Một số ứng dụng của tích phân hàm số một biến

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM———————– Nguyễn Hữu Trí MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khóa luận: TS... Nội dung ứng dụng của tíc

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

———————–

Nguyễn Hữu Trí

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

CỦA TÍCH PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khóa luận:

TS Hoàng Nhật Quy

ĐÀ NẴNG, 5/2023

Mục lục

1.1 Khái niệm tích phân hàm số một biến 6

1.1.1 Dãy chuẩn tắc những phép phân hoạch 6

1.1.2 Định nghĩa tích phân xác định 7

1.2 Một số tính chất của tích phân 7

1.2.1 Các tính chất của tích phân 7

1.2.2 Tính chất so sánh của tích phân 8

1.2.3 Định lý về giá trị trung bình 8

1.3 Định lý cơ bản của giải tích 9

1.4 Đổi biến trong tích phân xác định 11

1.5 Một số dạng tích phân của hàm số một biến 12

1.5.1 Tích phân hàm hữu tỷ 12

1.5.2 Tích phân hàm vô tỷ 14

1.5.3 Tích phân hàm lượng giác 19

2 Một số ứng dụng của tích phân hàm số một biến 23 2.1 Ứng dụng của tích phân tính diện tích và thể tích 23

2.1.1 Tính diện tích 23

2.1.2 Tính thể tích vật thể 25

2.2 Ứng dụng tính độ dài cung 27

2.3 Ứng dụng tính diện tích mặt cong 29

2.4 Một số ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật 32 2.4.1 Tính vận tốc từ gia tốc, tính quãng đường từ vận tốc 32

2.4.2 Lực thủy tĩnh 34

2.5 Một số ứng dụng trong kinh tế và sinh học 36

2.5.1 Ứng dụng trong kinh tế 36

2.5.2 Ứng dụng trong sinh học 41

2.6 Ứng dụng trong xác suất 45

Với vốn kiến thức còn hạn hẹp của bản thân và thời gian hạn chế, việchoàn thành khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót Em mong nhậnđược những ý kiến đóng góp và xây dựng của quý thầy cô để bài Khóa luậntốt nghiệp của em được hoàn thành chỉn chu hơn.

Em xin chân thành cảm ơn

MỞ ĐẦU

1 Lý do lựa chọn đề tài

Trong chương trình toán học phổ thông, tích phân là một nội dung bắtbuộc và có nhiều ứng dụng trong thực tế Trong các chương trình toán caocấp, tích phân ứng dụng nhiều trong các bài toán về lý thuyết (xem thêmnội dung [2],[3]) Nội dung ứng dụng của tích phân hàm số một biến số rất

đa dạng như tính thể tích, diện tích, ứng dụng trong kinh tế, kĩ thuật và yhọc Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết tích phân hàm số mộtbiến số và đặc biệt là các ứng dụng của nó trong các bài toán thực tế Dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo TS Hoàng Nhật Quy, em đã chọn đề tài nghiêncứu "Một số ứng dụng của tích phân hàm số một biến" cho khóa luậntốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu một số ứng dụng tích phân của hàm

số một biến để tính các bài toán như diện tích, thể tích của vật thể, tính độdài cung, diện tích mặt cong, ứng dụng trong sinh học, kinh tế, vật lí và kỹthuật

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

a Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là tích phân hàm số một biến, các bàitoán về ứng dụng tích phân hàm số một biến

b Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của đề tài thuộc lĩnh vực Giải tích thực

4 Cấu trúc luận văn

Cấu trúc của luận văn gồm các phần chính sau đây:

• Mở đầu:

• Phần nội dung: Nội dung chính của luận văn gồm có 2 chương cụ thểnhư sau:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của tíchphân hàm số một biến số Các kiến thức của chương này sẽ bổ trợ cho phầnnghiên cứu của Chương 2

Chương 2: Một số ứng dụng của tích phân hàm số một biến sốChương này trình bày về các ứng dụng của tích phân hàm số một biếnnhư tính diện tích, thể tích, độ dài cung, một số ứng dụng trong vật lý và kỹthuật, kinh tế và sinh học

• Kết luận

• Tài liệu tham khảo

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này chủ yếu trình bày về khái niệm tích phân hàm số một biến,một số tính chất của tích phân hàm số một biến và một số dạng tích phâncủa hàm số một biến Các nội dung của chương này được tham khảo từ cáctài liệu [1],[2],[3]

Ví dụ 1.1.1 Với mỗi số nguyên dương n, gọi Q

n là phép chia đoạn [a, b]

Định nghĩa 1.1.2 Nếu tồn tại một số I ∈ R sao cho với một dãy chuẩn

tắc bất kì Qn những phép phân hoạch đoạn [a, b] và với một cách chọnbất kì các điểm ξi ∈ [xi−1, xi],i = 1, 2, , pn, ta đều có

lim

n→∞σn = I

thì I được gọi là tích phân xác định của hàm số f trên đoạn [a, b], kí hiệu là

Z b a

f (x)dx = −

Z a b

f (x)dx Khi a = b thì

Z b a

f (x)dx = 0

Tính chất 2

Z b a

cdx = c(b − a) (c là hằng số tùy ý)

Tính chất 3.

Z b a



f (x) ± g(x)dx =

Z b a

f (x)dx ±

Z b a

g(x)dx

Tính chất 4

Z b a

cf (x)dx = c

Z b a

f (x)dx (c là hằng số tùy ý)

Tính chất 5

Z c a

f (x)dx +

Z b c

f (x)dx =

Z b a

f (x)dx (với c ∈ [a, b])

Tính chất 1 Nếu f không âm trên đoạn [a, b] thì

Z b a

f (x)dx ≥ 0

Tính chất 2 Nếu f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b] thì

Z b a

f (x)dx ≥

Z b a

g(x)dx

Tính chất 3 Nếu m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] thì

m(b − a) ≤

Z b a

f (x)dx ≤ M (b − a)

Định lý 1.2.1 Giả sử f khả tích trên [a, b] và m ≤ f (x) ≤ M với mọi

x ∈ [a, b] Khi đó, tồn tại µ ∈ [m, M ] sao cho

Z b a

mdx ≤

Z b a

f (x)dx ≤

Z b a

f (x)dx ≤ M

Đặt µ = 1

b − a

Z b a

f (x)dx ta thấy thỏa mãn kết luận của định lí

Hệ quả 1.2.2 Nếu f là một hàm số liên tục trên [a, b] thì tồn tại ít nhấtmột điểm c ∈ [a, b] sao cho

Z b a

f (x)dx ∈[m, M ]nên theo định lí Bolzano-Cauchy, tồn tại ít nhất một số thựcc ∈ [a, b]

sao cho f (c) = µ

Định lí về giá trị trung bình có vai trò quan trọng trong việc chứng minhđịnh lí cơ bản của giải tích cổ điển, từ đó dẫn đến công thức Newton-Leibnitz,

là công cụ chính để tính tích phân xác định

Cho f là hàm số xác định và bị chặn trên [a, b] Xét hàm

F (x) =

Z x a

f (t)dt, x ∈ [a, b]

Kết quả sau đây gọi là định lý cơ bản của giải tích cổ điển

Định lý 1.3.1 (Định lí cơ bản của giải tích)

(i) Nếu f khả tích trên đoạn [a, b] thì F liên tục trên đoạn này

(ii) Nếu f liên tục trên đoạn [a, b] thì F là một nguyên hàm của f trong

(a, b)

Chứng minh

(i) Giả sử f bị chặn trên [a, b] bởi M > 0 Lấy x ∈ [a, b] bất kì và h ∈ R

sao cho x + h ∈ [a, b] Ta có

F (x + h) − F (x) =

Z x+h a

f (t)dt −

Z x a

f (t)dt =

Z x+h x

f (t)dt

Do vậy

F (x + h) − F (x) =

Z x+h x

f (t)dt

Nếu hàm R(sin x, cos x) có các tính chất đặc biệt như:

1) R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x) thì ta dùng phương pháp đổi biến số

t = tan x hoặc t = cot x

2) R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x) thì ta dùng phương pháp đổi biến số

1) Nếu một trong các số mũ m hoặc n là số dương lẻ, chẳng hạn, n lẻ thì tađặt t = sin x (m là số dương lẻ thì đặt t = cos x)

2) Nếu m, n đều chẵn và một trong hai số đó là số âm thì ta đặt t = tan x.3) Nếu m, n đều là các số dương chẵn, thì ta dùng các công thức biến đổi

Lời giải

Ta có n = 3 là một số lẻ, nên có thể đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx

Chương 2

Một số ứng dụng của tích phân hàm số một biến

Chương này trình bày một số ứng dụng của phép tính tích phân trongmột số lĩnh vực như hình học (các bài toán tính diện tích, thể tích, độ dàicung), vật lý, kinh tế và sinh học Nội dung chủ yếu của chương này đượctham khảo từ các tài liệu [1],[3],[4],[5],[6]



f (x) − g(x)dx (2.1)

Ví dụ 2.1.1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

y = x2 và y = 2x − x2

Lời giải

x y

O

y = x 2

1 1



2x − x2 − x2dx =

Z 1 0

S =

Z b a

f (x) − g(x)

x y

4

π 2

(sin x − cos x)dx = 2√

2 − 2

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox

tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặtphẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x, (a ≤ x ≤ b) Giả sử S(x) là hàm

số liên tục trên đoạn [a, b] thì thể tích vật thể B được cho bởi công thức

V =

Z b a

Lời giải

Chọn hệ tọa độ có gốc O trùng với tâm khối cầu Cắt khối cầu bởi mặtphẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x ∈ (−r, r) ta được thiết diện là hìnhtròn có bán kính là u = √

V = π

Z b a

f2(x)dx (2.4)

b) Cho hàm sốx = g(y)liên tục trên đoạn[a, b] Gọi(H)là phần hình phẳnggiới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y), trục Oy, hai đường thẳng y = c, x = d.Quay hình phẳng (H) quanh trục Oy ta được vật thể tròn xoay có thể tích

V = π

Z d c

x y

1

0

= 2π15

Cho đường cong C xác định bởi hàm số y = f (x) khả vi liên tục trênđoạn [a, b]

Hình 2.1:

Chia đoạn[a, b]thànhnphần bằng nhau bởi các điểmx0 = a, x1, , xn =

Pi−1Pi

Pi−1Pi