(Luận văn thạc sĩ) cơ sở mahler trong không gian các hàm liên tục

Mục đích nghiên cứu:Mục tiêu chính của luận văn là giới thiệu kết quả trên của Mahler, đồng thờichúng tôi tìm tòi ứng dụng hệ số Mahler trong một số trường hợp cụ thể, ngoài rachúng tôi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với các Thầy Cô ở Khoa Toán - TinTrường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và các Thầy Cô đã tham giagiảng dạy, quản lý lớp học, đã truyền đạt cho tôi nhiều kiến thức và kinh nghiệmnghiên cứu khoa học.

Ngoài ra tôi cũng chân thành cảm ơn các Anh Chị trong Khoa Sư phạm Khoahọc Tự Nhiên Trường Đại Học Sài Gòn đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi và độngviên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Cảm ơn các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quátrình học tập và thực hiện luận văn

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2008

Nguyễn Thị Vân Khánh

2 Mục đích nghiên cứu:

Mục tiêu chính của luận văn là giới thiệu kết quả trên của Mahler, đồng thờichúng tôi tìm tòi ứng dụng hệ số Mahler trong một số trường hợp cụ thể, ngoài rachúng tôi mỡ rộng kết quả của Mahler cho không gian các hàm liên tục hai biếnC(ZpxZp Cp)

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu chính của luận văn là các hàm cơ bản trên không gianC( Zp Cp ) Tuy nhiên chúng tôi không tập trung vào việc xây dựng các hàm liên tục

cơ bản trên Cp, phạm vi nghiên cứu chính của chúng tôi là tìm tòi cách biểu diễncác hàm đó qua cơ sở Mahler

4 Cấu trúc luận văn:

Luận văn bao gồm 3 chương

Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản để có thể nghiên cứu được những chương sau

Chương 2: CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC

C(ZP CP)

Trong chương này, chúng tôi chứng minh định lý Kaplansky, là một định lý kháquan trọng để có thể xây dựng cơ sở Mahler Đặc biệt chúng tôi nghiên cứu về cơ sởtrực giao, trực chuẩn và các tính chất của nó, để từ đó có thể hiểu rõ hơn việc xâydựng cơ sở trực chuẩn Mahler trong không gian các hàm liên tục C(Zp Cp), cũngnhư nghiên cứu các tính chất và kết quả liên quan đến cơ sở Mahler, hệ số Mahler.

Chương 3: HỆ SỐ MAHLER CỦA MỘT SỐ HÀM CƠ BẢN

Chương 3 chúng tôi trình bày cách biểu diễn hệ số Mahler qua một vài hàm cơbản như hàm số mũ, hàm exp, hàm sin, hàm cos, hàm p-adic Gamma, tổng vô hạncủa hàm liên tục, hàm lũy thừa Ngoài ra ở cuối chương chúng tôi có mở rộng cơ sở

và công thức tính hệ số Mahler trong không gian các hàm liên tục hai biến C(ZpxZp

Cp)

Người thực hiệnNguyễn Thị Vân Khánh

Chương 1:

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản để người đọc có thể dễdàng nắm bắt được các chương sau, tuy nhiên chúng tôi chỉ chứng minh một số kếtquả được sử thường xuyên trong những chương sau, các kết quả chưa được chứngminh độc giả có thể dễ dàng tìm thấy trong mục 2 và 5 của phần tài liệu thamkhảo

1.1 Chuẩn trên trường:

neáu x 0

2 Chuẩn p-adic: x p 1 ord

p xp

( p là số nguyên tố )

số nguyên tố nào đó) hoặc tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường trên Q

1.1.5 Nguyên lý tam giác cân:

Cho là một chuẩn phi-Archimedean trên trường K

ta sẽ được trường số thực R Vậy làm đầy đủ Q theo pta sẽ được trườngmới mà ta gọi là trường số p-adic QP Cụ thể cách xây dựng như sau

Gọi S là tập hợp các dãy Cauchy hữu tỉ theo p, trên S ta định nghĩa một quan hệtương đương như sau: x n y n lim x n y n 0

n

Ta gọi QP là tập hợp các lớp tương đương theo quan hệ trên và trang bị cho QP

hai phép toán cộng và nhân như sau: x n y n x n y n

x n y n x n y n

Khi đó dễ dàng chứng minh (QP, +, ) là một trường và được gọi là trường các

số p-adic

Chuẩn trên QP được xác định như sau:

Nếu 0 thì x n p 0 , ngược lại 0 thì M N : p x n p ; n M

Trường số hữu tỉ Q được xem là trường con của QP nhờ ánh xạ nhúng a a Tập

hợp Z P x Q P : x p 1 là vành con của QP và được gọi là vành các số

nguyên p-adic

Với mỗi x Q p , giả sử x p p m ; mZ , ta hoàn toàn có thể chứng minh x được

biểu diễn duy nhất dưới dạng

diễn p-adic của phần tử p

i ; 0 i p Biểu diễn trên được gọi là biểu

có thể mỡ rộng thành chuẩn trên Q P như sau

Với Q P thì là phần tử đại số trên QP Gọi Irr( ,QP, x) là đa thức nhận

x Q p Khi đó nếu

Q p x n ; p lim x n p n

làm nghiệm Giả sử Irr , Q P , x x n a n 1 x n 1 a1 x a0 Ta định

nghĩa n a và dễ dàng chứng minh là một chuẩn trên Q , chuẩn này

Nếu tiếp tục làm đầy đủ

theo pthì ta sẽ được trường các số phức p-adic, ký

Q P

hiệu C p Q P Q

Trường số phức C p có vai trò tương tự như trường số phức C trong giải tích phứcthông thường

1.2.3 Tính chất của vành các số nguyên p-adic Z P :

Vành các số nguyên p-adic có các tính chất sau

1 Tập các số nguyên p-adic Zp là vành con của trường Qp

4 Cp đóng đại số, đầy đủ và Compact địa phương

1.3 Dãy và chuỗi trong C P :

1.3.1 Định nghĩa:

lim an = a Dãy không hội tụ thì gọi là dãy phân kỳ.

Nếu có lim Sn =S C P thì ta nói chuỗi an hội tụ và viết an S

n

Trong trường số phức thông thường ta biết rằng mỗi dãy a n hội tụ sẽ thỏa mãn

tiêu chuẩn Cauchy là 0, N : m , n N a m a n , tuy nhiên với tính chất phi-Archimedean

và đầy đủ trong trường p-adic Cp thì tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi và dãy khá đơn

giản hơn, mệnh đề sau sẽ cho ta thấy điều đó

số mũ của p trong j! bằng số mũ của p trong (p.1) (p.2) p p p !

1.3.5 Chuỗi hàm lũy thừa:

Cho a0,a1,… là một dãy trong C p Khi đó chuỗi a n x n được gọi là chuỗi hàm

n 0

Bán kính hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa a n xn được định nghĩa như sau

Trong trường số p-adic Cp, ta có các kết quả sau

1 C p , là không gian Banach

2 c o là không gian con mở của C p

3 c oo trù mật trong c o

2.1 Tính chất Tôpô trên trường phi-Archimedean:

2.1.1 Định nghĩa:

Trong trường K, lấy a K , r 0, Ta nói

được gọi chung là hình cầu trong K

1 Mọi hình cầu trên trường K đều vừa mở vừa đóng

2 Mọi hình cầu trên trường K đều có vô số tâm

3 Hai hình cầu bất kỳ trong K hoặc rời nhau hoặc lồng nhau

Chứng minh:

Chứng minh hình cầu mở B a, r là tập đóng:

Trên K ta định nghĩa một quan hệ như sau: x, y K , x y x y r

Ta có là một quan hệ tương đương Thật vậy

x z

Vậy là một quan hệ tương đương

Hơn nữa mỗi lớp tương đương x y K : x y B ( x , r ) là tập mở

Việc chứng minh cho hình cầu mở hoàn toàn tương tự

3 Không mất tính tổng quát ta hoàn toàn có thể giả sử B a, r và B b, s là hai hình

cầu đóng với a, b K và r s 0 Nếu B a, r và B b, s không rời nhau, nghĩa là B a, r B

b, s , ta sẽ chứng minh B a, r và B b, s lồng nhau Ta có

Việc chứng minh cho hình cầu mở hoàn toàn tương tự

Vậy hai hình cầu bất kỳ trong K hoặc rời nhau hoặc lồng nhau

ª

2.1.3 Định lý:

Trong trường K ta có các kết quả sau

1 Mặt cầu đơn vị B 0,1 \ B 0,1 x K : x 1 là nhóm con nhân củanhóm nhân K\{0}

3 Với 0 < r < 1 cho trước, mọi hình cầu B 1, r x K : x 1 r và

Chứng minh:

1 Ta có 1 1 1 B 0,1 \ B 0,1 B 0,1 \ B 0,1 x , y B 0,1 \ B 0,1 x y 1

Ta có x 1 y x 1 y 1x y 1 x

1y B 0,1 \ B 0,1

Vậy mặt cầu đơn vị là nhóm con nhân của K\{0}

2 Trước tiên ta chứng minh B 1,1 B 0,1 \ B 0,1

Lại có1 11 x x Max 1 x , x x ( vì 0 B(1,1 ) B ( x ,1 ) x 1 1 x x 1 x B 0,1 \ B 0,1 )

Vậy hình cầu B 1, r x K : x 1 r là nhóm con Chứng

minh tương tự cho hình cầu B 1,r

Rõ ràng B a ; a X là một phủ của X Ta sẽ chứng minh phủ này gồm các hình cầu rời

nhau Thật vậy

a, b X , ta cần chứng minh hai hình cầu B a , B b hoặc rời nhau hoặc bằng nhau

Nếu B a B b , theo định lý 2.1.2 thì B a , B b phải lồng nhau Giả sử B a B b (*)

Mặt khác theo cách đặt B a , rõ ràng B a là hình cầu lớn nhất (chứa trong X) trong sốnhững hình cầu có cùng tâm a, bán kính r r1 , r2 , , r n , Theo định lý 2.1.2 ta có

thể khẳng định B b là một trong những hình cầu tâm a, bán kính r r1 , r2 , , r n ,

Cho X K Ký hiệu C(X K) chỉ tập các hàm liên tục từ X vào K Trên

C(X K) ta định nghĩa 2 phép toán “cộng” và “nhân” như sau

f g x f x g x ; f , g C X K , x X f x f x ; f , g C X

K , K , x X

Dễ dàng chứng minh C( X K ) là một không gian vectơ trên trường K

2.2.2 Định nghĩa:

Cho X K , ta nói ánh xạ f : X K là hàm hằng địa phương nếu x X , tồn tại lân cận

U của x sao cho f là hàm hằng trên U X

Ví dụ:

Cho X K , B là tập vừa đĩng vừa mở trong K, đặt V B X Ta cĩ

Ta cĩV B X V cũng là tập vừa đĩng vừa mở Giả sử x X

Cho X K , ta cĩ các kết quả sau

1 Mọi hàm hằng địa phương đều liên tục

2 Đặt LC X K hàm hằng địa phương f : X K , khi đĩ LC X K là

khơng gian vectơ con của khơng gian vectơ các hàm liên tục C X K trên trường K

Chứng minh:

1 Giả sử f : X K là hàm hằng địa phương Ta cần chứng minh f liên tục

Thật vậy, x 0X , theo giả thiết f là hàm hằng địa phương U là lân cận của x0 sao cho

Cho X K , f C X K Khi đó với 0 tùy ý, tồn tại một hàm hằng địa phương g : X K

sao cho f x g x ; x X , nói cách khác không gian các hàm hằng địa phương trù mậttrong không gian các hàm liên tục C X K

Đặc biệt, không gian các hàm hằng địa phương bị chặn cũng trù mật trong không gian các hàm liên tục bị chặn

Chứng minh:

Trên X ta định nghĩa một quan hệ như sau

x , y X , x y f x f y Dễ dàng chứng minh được là một quan hệ tương đương Mặt khác mỗi lớp tương đương x y X : x y là tập mở Thật vậy Giả sử y 0 x , do f liên tục

Mặt khác f liên tục nên theo kết quả chứng minh trên ta có

Với 0 cho trước, g LC X K : f x g x ; x X

Vậy tập các hàm hằng địa phương bị chặn trù mật trong không gian các hàm liêntục bị chặn

ª

2.2.5 Định lý Kaplansky:

Cho X K , X Compact và f C( X K ) Khi đó với mọi > 0 cho trước, tồn tại một

đa thức P : K K sao cho P(x) – f(x) < ; x X

Chứng minh:

Giả sử x0X và 0 Khi đó x B x0 , , hiển nhiên các hình cầu B x 0 , , B x, là một phủ

của X Theo giả thiết X là tập Compact nên theo định lý

2.1.4, tồn tại một phủ con hữu hạn gồm nhiều hình cầu rời nhau, giả sử

X B x 0 , B x1 , B x 2 , B x m ,

Không mất tính tổng quát ta chọn 0 X , tịnh tiến x0 = 0 và x1, x2,…, xm X thành c1,

c2,…, cm sao cho X B 0, B c1 , B c2 , B c m , , trong đó

Vậy phát biểu trên đúng với m = 1

Giả sử phát biểu trên đúng với (m – 1), nghĩa là tồn tại nj N, j {1,2,…,m-1} sao cho

Ta tiếp tục chứng minh định lý với f C( X K )

Từ giả thiết X K , f C( X K ) và > 0, theo định lý 2.2.4 ta tìm được một hàm

hằng địa phương g : X K sao cho f x g x

Ta có x X , r x 0 sao cho g là hàm hằng trên B x , r x

Mặt khác X là tập Compact và B x , r x là phủ của X nên theo định lý 2.1.4 tồn

; x X

2.3 Không gian các hàm liên tục C( Zp Cp ):

2.3.1 Chuẩn trên không gian vectơ:

Cho E là không gian vectơ trên trường( K , ) Ta nói chuẩn trên E là ánh xạ : E

R thỏa các điều kiện sau

i) x E , x 0 và x 0x 0

ii) x E ,K , x x

iii) x , y E , x y x y

Nếu thoả điều kiện mạnh hơn iii) là

iii)’ x , y E , x y Max x , y thì ta nói là chuẩn phi-Archimedean

Không gian vectơ E trên trường K được trang bị thêm một chuẩn được gọi là không gian định chuẩn trên K

2.3.2 Mệnh đề (chuẩn trên C( Zp Cp )):

Trong C( Zp Cp ), ánh xạ : C Z p C p R được xác định như

sau: f Max f ( x ) p , x Z p là chuẩn phi-Archimedean trên C( Zp C p )

Chứng minh:

f , g C Z p C p , C p , x Z p

Hiển nhiên f 0 và f 0 f 0

f g Max f x g x p , x Z p Max f x p , g x p ; x Z p Max f , g

Vậy là chuẩn phi-Archimedean trên C( Zp Cp )

Cho E, F là các không gian định chuẩn trên trường K Ta nói ánh xạ K-tuyến tính

A : E F là liên tục nếu A biến một dãy có giới hạn tiến tới 0 trong E thành một dãy cógiới hạn tiến tới 0 trong F

2.3.4.2 Định lý :

Anh xạ K-tuyến tính A : E F liên tục nếu và chỉ nếu tồn tại M 0 sao cho

A( x ) M x ; x E

2.3.5 Phép đẳng cự:

tuyến tính f : E F là phép đẳng cự nếu f bảo toàn chuẩn

Nói cách khác f là phép đẳng cự khi và chỉ khi f x x ; x E 2.4

Cơ sở trực giao – cơ sở trực chuẩn:

Cho( E, ) là một không gian Banach trên trường K, trong đó là chuẩn Archimedean

phi-2.4.1 Định nghĩa:

Với mọi phần tử x, y thuộc E, ta nói x trực giao y nếu x inf x y , K , ký hiệu x y

Chứng minh:

1

( ) Hiển nhiên x y x inf x y , K x y ; K

( ) Để chứng minh x y ta sẽ chứng minh x inf x y , K

2.4.4 Tập hợp trực giao – Tập hợp trực chuẩn:

1 Cho x E và D1 , D2 E Ta nói

x D1 nếu x d ; d D1

D1 D2 nếu d1 d2 ; d1 D1 , d2 D2

2 x1 , x 2 , , x n , E là một tập hợp trực giao nếu với mỗi số tự nhiên nthì x n x1 , x 2 , , x n 1 , x n1 , trong đó ký hiệu chỉ không gian con sinh sinh bởi hệvectơ x1 , x 2 , , x n 1 , x n 1

Hơn nữa ( E2 , ) cũng là một không gian Banach trên trường K Thật vậy

Giả sử x n , y n n N E2 là dãy Cauchy

Ta sẽ chứng minh e1 e2 ; e1 e3 ;e2 e3 nhưng e1 , e2 ,e3 không phải là tập hợp trực

Hoàn toàn tương tự e2 e3

Tuy nhiên e1 , e2 ,e3 không phải là tập hợp trực giao vì e3 1,1 0,0 nên e3

không thể trực giao với

ª

2.4.5 Định lý :

Cho x1 , x2 , E , ta có các kết quả sau

1 x1 , x 2 , , x n , là tập hợp trực giao khi và chỉ khi x1 , x2 , , x n là tập trựcgiao n N

3. x1 , x2 , , x n là tập trực giao khi và chỉ khi

2

( ) Ta có x1 , x2 , , x n là tập trực giao x j x1 , x2 , , x j1 , x j1 , , x n ;1 j n

j m 1 n

j x j

Vậy j x j Max j x j ,1 j n

j 1

Khi n = 2, theo giả thiết ta có 2x2 1x1 2x2 2x2 1x1 1x1

n 1 n i 1 n n

Rõ ràng dãy Max i ,1 i n n N là dãy dương, tăng x Max i , n N

3 Ta cĩ 0 x x n e n n e n nn e n

Ap dụng kết quả chứng minh trên ta cĩ 0 0 n n ; n n n ; n ª

2.4.8 Định lý:

Nếu e1 , e2 , , e n , là tập trực chuẩn và e1 , e2 , , e n , trù mật trong E thì

e1 , e2 , , e n , là cơ sở trực chuẩn của E

Vậy A là ánh xạ K-tuyến tính liên tục

Bây giờ ta sẽ chứng minh A là tồn ánh

Theo định lý 1.4.2 ta cĩ coo 1, 1 , , n , c 0 :n 0, n đủ lớn trù mật trong c o

Anh xạ A thu hẹp trên c oo là một phép phép đẳng cự vì

Lại có A(c o ) chứa không gian sinh trù mật e1 , e2 , , e n ,

y E e1 , e2 , , en , , dãy yn e 1 , e 2 , , e n , sao cho lim y n y

1 j

0 và n

1; j, n N , j n nn

3 Trước tiên ta xét trường hợp x, y N Với X C p ta có

f x có nhiều hơn n nghiệm

mà f x là hàm đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng n

f y có nhiều hơn n nghiệm

mà f y là hàm đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng n

x k x

;

n N k

n n

Theo chứng minh trên ta có

i) Với mỗi f C( Zp Cp ), tồn tại duy nhất các phần tử a0, a1,… Cp sao

x n

p

mật trong C(Zp C p )

Lấy f C(Zp Cp), theo định lý Kaplansky ta có f xấp xỉ với một hàm đa thức

trong C(Zp Cp), kết hợp với kết quả chứng minh trên ta có

0 12n

tục C( Zp Cp )

ª

x x

2.6.4 Định lý:

Max a0p , a1p , , a n p Max f 0 p , f 1 p , , f n p

Nếu f C( Zp Cp ) có biểu diễn Mahler là

biểu diễn Mahler là xf (x) n a n a n1 x

Chương 3:

HỆ SỐ MAHLER CỦA MỘT SỐ HÀM CƠ BẢN

Chương này chúng tôi sẽ trình bày cách biểu diễn hệ số Mahler của một sốhàm liên tục cơ bản như hàm số mũ, hàm exp, hàm sin, hàm cos, hàm p-adicGamma, tổng vô hạn của hàm liên tục và hàm lũy thừa Đồng thời ở cuối chương,chúng tôi mở rộng cơ sở và hệ số Mahler trên không gian các hàm liên tục hai biến

3.1.1.4 Định nghĩa:

Cho trước t E

e x pt : Z P C P

3.1.2 Định lý (hệ số Mahler của hàm exp):

Cho trước t E , ta có exp tx exp t 1 n x ; x ZP

Tương tự, trong giải tích phức các hàm sin và cos có các khai triển Taylor là