Đạo hàm riêng

Đạo hàm riêng

1 Đạo hàm riêng

1 Cho f : D  ℝ và A(a, b)  D

 Đạo hàm riêng

(A) = lim

→

( , ) ( , )

(A) = lim

→

( , ) ( , )

Kí hiệu và ,

 DHR = DH của hàm riêng

(a, b) = ( , )|

(a, b) = ( , )|

2 Cho f : D  ℝ

 Hàm f có DHR trên D  có DHR tại  X  D

 DHR cấp một

: D  ℝ, (x, y)  (x, y)

: D  ℝ, (x, y)  (x, y)

Tập C1(D, ℝ)

3 Qui tắc tính như hàm một biến

1) Đạo hàm theo x xem y là hằng số và ngược lại 2) Tổng (hiệu), tích (thương) có DHR

3) Hàm sơ cấp thuộc lớp C1 bên trong D

Ví dụ Khảo sát tính chất C1

1) f(x, y) = x3 + y3 – 3xy

Giải

 f  C1(D = ℝ2)

= 3x2 – 3y và = 3y2 – 3x

2) f(x, y) = với x + y  0 và f(0, 0) = 0

Giải

 Maple (1) Hàm f  C1( x + y  0 )

( ) =

( ) , =

( )

 Tại (0, 0)

( , ) ( , )

= 0

→

⎯⎯ 0 = (0, 0)

( , ) ( , )

= 0

→

⎯⎯ 0 = (0, 0)

 Hàm có DHR nhưng không liên tục tại (0, 0)

3) f(x, y) = với (x, y)  (0, 0) và f(0, 0) = 0

Giải

 Maple (2) Hàm f  C1((x, y)  (0, 0))

= −

( )

, =

( )

 Tại (0, 0)

| f(x, y) |  | y |2

( , )⎯⎯ 0 = f(0, 0) Hàm liên tục

( , ) ( , )

= 0

→

⎯⎯ 0 = (0, 0)

( , ) ( , )

= | |

→

⎯⎯ 0 = (0, 0) Hàm có DHR

| (x, y) |  | x |

( , )⎯⎯ 0 = (0, 0)

| (x, y) |  3| y |

( , )⎯⎯ 0 = (0, 0) DHR liên tục

2 Hàm hợp

1 Cho các hàm

(u, v) : D  ℝ2, (x, y)  (u(x, y), v(x, y))  E

f : E  ℝ, (u, v)  f(u, v)

 Hàm hợp

g : D  ℝ, (x, y)  f(u(x, y), v(x, y))

2 (Đạo hàm hàm hợp)

(u, v)  C1(D), f  C1(E)  g  C1(D)

3 Cho các hàm

u : D  ℝ, (x, y)  (x, y)  I

f : I  ℝ, u  f(u)

 Hàm hợp

g : D  ℝ, (x, y)  f(u(x, y))

 u  C1(D), f  C1(I)  g  C1(I)

= ( ) và = ( )

4 Cho các hàm

(u, v) : I  ℝ2, x  (u(x), v(x))  E

f : E  ℝ, (u, v)  f(u, v)

 Hàm hợp

g : I  ℝ, x  f(u(x), v(x))

 (u, v)  C1(I), f  C1(E)  g  C1(I)

Ví dụ Tính các đạo hàm riêng

1) z = ln(x2 + y2)

Giải

 z = ln(u) với u = x2 + y2

f’(u) = , = 2x , = 2y

2) z = f(u, v) với u = sin(x) , v = cos(x)

Giải

u’(x) = cos(x), v’(x) = –sin(x)

 z’(x) = cos(x) – sin(x)

3) z = f(u, v) với u = x + y và v = x – y

Giải

= 1, = 1 , = 1, = –1

 = + , = –

3 Hàm ẩn

1 Cho f : D  ℝ

 f(x, y) = 0  y = (x), x  I ?

Ví dụ Tìm hàm ẩn

1) xy – x2 + 1 = 0

Giải

 PT   ! y = x – với x  0

 y  C1(ℝ – {0}) và y’(x) = 1 +

2 (Đạo hàm hàm ẩn) Cho f  C1(D, ℝ), A(a, b)  D0 : f(A) = 0 và (A)  0

Khi đó  !   C1(I, J) :

1) f(x, y) =

( , ) 0  y =

( ) (x)

2) ’(x) =

( )−

 Hàm (x) là hàm ẩn, xác định bởi f(x, y) = 0

Ví dụ Khảo sát hàm ẩn

1) x2 + y2 = 1

Giải

 f(x, y) = x2 + y2 – 1

f  C1(D = ℝ2)

f’x = 2x, f’y = 2y  0  y  0

 y  0

x2 + y2 = 1  y = y(x)  C1(y  0)

y’(x) = −

 y > 0 (y < 0)

x2 + y2 = 1  y = √1 −  C1(y > 0)

y’(x) = −

2) arctan( ) = ln +

Giải

 f(x, y) = arctan( ) – ln +  C1(x  0)

 A(a, b  – a)

PT  y = (x)  C1(a)

y(x) = –

= −

( ) = − .

( )

3 (Hàm nhiều biến) Cho f  C1(, ℝ), A(a, b, c)  0: f(A) = 0 và (A)  0

Khi đó  !   C1(D, J) :

1) f(x, y, z) =

( , , ) 0  z =

( , ) (x, y)

( , ) − , =

( , ) −

4 Đạo hàm cấp cao

1 Cho f : D  ℝ

 DHR của DHR cấp (n–1) là DHR cấp n

(x, y) = { ( , )} (x, y) = { ( , )}

 Các kí hiệu , , ,

Tập Ck(D, ℝ)

2 Các tính chất như đạo hàm một biến

1) Tổng (hiệu), tích (thương) của hàm lớp Ck

2) Hàm hợp của hàm lớp Ck

3) C(D, ℝ)  Ck(D, ℝ)   C(D, ℝ)

4) Hàm sơ cấp thuộc lớp C bên trong D

Ví dụ Tính các DHR cấp hai của f(x, y) =

Giải

 f  C( x + y  0 )

( ) , = −

( )

= −

( ) , = ( )

( )

Maple (3)

3 (Định lý Schwarz) Cho f  C1(D, ℝ)

 DHR cấp cao không phụ thuộc thứ tự đạo hàm

Ví dụ Khảo sát hàm

f(x, y) = , (x, y)  (0, 0) và f(0, 0) = 0

Giải

 f  C(ℝ2 – (0, 0))

=

( )

 Tại (0, 0)

f(x, 0) = f(0, y) = 0  f x(0, 0) = f y(0, 0) = 0

| (x, y) |  | y | , | (x, y) |  | x |

( , )⎯⎯ 0

 f  C1(ℝ2)

( , ) ( , )

= –1

→

⎯⎯ –1 = (0, 0)

( , ) ( , )

= 1

→

⎯⎯ 1 = (0, 0)  (0, 0)