Số thực hàm số

Các tính chất 1 Giới hạn tồn tại duy nhất 2 Giới hạn bảo toàn phép toán 3 Giới hạn bảo toàn thứ tự 4...  KX là trường các phân thức hữu tỷ 3...  Các hàm khác là không phải là hàm sơ cấ

Số thực

1 Số thực

1.1 Số thực

1 Các tiên đề

 {0, 1}  ℕ  ℤ  ℚ  ℝ 1) (ℝ, +, ) là trường số thực 2) (ℝ, ) là trường sắp thứ tự toàn phần

3) Tập số thực liên tục

 (x < y)  ℝ,  x < r  ℚ < y

2 Kí hiệu ℝ∗ = { x  ℝ : x > 0 }

 Phép lũy thừa nguyên

x0 = 1, xn = x x (n lần) và x–n = (xn)–1

 Căn bậc n y = √  x = yn

3 Đại lượng vô hạn  và ℝ =

ℝ  {–, +}

– < a < +

a +  = ,  +  =  :  –  =

?

a   = ,    =  : 0   = ?

= 0, = ∞ : =?,

=?

4

 Trị tuyệt đối  x  =

ℎ ≥ 0

− ℎ < 0

 Khoảng cách d(x, y) =  x – y 

5 Các khoảng số thực

 (a, b) = { x  ℝ : a < x < b } [a, b), (a, b], [a, b] , , ℝ và ℝ

 Cho I = <a, b>

I = {a, b}, I̅ = I  {a, b},

I0 = I – {a, b}

 Lân cận của điểm (a) = (a – , a + )

1.2 Dãy số thực

1 Dãy số thực (un)nℕ

 : ℕ  ℝ, n  (n) = un

 Tập S(ℝ), quan hệ thứ tự và phép toán

 Dãy bị chặn, dãy đơn điệu

2 Giới hạn của dãy số



→ un = ℓ    > 0,  N : 

n > N, un – ℓ < 



→ un =  

→ = 0

 Dãy hội tụ nếu có

→ un = ℓ, trái lại dãy phân kỳ

3 Các tính chất

1) Giới hạn tồn tại duy nhất

2) Giới hạn bảo toàn phép toán

3) Giới hạn bảo toàn thứ tự

4 Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn

1) Dãy bị kẹp

,

→

⎯⎯ ℓ  ⎯⎯ ℓ → 2) Dãy đơn điệu

≤

≤ 

→

⎯⎯ ℓ

2 Số phức

2.1 Dạng đại số

1 Cho (x, y)  ℝ2 và i = √−1 Số phức

z = x + iy

 Các kí hiệu x = re(z), y = im(z),

i

ℂ = { z = x + iy : x, y

 ℝ}

2 Các phép toán và quan hệ

 x + iy = x’ + iy’  x = x’ và y

= y’

 (x + iy) + (x’ + iy’) = (x + x’) + i(y + y’)

(x + iy)  (x’ + iy’) = (xx’ – yy’) + i(xy’ + x’y)

3 Lũy thừa và khai căn

 z0 = 1, zn = zn–1  z, z–n = (z–1)n

 w = √ ≠ 0  z = wn

4 Liên hợp phức z = x – iy 1) + = +

2) = = ( ) 2) z = (z) =

5 Module  z  = +

1)  z   0 và  z  = 0  z = 0

2)  .z  =    z  3)  z + z’    z  +  z’ 

  zn  =  z n  z–1  =  z –1

= | |

| |

2.2 Dạng lượng giác

1 Cho z = x + iy  0, r = | z | > 0

!   (–, ] : cos = và sin =

 Argument arg(z) = 

Arg(z) =  + 2ℤ

Arg(0) = 0

 Dạng lượng giác

z = r.(cos + i.sin) = r.ei

2 Các phép toán

 rei  ei = (r)ei( + ) (r

ei )n = rn ein

(ei )–1 = –1 e–i



 

=

 ei( – )

 Chuẩn hóa argument

  , n =  + k2 với – <  

 và k  ℤ

lấy  thay cho   , n

3 Cho z = r.ei  0

w = √  w = √ e

, k = 0…(n–1)

4 Phương trình đại số

1) az2 + bz + c = 0 với a  0,  =

b2 – 4ac

   0, z1,2 = ±√∆

  < 0, z1,2 = ± √ ∆

2) zn = 1  z = e = k với

k = 0…(n–1)

 n = 2p : 0 = 1, p = –1 và k =

k n

 , k = 1…(p–1)

 n = 2p+1 : 0 = 1 và k = nk,

k = 1…p

3 Đa thức

3.1 Đa thức

1 Cho K = ℝ hoặc ℂ Đa thức

A = a0 + a1X + + anXn

 Các kí hiệu

X, ak  K, an  0 và deg(A) = n

2 Các phép toán và quan hệ

 A = B   ak = bk

 A + B = (ak + bk) A = ( ak )

A  B = ( ck = ∑ )

 ℝ[X] là đại số các đa thức trên trường số thực

3 Phép chia Euclide

! (Q, R) : A = BQ + R với

deg(R) < deg(B)

 Thương Q, phần dư R

3.2 Phân tích đa thức

1 Quan hệ chia hết

B | A  R = 0

 Bội A, ước B, ước thực sự 0 < deg(B) < deg(A)

 Đa thức không có ước thực sự là bất khả qui

A = P … P với Pk bất khả qui

2 Trên trường số phức

1) A(z) = 0 có đúng n nghiệm phức

2) A = ∏ ( − )

 Bất khả qui : X – a

3 Trên trường số thực

1) A( + i) = 0  A( – i) = 0

2) A = ( − ) ∏ − +

 Bất khả qui : X – a hoặc X2 –

bX + c với  < 0

3.3 Phân thức

1 Phân thức hữu tỷ

F = với (A, B) = 1

 deg(F) = deg(A) – deg(B), phân thức thực sự

Không điểm, cực điểm

2 Các phép toán và quan hệ

 =  A.D = B.C

+ = . .

.

 K(X) là trường các phân thức hữu tỷ

3 Phân tích phân thức

 F = = E + , deg(R) <

deg(B)

 B = ∏ ( − ) ∏ −

+

F = E + ∑ ∑

− +

 Phân thức đơn :

( ) và

Hàm số

1 Hàm số

1.1 Hàm số

1 Cho I  ℝ Hàm số

f : I  ℝ, x  y = f(x)

 Biến x, hàm y, D(f) = I, V(f) = f(I)

 Đồ thị G(f) = { (x, f(x)) : x  I } Maple (1)

2 Quan hệ hàm – biến

 Biểu thức y = f(x)

y = 2x + 1, I = ℝ

y = , I = (–, 0) (0, +)

= 1 − , < 0

, ≥ 0

 Phương trình F(x, y) = 0

x – y + 2 = 0  y = x + 2

x3 + y3 – 3xy = 0

 Hệ phương trình x = x(t), y = y(t)

x2 + y2 = 1

x = cos(t), y = sin(t)

 Tập xác định I = { x  ℝ :  f(x)

<  }

3 Kí hiệu F(I, ℝ) = { f : I  ℝ }

 f  g   f(x)  g(x)

 (f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f.g)(x) = f(x)g(x)

( ) = ( )

( )

Ví dụ Cho f : x  2x + 1 và

g : x  sin(x)

Maple (2)

4

 Cho f : I  ℝ và g : J  ℝ : f(I)

 J Hàm hợp

gof : I  ℝ, x  g[f(x)]

 Cho f : I  ℝ là đơn ánh và J = f(I) Hàm ngược

f–1 : J  ℝ, x  y : x = f(y)

Ví dụ Cho f : x  2x + 1 và

g : x  sin(x)

Tìm fog, gof, f–1 và g–1

Giải

 D(f) = D(g) = ℝ

fog(x) = f(g(x)) = 2(sinx) +1

gof(x) = g(f(x)) = sin(2x + 1)

 f đơn ánh trên ℝ

y = 2x + 1  x = (y – 1)

f–1 : ℝ  ℝ, x  y = (x – 1)

 x = 2y + 1

 g là đơn ánh trên [− , ]

y = sin(x)  x = arcsin(y)

g–1 : ℝ  ℝ, x  y = arcsin(x) 

x = sin(y)

Maple (3)

1.2 Các tính chất

1 Hàm f : I  ℝ là

 bị chặn trên  f(x )  M

 bị chặn dưới, bị chặn

2 Hàm f : I  ℝ là

 hàm chẵn  f(–x ) = f(x)

 hàm lẻ  f(–x ) = – f(x)

3 Hàm f : I  ℝ là

 tuần hoàn   T : f(x + T) = f(x)

 T0 = min{T  0} là chu kỳ

Maple (4)

4 Hàm f : I  ℝ là

 tăng  x < x’  f(x)  f(x’)

 giảm, đơn điệu, đơn điệu thực sự

 điểm cực trị, cực đại, cực tiểu

5 Hàm f : I  ℝ là

 lồi  Tiếp tuyến (a) >> Đồ thị (a)

 lõm trên I, lõm

 điểm uốn

Maple (5)

2 Các hàm sơ cấp

2.1 Hàm lũy thừa

1 Hàm lũy thừa

y = xm với m  ℚ

 D(f) và tính chất phụ thuộc m

 x0 = 1 x–n = (xn)–1

(xn)m = xnm

xn ym = xn+m (xy)n = xn yn

= Maple (6)

2 Đa thức, hữu tỷ, vô tỷ

 y = x2 – 3x + 2

 y = , x + 1  0

 y = ,  0, x – 1  0

2.2 Hàm mũ

1 Hàm mũ

y = ax với 0 < a  1

 D(f) = ℝ, V(f) = ℝ∗ và tính chất

phụ thuộc a

 a0 = 1 ax ay = ax+y

a–x = (ax)–1 (ax)y = axy

 y = ex với e = lim

→ 1 +

2 Hàm lôga

y = loga(x)  x = ay

 D(f) = ℝ∗ , V(f) = ℝ và tính chất phụ thuộc a

 loga(1) = 0 loga(x) + loga(y) = loga(x.y)

loga(x–1) = – logax logb(x) =

logb(a).loga(x)

 y = loge(x) = ln(x)

Maple (7)

3

 ax = exln(a) loga(x) = ( )

( )

x = eln(x)

 y = ln(x + 2), x + 2 > 0

y = (x + 1)x , 0 < x + 1  1,

2.3 Hàm lượng giác

1 Hàm lượng giác

 y = cos(x) = (eix + e–ix)

 y = sin(x) = (eix – e–ix)

 y = tan(x) = ( )

( )

Maple (8)

2 Hàm lượng giác ngược

 y = arccos(x), –1  x  1

 x = cos(y), 0  y  

 y = arcsin(x), –1  x  1

 x = sin(y), −

 y 

 y = arctan(x), – < x < +

 x = tan(y), −

< y <

Maple (9)

3

 y = cos(2x + 1)

y = 3sinx + 2

 y = arcsin(x – 1)

2.4 Các hàm sơ cấp

 Các hàm sơ cấp cơ bản

 Tổng (hiệu), tích (thương), hàm hợp, hàm ngược, hàm ghép của hàm sơ cấp là hàm sơ cấp

 Các hàm khác là không phải là hàm sơ cấp

Ví dụ Các hàm không phải hàm sơ cấp

a) si(x) = ∫ ( )

b) (x) = 1 ℎữ ỷ

0 ô ỷ