Trang 37

  y E e ,e , ,e , , dãy y1 2 n   n  e ,e , ,e , 1 2 n sao cho

n n n n

 



 

  cĩ những tính chất sau luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Trang 38

n f

n j j

x n

a a

Trang 39

0

n j

 f x  có nhiều hơn n nghiệm

mà f x  là hàm đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng n

Trang 40

 0 0

0

n j

 f y  có nhiều hơn n nghiệm

mà f y  là hàm đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng n



0

n j

n ; x Zp

p

x n

n

Tiêu đề	Cơ sở Mahler trong không gian các hàm liên tục
Tác giả	Nguyễn Thị Vân Khánh
Người hướng dẫn	PGS.TS. MỴ VINH QUANG
Trường học	Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Luận văn thạc sĩ
Năm xuất bản	2008
Thành phố	TP. Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	74
Dung lượng	683,76 KB