Khảo sát hàm số

Khảo sát hàm số 1.. Phương trình chính tắc 1.. Khảo sát đơn điệu 1... Khảo sát lồi lõm 1.. Khảo sát tiệm cận 1... Phương trình tham số 1... Phương trình tọa độ cực 1.

Khảo sát hàm số

1 Phương trình chính tắc

1 Khảo sát đơn điệu

1 (Tính đơn điệu)

 Cho f : I ⎯⎯ ℝ và Z(f’) = { x  I : f’(x) = 0} 1) f = const  f’(x) = 0

2) f   f’(x)  0 và Z(f’) rời rạc

3) f   f’(x)  0 và Z(f’) rời rạc

2 (Cực trị)

1) f’(x) đổi dấu “+” qua “–” : a là CD

2) f’(x) đổi dấu “–” qua “+” : a là CT

3) f’(x) không đổi dấu : a  cực trị

Ví dụ Khảo sát tính đơn điệu của y = x2 e–x

Giải

 D(f) = ℝ

f’(x) = (2x – x2)e–x = 0  x = 0 và x = 2

 Bảng xét dấu

f’ – 0 + 0 –

f

 ymin = f(0) = 0, ymax = f(2) = 4e–2

Maple (1)

2 Khảo sát lồi lõm

1 (Tính lồi lõm)

 Cho f : I ⎯⎯ ℝ và Z(f”) = { x  I : f”(x) = 0} 1) f = ax + b  f”(x) = 0

2) f lõm  f”(x)  0 và Z(f”) rời rạc 3) f lồi  f”(x)  0 và Z(f”) rời rạc

2 (Điểm uốn)

1) f”(x) đổi dấu : a điểm uốn

2) f”(x) không đổi dấu : a  uốn

Ví dụ Khảo sát tính lồi lõm của y = (1 – x2)ex

Giải

 D(f) = ℝ

f”(x) = –(x2 + 4x + 3)ex = 0  x = –1 và x = –3

 Bảng xét dấu

x – –3 –1 +

f’(x) – 0 + 0 –

f(x)

 I1(–3, –8e–3) và I2(–1, 0)

Maple (2)

3 Khảo sát tiệm cận

1 (Tiệm cận)

Cho f : I  ℝ và G(f) = { (x, y) : x  I, y = f(x) }

  là đường cong, M(x, y)  G(f)

d(M, ) = min{ MN : N   }

M(x, y)    x   hoặc y  

  là tiệm cận  d(M,  )

→

⎯⎯⎯ 0

2 (Tiệm cận thẳng) Ax + By + C = 0

1) (x  a, f(x)  ) TCD : x = a

2) (x  , f(x)  b) TCN : y = b

3) (x  , f(x)  )

 ( )

→

⎯⎯ a TCX : y = ax + b

f(x) – a.x

→

⎯⎯ b 4) Các trường hợp khác không có tiệm cận thẳng

Ví dụ Khảo sát tiệm cận của y = x + √ + 1

Giải

 D(f) = (–, +)

 f(x) =

√ = 0  TCN : y = 0

 ( ) = √ = 2  TCX : y = 2x

(f(x) – 2.x ) =

√ = 0 Maple (3)

4 Sơ đồ khảo sát

1

1) Miền xác định

 Tìm I = D(f) , f(x)

 Tính bị chặn, đối xứng, tuần hoàn

2) Sự biến thiên

 Xét dấu f’  đơn điệu, cực trị

 Xét dấu f”  lồi, lõm, uốn

 Bảng biến thiên (x, y’, y”, y)

3) Tìm tiệm cận

 Tìm các loại tiệm cận thẳng

4) Vẽ đồ thị

 Hệ tọa độ, điểm mốc, tiệm cận

 Vẽ đồ thị theo bảng biến thiên

2

 Bỏ qua khảo sát tính lồi lõm

 Tiệm cận thẳng

 Các điểm mốc

Ví dụ Khảo sát và vẽ đồ thị y =

Giải

a) D(f) : 0 < x  1

f(+0) = 0, f(1±0) = ±, f(+) = +

b)

 f’(x) = = 0  x = e

 f”(x) = = 0  x = e2



x 0 1 e e2 + f’ – – 0 +

f

0

–

c)

 lim

± f(x) =  TCD x = 1

 lim ( ) = 0, lim (f(x) – 0.x) = 

Không có TCX

d) Maple (4)

Ví dụ Khảo sát và vẽ đồ thị y = ( − 2)

Giải

a) D(f) = (–, +) và f() = 

b)

 x  0, 2

f’(x) =

= 0  x =



x – 0 2 + f’(x) + – 0 + +

f(x)

+

− √ -

c)

 f(x) = 1 −

TCX y = −

d) Maple (5)

2 Phương trình tham số

1 Cho   (Oxy), M(x, y)  

 Phương trình của đường cong

+) f(x, y) = 0 (TQ)

+) x = x(t), y = y(t) (TS)

 Hai bài toán

2 Sơ đồ khảo sát x = x(t), y = y(t)

1) Miền xác định

 Tìm I = D(x)  D(y), điểm biên

 Tính bị chặn, tuần hoàn, đối xứng,

2) Sự biến thiên

 Xét dấu x’(t), y’(t) và y’(x) = ( )

( )

 Bảng biến thiên (t, x’, x, y’, y, y’(x))

3) Tiệm cận

 x(t)

→

⎯⎯ a, y(t)

→

⎯⎯  TCD x = a

x(t)

→

⎯⎯ , y(t)

→

⎯⎯ b TCN y = b

 (x(t), y(t))

→

⎯⎯ 

+) ( )

( ) ⎯⎯ a → TCX y = ax + b

y(t) – a.x(t)

→

⎯⎯ b +) Các trường hợp khác không có tiệm cận 4) Vẽ đồ thị

 Hệ tọa độ, điểm mốc, tiệm cận

 Vẽ theo t

Ví dụ Khảo sát x = , y =

Giải

a)

 I = (–,–1)  (–1, +)

± x(t) = 0, lim

± y(t) = 0

lim

± x(t) = , lim

± y(t) = 

b)

 x’(t) =

( ) = 0  t =

√ =  x() = √4 =  , y() = √2 = 

 y’(t) =

( ) = 0  t = 0, t =  x(0) = y(0) = 0, x() = , y() = 

 y’(x) =

( ) = 0  t = 0, t = 



c)

 lim

±

( ) ( ) = –1 , lim

± (y(t) + x(t)) = –1 TCX y = –x – 1

d) Maple (6)

3 Phương trình tọa độ cực

1 Tọa độ cực

 (O, ⃗ )

t – –1 0   + x’(t) + + 0 –

x(t)

+

 

–

y’(t) – – 0 + 0 –

y(t)

+





–

y’(x) – 0 +  –

 M  (r, )  ℝ+ (–,–] Tọa độ cực

 x = r.cos y = r.sin

r = + cos = , sin =

2 Tọa độ cực mở rộng

 (r, )  ℝ2  M

+) C(O, | r |)

+)  = 0 + k2, – < 0  : ( ⃗ , ⃗ ) = 0

+) M = T

 M(r, )  (r,  + 2)  (–r, )

 (r, –), –M(–r, ), – (–r, –)

Maple (7)

3 Sơ đồ khảo sát r = r()

1) Miền xác định

 Tìm I = D(r), điểm biên

 Tính bị chặn, đối xứng, tuần hoàn

2) Sự biến thiên

 Xét dấu r’()

 Tìm V = ( ⃗, ⃗)

tanV = ( )

( )

 Bbt(, r’, r, tanV)

y

x

r

M



O

M



V



3) Tiệm cận

 lim r() = R TCT r = R

 lim r() = 

+) X = rcos( – ), Y = rsin( – )

+) lim Y() = b TTC Y = b

4) Đồ thị

 Hệ toạ độ, điểm mốc, tiệm cận

 Vẽ theo chiều quay

Ví dụ Khảo sát và vẽ đồ thị r = 1 + 2cos 

Giải

a)

 D(r) = ℝ

 | r() | = |1+ 2cos()|  3, T = 2, r(–) = r() b)   [0, ]

 r’() = –2sin() < 0, tan(V) =



r()

3

1

0

–1 tan(V)  − 0 

c) Không có tiệm cận

d) Maple (8)

Ví dụ Khảo sát đường cong r = sin(3)

Giải

a)

 D(r) = ℝ

 | r() |  1, T = , r(–) = –r()

b)   [0, ]

 r’() = 3cos(3) = 0   =

tan(V) = tan 3



r’() + 0 –

r()

1

tan(V) 0  0

c) Không có tiệm cận

d) Maple (9)

Ví dụ Khảo sát đường cong r =

Giải

a)

 D = ℝ – {–1},

± r() =  , r() = 1 b)

 r’() =

( ) > 0, tan(V) = (1 + )



 – –1 0 + r’() + +

r()

+ 1

0

1 –

tanV + 0 0 + c)

 lim

± r.sin(1 + ) = –1, tiệm cận Y = –1

d) Maple (10)