Giới Hạn Hàm Số.pdf

Giới hạn của hàm số 1 Giới hạn 1 1 Giới hạn 1 Cho f I  ℝ, a  I̅ và ℓ  ℝ  lim �→� f(x) = ℓ    > 0,   > 0  x  I, 0 < | x – a | <   | f(x) – ℓ | <  Maple (1) 2 Cho f I  ℝ, a  I̅  x  a–0[.]

Giới hạn của hàm số

1 Giới hạn

1.1 Giới hạn

1 Cho f : I  ℝ, a  I̅ và ℓ  ℝ

 lim

→ f(x) = ℓ    > 0,  

> 0 :

 x  I, 0 < | x – a | <   | f(x) –

ℓ | <  Maple (1)

2 Cho f : I  ℝ, a  I̅

 x  a–0 (a+0)  x  a, x

 a (x  a) f(a–0) = lim

→ f(x) và f(a+0) = lim

→ f(x)

 lim

→ f(x) = ℓ  lim

→ f

= ℓ lim

→ f(x) = ℓ  lim

→ f(−t) =

ℓ

 lim

→ f(x) = +  lim

→ ( )

= +0 lim

→ f(x) = –  lim

→ –f(x)

= +

Maple (2)

3

1)  ! lim

→ f(x) 2) lim

→ f(x) = ℓ  | f(x) | ≤

( )

M 3) f(x)

→

⎯⎯ ℓ  a) f(a + h)

→

⎯⎯ ℓ b) f(x) – ℓ

→

⎯⎯ 0 c) f(a–0) = ℓ = f(a + 0) d) f(xn

→

⎯⎯ a)

→

⎯⎯ ℓ

1.2 Các tính chất

1 Bảo toàn phép toán

1) lim

→ (.f + g) = .lim

→ (f) + lim

→ (g) 2) lim

→ (f  g) = lim

→ (f)  lim

→ (g) 3) lim

→

4) Hàm sơ cấp có giới hạn trong I lim

→ ∈ f(x) = f(a)

 Mở rộng ℓ +  = , ℓ  , ℓ

= 0, ℓ = ∞

Ngoại trừ , , 0  ,  – ,

Ví dụ

lim

→ sin(x) = 0 lim

→ cos(x) = 1 lim

→ ex = 1 lim

→ ex = + lim

→ ln(x) = – lim

→ ln(x) = +

lim

→ = 0,

2 Bảo toàn thứ tự

 Cho lim

→ (f) = ℓ, lim

→ (g) = k 1) f(x) <

( ) g(x)  ℓ  k 2) ℓ < k   f(x) <

( )

g(x)

 Có thể thay thế “” bằng “”,

“<”,

Trường hợp g(x) = 0,

2 Sự tồn tại giới hạn

2.1 Hàm bị kẹp

1 Cho f, g, h : I  ℝ và a  I̅ :

( ) ≤ ( ) ≤ ℎ( ) lim

→ = lim

→ ℎ = ℓ  lim

→ (g) = ℓ Maple (3)

2 Áp dụng lim

→ = 1

3 Suy ra

lim

→ = lim

→ = 1, lim

2.2 Hàm đơn điệu

1 Cho f : (a, b)  ℝ

1) f ,  M   lim

→ f = sup{ f(x) }

2) f ,  m   lim

→ f = inf{ f(x) }

Maple (4)

2 Áp dụng lim

= lim

→ (1 + )

3 Suy ra

lim

→

( )

= lim

→ = 1, lim

→

( )

= 

3 Vô cùng bé

3.1 Vô cùng bé

1 Cho  : I  ℝ và a  I̅

 (x) VCB a  lim

→ (x) =

0

Ví dụ Các vô cùng bé tại a = 0

xk (k > 0), sin(x), tan(x), 1 – cos(x), arcsin(x)

2 Các tính chất

1) ,  VCB a  . + ,

   VCB a

2) lim

→ (f) = ℓ  f(x) = ℓ + (x) với  VCB a

 Dạng vô định

3.2 So sánh vô cùng bé

1 So sánh VCB

 lim

→ =

⎩

⎨

⎧0 = ( )

0 ≠ ℓ < ∞ = ( )

∞ = ( )

∄ ℎô

 ℓ = 1 :  ~ 

2 u(x)

→

⎯⎯ 0 1) sin(u), tan(u), arcsin(u) ~ u, cos(u) ~ 1 – u2

2) eu ~ 1 + u, ln(1 + u) ~ u, (1 + u) ~ 1 + u

3 Các quy tắc tìm giới hạn

1) Thay thế tương đương

  ~ 1,  ~ 1 : lim

→ = lim

→

2) Bỏ VCB cấp cao

  = () : lim

→ = lim

→

Ví dụ Tính lim

→

Giải

 ℓ = lim

→

( ) ( )

=

lim

→ = 2

4 Vô cùng lớn

4.1 Vô cùng lớn

1 Cho A : I  ℝ và a  I̅

 A(x) VCL a  lim

→ A(x) =



Ví dụ Các vô cùng lớn tại a = +

xk (k > 0), ln(x), ex, ch(x), sh(x),

2 Các tính chất

1) A, B VCL a  A  B VCL a

2) A VCL a 

( ) VCB a

 Dạng vô định , 0  ,  – 

4.2 So sánh vô cùng lớn

1 So sánh VCL

 lim

→ =

0 = ( )

0 ≠ ℓ < ∞ = ( )

∞ = ( )

∄ ℎô

 ℓ = 1 : A ~ B

2 u(x)

→

⎯⎯ +

1) ln(u) = o(uk) (k > 0), uk = o(eu) 2) P = a0 + a1u + + anun ~ anun

3 Các quy tắc tìm giới hạn

1) Thay thế tương đương

 A ~ A1, B ~ B1 : lim

→ = lim

→

2) Bỏ VCL cấp thấp

 A = (B) : lim

→ = lim

→

Ví dụ Tính

lim

→

⋯

⋯

Giải

 ℓ = lim

∞ >

=

0 <