Hàm Hai Biến.pdf

Hàm hai biến 1 Hàm hai biến 1 Tập ℝ2 1 Kí hiệu ℝ2 = { (x, y) x, y  ℝ }  (x, y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’) (x, y) = (x, y)  A(a, b), X(x, y)  (Oxy) 2 Cho A(a, b), X(x, y)  ℝ2 và D  ℝ2  ||[.]

Hàm hai biến

1 Hàm hai biến

1 Tập ℝ2

1 Kí hiệu ℝ2 = { (x, y) : x, y  ℝ }

 (x, y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’)

(x, y) = (x, y)

 A(a, b), X(x, y)  (Oxy)

2 Cho A(a, b), X(x, y)  ℝ2 và D  ℝ2

 || X || = +

 AX = || X – A || = ( − ) + ( − )

X  A  AX  0

 d(D) = sup{ AB : A, B  D }

D giới nội  d(D) < 

3 Cho D  ℝ2 và A  ℝ2

 B(A, ) = { X  ℝ2 : AX <  } = (A)

B*(A, ) = { X  ℝ2 : 0 < AX <  } = (A*)

 Điểm trong   (A)  D

Điểm biên   (A)  D, (A)  ℝ2 – D  

 D0 , D và D = D  D

D0  D  D

 D : mở  D = D0, D : đóng  D = D

4 Cho D  ℝ2 và A, B  D

 D liên thông   (A, B)  D,   D

 Miền = Mở / đóng + liên thông

Compact = Miền đóng + giới nội

2 Hàm hai biến

1 Cho miền D  ℝ2 Hàm hai biến

f : D  ℝ, (x, y)  z = f(x, y)

 Biến x, y, hàm z, miền D, đồ thị

G(f) = { (x, y, f(x, y)) : (x, y)  D }

 Quan hệ z = f(x, y)

D = { (x, y)  ℝ2 :  f(x, y) <  }

Ví dụ

1) z = x + y D = ℝ2

2) z = D : y  0

2 Cho f : D  ℝ và A(a, b)  D

 Hàm riêng g(x) = f(x, b) và h(y) = f(a, y)

 f có tính chất   g, h có tính chất 

Ví dụ Hàm f(x, y) = x2 – y2 tại O(0, 0)

 Maple (1)

g(x) = x2 đạt CT tại a = 0

h(y) = – y2 đạt CD tại b = 0

 f(x, y) không đạt cực trị tại O = (0, 0)

3 Tập F(D, ℝ) = { f : D  ℝ } và X(x, y)  D

 (f + g)(X) = f(X) + g(X)

(f  g)(X) = f(X)  g(X),

 Hàm hợp định nghĩa sau

 Hàm sơ cấp  hàm riêng là hàm sơ cấp

4 Đặt vấn đề tương tự với

ℝn = { (x1, , xn) : xk  ℝ }

2 Giới hạn

1 Giới hạn

1 Cho f : D  ℝ, A(a, b)  D và ℓ  ℝ

 lim

→ f(X) = ℓ    > 0,   > 0 :

 X  D, 0 < || X – A || <   | f(X) – ℓ | <  Maple (2)

 (x, y)    x   hoặc y  

lim

→

→

f(x, y) = ℓ  lim

→

→

( , ) = ℓ

 lim

→ f(X) =   lim

→ ( ) = 0 f(X) > 0 là +, f(X) < 0 là –

2 Phân biệt với giới hạn hàm một biến

 ax = | x – a | AX = || X – A ||

 x  a0 X  A theo mọi hướng

3 Các tính chất tương tự hàm một biến

1) f(x, y)

( , )⎯⎯ ℓ  f(x, b)

→

⎯⎯ ℓ

f(a, y)

→

⎯⎯ ℓ 2) Tổng (hiệu), tích (thương) có giới hạn

lim (f + g) =  lim f + lim g

lim (f  g) = lim f  lim g

lim =

3) Hàm hợp có giới hạn

4) Hàm sơ cấp có giới hạn bên trong D

Ví dụ Khảo sát tại điểm gốc O(0, 0)

1) f(x, y) =

Giải

 f(x, 0) = 1

→

⎯⎯ 1

f(0, y) = –1

→

⎯⎯ –1 1 Hàm không có giới hạn

2) f(x, y) =

Giải

 f(x, 0) = 0

→

⎯⎯ 0, f(0, y) = 0

→

⎯⎯ 0

f(x, –x + x2) =

( ) = – 1 + x2

( , )⎯⎯ –1  0 Hàm không có giới hạn

a+0

3) f(x, y) =

Giải

 | f(x, y) |   | y |

( , )⎯⎯ 0

Hàm có giới hạn và lim

( , )→( , ) = 0

2 Sự liên tục

1 Cho f : D  ℝ và A  D

 f liên tục tại A  lim

→ f(X) = f(A)

 f liên tục trên D  f liên tục tại  X  D Tập C(D, ℝ)

2 Các tính chất tương tự hàm một biến

1) f(x, y) liên tục (a, b)  f(x, b) liên tục a

f (a, y) liên tục b 2) Tổng (hiệu), tích (thương) liên tục

3) Hàm hợp liên tục

4) Hàm sơ cấp liên tục bên trong D

Ví dụ Khảo sát tính liên tục của hàm

f(x, y) = nếu (x, y)  (0, 0) và f(0, 0) = 0

Giải

 D = ℝ2

 (x, y)  (0, 0) hàm f liên tục

 Tại (0, 0)

+) f(x, x) =

( , )⎯⎯

+) f(x, –x) = −

( , )⎯⎯ −

Hàm f không liên tục

 f(x, 0) = 0 và f(0, y) = 0 liên tục

3 Cho hàm f liên tục trên compact D

1)  X  D, m  f(X)  M

2)  X1, X2  D : f(X1) = m, f(X2) = M 3)  m <  < M,  f(X  D) = 