Giai tich 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ TÍCH PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

Mục lục 1 Chương 1 . Hàm số một biến số (13LT+13BT) 5 1 Sơ lược về các yếu tố Lôgic; các tập số: N, Z, , R . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Trị tuyệt đối và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị và các khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuầ 3.1 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4 Dãy số 10 4.1 Bài tập 11 5 Giới hạn hàm số 14 6 Vô cùng lớn, vô cùng bé 15 6.1 Vô cùng bé (VCB) 15 6.2 Vô cùng lớn (VCL) 16 6.3 Bài tập 16 7 Hàm số liên tục 18 7.1 Bài tập 20 8 Đạo hàm và vi phân 22 8.1 Bài tập 24 9 Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 28 9.1 Các định lý về hàm khả vi 28 9.2 Qui tắc L’Hospital 28 10 Các lược đồ khảo sát hàm số 33 10.1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = f (x) 33 10.2 Khảo sát và vẽ đường cong cho dưới dạng tham số 34 10.3 Khảo sát và vẽ đường cong trong hệ toạ độ cực 35 10.4 Bài tập 35 Chương 2 . Phép tính tích phân một biến số 37 1 Tích phân bất định 37 2 MỤC LỤC 1.1 Nguyên hàm của hàm số 37 1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 39 1.3 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ 43 1.4 Tích phân hàm lượng giác 45 1.5 Tích phân các biểu thức vô tỷ 47 2 Tích phân xác định 49 2.1 Định nghĩa tích phân xác định 49 2.2 Các tiêu chuẩn khả tích 49 2.3 Các tính chất của tích phân xác định 50 2.4 Tích phân với cận trên thay đổi (hàm tích phân) 51 2.5 Các phương pháp tính tích phân xác định 51 2.6 Hệ thống bài tập 52 3 Các ứng dụng của tích phân xác định 59 3.1 Tính diện tích hình phằng 59 3.2 Tính độ dài đường cong phẳng 62 3.3 Tính thể tích vật thể 63 3.4 Tính diện tích mặt tròn xoay 65 4 Tích phân suy rộng 67 4.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn 67 4.2 Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn 69 4.3 Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ 70 4.4 Các tiêu chuẩn hội tụ 71 4.5 Bài tập 72 Chương 3 . Hàm số nhiều biến số 79 1 Giới hạn của hàm số nhiều biến số 79 1.1 Giới hạn của hàm số nhiều biến số 79 1.2 Tính liên tục của hàm số nhiều biến số 80 1.3 Bài tập 80 2 Đạo hàm và vi phân 81 2.1 Đạo hàm riêng 81 2.2 Vi phân toàn phần 82 2.3 Đạo hàm của hàm số hợp 82 2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao 83 2.5 Đạo hàm theo hướng Gradient 84 2.6 Hàm ẩn Đạo hàm của hàm số ẩn 85 2.7 Bài tập 85 3 Cực trị của hàm số nhiều biến số 92 3.1 Cực trị tự do 92

HÀM S Ố M T Ộ BI N Ế S Ố- TÍCH PHÂN - HÀM S Ố NHI U Ề BI NẾ SỐ

Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập và lời giải

Hà Nội- 2009

M ỤC LỤC

Mục lục 1

Chương 1 Hàm số một biến số (13LT+13BT) 5

1 Sơ lượ về các y uc ế tố Lôgic; các t pậ s :ố N, Z, , R 5

2 Trị tuy tệ đ i vàố tính ch tấ 5

3Đ nh nghĩa hàm s , t p xác đ nh, t p giá tr ị ố ậ ị ậ ị và các khái ni m: hàm ch n, hàm l , hàm tu ệ ẵ ẻ ầ 3.1 Bài t pậ 7

4 Dãy số 10

4.1 Bài t pậ 11 5 Gi i h nớ ạ hàm số 14

6 Vô cùng l n, ớ vô cùng bé 15

6.1 Vô cùng bé (VCB) 15

6.2 Vô cùng l nớ (VCL) 16

6.3 Bài t pậ 16 7 Hàm số liên t cụ 18

7.1 Bài t pậ 20

8 Đ o hàm ạ và vi phân 22

8.1 Bài t pậ 24

9 đ nhCác ị lý về hàm khả vi và ngứ d ngụ 28

9.1 Các đ nh ị lý v hàmề khả vi 28

9.2 Qui t c L’Hospitalắ 28

10 Các lược đ kh o sátồ ả hàm số 33

10.1 Kh o sát ả và v ẽ đ th c a hàm s ồ ị ủ ố y = f (x) 33

10.2 Kh o sát ả và v ẽ đ ng cong cho d i d ng ườ ướ ạ tham số 34

10.3 Kh oả sát và vẽ đ ngườ cong trong hệ toạ độ c c ự 35

10.4 Bài t pậ 35

Chương 2 Phép tính tích phân một biến số 37

1 Tích phân b tấ đ nhị 37

1.1 Nguyên hàm c aủ hàm số 37

1.2 Các phương pháp tính tích phân b t đ nhấ ị 39

1.3 Tích phân hàm phân th cứ h uữ tỷ 43

1.4 Tích phân hàm lượng giác 45

1.5 Tích phân các bi u th cể ứ vô tỷ 47

2 Tích phân xác đ nhị 49

2.1 Đ nh nghĩa tích phânị xác đ nhị 49

2.2 Các tiêu chu nẩ khả tích 49

2.3 Các tính ch t c a tích phânấ ủ xác đ nhị 50

2.4 Tích phân v i c n trên ớ ậ thay đ i (hàmổ tích phân) 51

2.5 Các phươ pháp tính tích phân xác đ nhng ị 51

2.6 H th ngệ ố bài t pậ 52

3 Các ng d ng c a tích phânứ ụ ủ xác đ nhị 59

3.1 Tính di n tíchệ hình ph ngằ 59

3.2 Tính đ dài đ ngộ ườ cong ph ngẳ 62

3.3 Tính th tíchể v t thểậ 63

3.4 Tính di n tích m tệ ặ tròn xoay 65

4 Tích phân suy r ngộ 67

4.1 Tích phân suy r ngộ v i c nớ vôậ h nạ 67

4.2 Tích phân suy r ngộ c a hàmủ số không bị ch nặ 69

4.3 Tích phân suy r ng h i t ộ ộ ụ tuy t ệ đ i ố và bán h i tụộ 70

4.4 Các tiêu chu nẩ h i tụộ 71

4.5 Bài t pậ 72

Chương 3 Hàm số nhiều biến số 79

1 Gi i h n c a hàm s nhi uớ ạ ủ ố ề bi nế số 79

1.1 Gi i h n c a hàm s nhi uớ ạ ủ ố ề bi nế số 79

1.2 Tính liên t c c a hàm s nhi uụ ủ ố ề bi nế số 80

1.3 Bài t pậ 80

2 Đ o hàm ạ và vi phân 81

2.1 Đ oạ hàm riêng 81

2.2 Vi phân toàn ph nầ 82

2.3 Đ o hàm c a hàmạ ủ số h pợ 82

2.4 Đ o hàm ạ và vi phân c pấ cao 83

2.5 Đ o hàm theo hạ ướ - Gradient 84ng 2.6 Hàm n - Đ o hàm c a hàmẩ ạ ủ số nẩ 85

2.7 Bài t pậ 85 3 C c tr c a hàm s nhi uự ị ủ ố ề bi nế số 92

3.1 C c trự ị tự do 92

MỤC LỤC 3 3.2 C c tr cóự ị đi uề ki nệ 94

33.3 Giá tr l n nh t - Giá trị ớ ấ ị nhỏ nh tấ 97

4 MỤC LỤC

Nêu qua đ nh nghĩa, ví d là các hàm s lị ụ ố ượng giác.

Trong ph m vi chạ ương trình ch ủ y u ế là xem có s ố T ƒ= 0(T > 0) nào đó th aỏ mãn

f (x + T) = f (x) mà không đi sâu vào vi c tìm chu kỳ (s ệ ố T > 0 bé nh t).ấ

6 Hàm h p: đ nh nghĩa ợ ị và ví d ụ

7 Hàm ng c:ượ

(a) Đ nhị nghĩa

(b) M i quan h gi a đ th c a haiố ệ ữ ồ ị ủ hàm

(c) Đ nh ị lý v ề đi u ki n đ đ t n t i hàm ngề ệ ủ ể ồ ạ ược, (tăng hay gi m)ả

(d) Trên c s đ nh ơ ở ị lý trên xây d ng các hàm s lự ố ượng giác ngượ và v c ẽ đ thồ ị

c a chúng ph thông h c sinh đã bi t ủ Ở ổ ọ ế y = a x , y = log a x là các hàm

ngượ ủc c a nhau

8 Hàm s số ơ c pấ

6

1

3 Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị và các khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm

(a) Nêu các hàm s s c p cố ơ ấ ơ b n:ả

y = x α , y = a x , y = log a x, y = sin x, y = cos x, y = tg x, y

= cotg x y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arccotg x.

Lời giải a) ĐS : y = 1 x − 3

1 + x

c.ĐS: hàm s đã cho không ch n, khôngố ẵ l ẻ

Bài tập 1.6 Ch ng minh r ng b t kì hàm s ứ ằ ấ ố f (x) nào xác đ nh trong m t kho ng đ iị ộ ả ố

x ng ứ ( a, a) cũng đ u bi u di n đ c duy nh t d i d ng t ng c a m t hàm sề ể ễ ượ ấ ướ ạ ổ ủ ộ ố

ch n và m t hàm s l ẵ ộ ố ẻ

f (x) = 1 [ f (x) + f (−x)] + 1 [ f (x) − f (−x)]

2 2 s

−

3 Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị và các khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm

⇔A cos λ(x + T) + B sin λ(x + T) = A cos λx + B sin λx ∀x ∈ R

⇔2 sin −λT [A sin(λx + λT ) + B cos(λx + λT )] = 0∀x ∈ R

b.Theo câu a) thì hàm số sin x tu nầ hoàn v iớ chu kì 2π, hàm số sin 2x tu nầ hoàn v iớ

chu kì π, hàm s ố sin 3x tu n hoàn v i chu kì ầ ớ 2π

V y ậ f (x) = sin x + 1 sin 2x + 1 sin

sin(x + T)2 = sin(x2)∀x.

1 Cho x = 0⇒T = √kπ, k ∈ Z, k > 0.

2 Cho x = √π ⇒k là s chính ph ng Gi s ố ươ ả ử k = l2, l ∈ Z, l > 0.

2 ta suy ra đi u mâu thu n.ề ẫ

V y hàm s đã cho không tu n hoàn.ậ ố ầ

Bài tập 1.8 Cho f (x) = ax + b, f (0) = −2, f (3) = −5 Tìm f (x).

3

Bài tập 1.9 Cho f (x) = ax2 + bx + c, f (−2) = 0, f (0) = 1, f (1) = 5 Tìm f (x)

1 Nh c l i đ nh nghĩa dãy s và các khái ni m v dãy b ch n, đ n đi uắ ạ ị ố ệ ề ị ặ ơ ệ

2 Đ nh nghĩa gi i h n dãy s và nêu m t ví d Các khái ni m v dãy s h i t , ị ớ ạ ố ộ ụ ệ ề ố ộ ụphân kỳ Nêu tính ch t gi i h n n u có là duy nh t, m i dãy h i t đ u b ch n.ấ ớ ạ ế ấ ọ ộ ụ ề ị ặ

Bài tập 1.14 Xét u n = (1 + 1 )n.Ch ng minh r ng ứ ằ {u n} là m t dãy s tăng và b ch n.ộ ố ị ặ

1 )n

ln n(n +

1)2

sin

2

ln n n2

n

n n+1 .2

lim

sin

n→∞

+1 = 02

n n − 1

b lim

x→a (x n − a n ) − na n−1 (x −

0 Σ0

a lim

x→+∞ x + ∞

=

(a) VCB cùng b c, ậ VCB t ngươ đ ngươ

Nêu các công th c ứ thay t ng đ ng ươ ươ hay dùng trong quá trình x → 0

x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x

= lim α

β

lim x − sin x

;lim

0 Σ0

lim 1 − cos x cos 2x cos 3x

1

1

2 Liên t c m t phía ụ ộ và m i quan h v i liênố ệ ớ t c.ụ

3 Các khái ni m hàm liên t c trên m t kho ng, m t đo n Hình nh hìnhệ ụ ộ ả ộ ạ ả h c.ọ

4 Các phép toán số h cọ đ iố v iớ các hàm số cùng liên t cụ (t iạ x o, bên ph iả x o, bên trái

(

5 S liên t c c a hàmự ụ ủ ngược

Định lý 1.1 (S liên t c c a hàm ng ự ụ ủ ượ c)

Ví dụ: Các hàm s lố ượng giác ng c là liên t c trên t p xác đ nh c a chúng.ượ ụ ậ ị ủ

6 S liên t c c a hàmự ụ ủ h pợ

Suy ra k t qu : ế ả X-kho ng, đo n, n a đo n.ả ạ ử ạ

M i hàm s s c p xác đ nh trên ọ ố ơ ấ ị X thì liên t c trên ụ X.

7 Các đ nh ị lý v ề hàm liên t cụ

Định lý 1.2 N u ế f (x) liên t c trên kho ng ụ ả (a, b) mà giá tr ị f (x o ), x o ∈ (a, b)

Định lý 1.3 N u ế f (x) liên t c ụ trên đo n ạ [a, b] thì nó bị ch n ặ trên đo n ạ đó.

Định lý 1.4 N u ế f (x) liên t c ụ trên đo n ạ [a, b] thì nó đ t ạ đ ượ GTLN, NN c

Nêu m t ví d , nêu ng d ng dùng đ thu h p kho ng nghi m c a ph ng trình.ộ ụ ứ ụ ể ẹ ả ệ ủ ươHình nh hình h c.ả ọ

Hệ quả 1.1 N u ế f (x) liên t c trên đo n ụ ạ [a, b] , A = f (a) ƒ= B = f (b) thì nó

Hệ quả 1.2 Cho f (x) liên t c ụ trên [a, b] , m, M l n ầ l ượ là các GTNN, LN t

8 Đi m gián đo n c a hàmể ạ ủ số

∈

(a) Đ nh nghĩa: ị N u ế hàm s không liên t c t i đi m ố ụ ạ ể x o thì ta nói nó gián đo nạ

t i ạ x o ; x o g i là đi m gián đo n c a hàm s Hình nh hình h c (đ thọ ể ạ ủ ố ả ọ ồ ịkhông li n nét t i đi m giánề ạ ể đo n).ạ

Nh v y n u ư ậ ế x o là đi m gián đo n c a ể ạ ủ f (x) thì ho c ặ x o ƒ∈ MXĐ ho c ặ x o ∈ MXĐ

(b) Phân lo i đi m giánạ ể đo nạ

Gi s ả ử x o là đi m gián đo n c a ể ạ ủ f (x)

i Đi m gián đo n lo iể ạ ạ 1:

N u ế ∃ lim f (x) = f (x+) và lim f (x) = f (x−) thì x o đ c g i là đi m giánượ ọ ể

ii Đi m gián đo n lo iể ạ ạ 2:

lo i 2.ạ(c) Chú ý: V i ớ quan đi m ể xem đi m gián đo n b đ c là tr ng h p đ c bi t c aể ạ ỏ ượ ườ ợ ặ ệ ủ

đi m gián đo n lo i 1 v i ể ạ ạ ớ x o là đi m gián đo n (đ u mút c a kho ng ể ạ ầ ủ ả hay đo n)ạ

c a ủ f (x), mà có lim f (x) h u h n thì ta cũng xem ữ ạ x o là đi m gián đo n bể ạ ỏ

ĐS : gián đo n.ạ



Bài tập 1.37 Ch ng minh r ng n u ứ ằ ế f , g là các hàm s liên t c trên ố ụ [a, b] và f (x) = g(x)

v i m i ớ ọ x là s h u t trong ố ữ ỉ [a, b] thì f (x) = g(x)∀x ∈ [a, b].

Bài tập 1.38 Ch ng minh r ng phứ ằ ương trình x5 − 3x − 1 có ít nh t m t nghi m trongấ ộ ệ

(a) Nêu l i đ nh nghĩa đ o hàm, ý nghĩa hình h c, cạ ị ạ ọ ơ h cọ

(b) Đ oạ hàm m tộ phía, m iố quan hệ gi aữ đ oạ hàm và đ oạ hàm trái, ph i,ả m iố

Dùng 1 trong 2 đ nh lý sau (có ch ng minh)ị ứ

Định lý 1.7 Nếu x = ϕ (y) có đạo hàm tại y o và ϕJ(y o ) ƒ= 0, có hàm ngược y = f (x)

(y o)

u

o

Định lý 1.8 Nếu x = ϕ(y) có đạo hàm và y o và ϕJ(y o ) ƒ= 0, biến thiên

i Nêu đ nh nghĩa ị ∆ f = A.∆x + o (∆x)

ii Nêu ý nghĩa: bi uể th cứ d f (x o ) = A.∆x là tuy nế tính v iớ ∆x nên tính nó

đ n gi n.ơ ả(b) M iố liên hệ gi aữ đ oạ hàm và vi phân, từ đó suy ra d f (x o ) = f J(x o)

−

Bài tập 1.44 Ch ng minh r ng hàm s ứ ằ ố f (x) = |x − a|.ϕ(x), trong đó ϕ(x) là m t hàm ộ

s liên t c và ố ụ ϕ (a) ƒ= 0, không kh vi t i đi m ả ạ ể x = a.

2 − 0, 02

2 + 0, 02

1 ( 4 − 1) −6 −4

−

−)

8/ y = sin2 ax cos bx = cos bx − 1 [cos(2a + b)x + cos(2a − b)x] nên

Σ

(2a − b)x + nπ Σ

+

+

o o

§9 C ÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

9.1 Các định lý về hàm khả vi

1 C c tr c a hàm s : ự ị ủ ố Nên dùng đ nh nghĩaị sau:

Định nghĩa 1.1 Cho hàm s ố f (x) liên t c trên ụ (a, b), ta nói hàm s đ t c c ố ạ ự

• N u ế f (x) − f (x o) < 0 thì ta nói hàm s đ t c c ti u t iố ạ ự ể ạ x o

• N u ế f (x) − f (x o) > 0 thì ta nói hàm s đ t c c đ i t iố ạ ự ạ ạ x o

2 Đ nh ị lý Fermat (có ch ngứ minh)

Định lý 1.9 Cho f (x) liên t c trên kho ng ụ ả (a, b), n u hàm s đ t c c tr t i đi m ế ố ạ ự ị ạ ể

x o ∈ (a, b) và có đạo hàm tại x o thì f J(x o ) = 0.

Có ch ngứ minh và mô tả hình h c,ọ chú ý giả thi tế liên t cụ ở đây là do đ nhị nghĩa

c c tr ự ị

3 Đ nh ị lý Rolle: có ch ng minh ứ và mô t hình nh hìnhả ả h cọ

4 Đ nh ị lý Lagrange: Có ch ng minh ứ và mô t hình nh hìnhả ả h cọ

5 Đ nh ị lý Cauchy

Chú ý:

(a) Đ nh ị lý Rolle là trường h p riêng c a đ nh ợ ủ ị lý Lagrange, đ nh ị lý Lagrange là

trường h p riêng c a đ nh ợ ủ ị lý Cauchy Các gi thi t trong các đ nh ả ế ị lý này là

3 Ví dụ

f (x), x ƒ=

• Trong quá trình tìm gi iớ h nạ có d ngạ vô đ nh,ị nên k tế h pợ cả thay tươ đ ngng ươ

v i dùng qui t c L’Hospital Có th dùng qui t c L’Hospital nhi uớ ắ ể ắ ề l n.ầ

Bài tập 1.51 Ch ng minh r ng phứ ằ ương trình x n + px + q v i ớ n nguyên dương không

th có quá 2 nghi m th c n u ể ệ ự ế n ch n và không th có quá 3 nghi m th c n u ẵ ể ệ ự ế n l ẻ

c1 ∈ (x1, x2), c2 ∈ (x2, x3) sao cho f J(c1) = f J(c2) = 0 Tức là phương trình x n−1 = − p có 2nghi m th c, đi u này mâu thu n do ệ ự ề ẫ n ch n.ẵ

Xét n l , gi s phẻ ả ử ương trình có 4 nghi m th c ệ ự x1 < x2 < x3 < x4, khi đó theo đ nh ị lý

Rolle, phươ trình xng n−1 + p = 0 có 3 nghi mệ th c,ự trong khi theo trên ta v aừ ch ngứ

minh thì nó không th có quá 2 nghi m th c do ể ệ ự n − 1 ch n.ẵ

Bài tập 1.52 Gi i thích t i sao công th c ả ạ ứ Cauchy d ngạ f (b) − f (a)

kho ngả [x, y] b tấ kì Khi đó ∃c ∈ [x, y] sao cho

sin x − sin y = f J(c).(x − y) = cos c.(x − y)⇒| sin x − sin y| ≤ |x − y|

b Xét hàm số f (x) = ln x, thoả mãn đi uề ki nệ c aủ đ nhị lý Lagrange trong kho ngả [b, a]nên

ln a − ln b = f J(c)(a − b)⇒ ln b = 1 (b − a)⇒ ln a = a − bVậ

x x

c Dùng khai tri n ể Taylor, ĐS: ∞ d khai tri n ể Taylor ho c L’Hospital, ĐS:ặ 1

3

e L’Hospital, ĐS: 2

i Ad lim A(x) B(x) = e lim B(x) ln A(x), ĐS: 1 k Ad lim A(x) B(x) = e lim B(x) ln A(x), ĐS: 1

lim sin x − x cos x

Bài tập 1.58 Cho f là m t hàm s th c, kh vi trên ộ ố ự ả [a, b] và có đ o hàm ạ f ” (x) trên (a,

b), ch ng minh r ng ứ ằ ∀x ∈ (a, b) có th tìm đ c ít nh t 1 đi m ể ượ ấ ể c ∈ (a, b) sao cho

f (x) − f (a) − f (b) − f (a) (x − a) = (x − a)(x − b) f ” (c)

Đ t ặ ϕ(x) := f (x) − f (a) − f (b) − f (a) (x − a) − (x − a)(x − b) λ

Trong đó λ đượ xác đ nhc ị b iở đi uề

) = f (x0

) f (a) f (b) − f (a)

Theo giả thi t,ế f có đ oạ hàm c pấ 2, do đó ϕ cũng có đ oạ hàm c pấ 2, và ϕ”(c1) =

ϕ” (c2) = 0, nên theo đ nh ị lý Rolle ta có t n t i ồ ạ c (c1, c2) sao cho ϕ”(c) = f ”(c) λ

10.2 Khảo sát và vẽ đường cong cho dưới dạng tham số

Giả sử cần khảo sát và vẽ đường cong cho dưới dạng tham số

t dx

5 Xác đ nh m t s đi m đ c bi t mà đ th hàm s đi qua và v đ th hàm s ị ộ ố ể ặ ệ ồ ị ố ẽ ồ ị ố

10.3 Khảo sát và vẽ đường cong trong hệ toạ độ cực 10.4 Bài tập

CHƯƠNG 2

P HÉP TÍNH TÍCH PHÂN MỘT BIẾN SỐ

§1 T ÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

1.1 Nguyên hàm của hàm số

Chương này trình bày v ề phép tính tích phân, đây là phép toán ngượ ủc c a phép tính

đ oạ hàm (vi phân) c aủ hàm s ố N uế ta cho trướ m tc ộ hàm số f (x) thì có t nồ t iạ haykhông m t hàm s ộ ố F(x) có đ o hàm b ng ạ ằ f (x)? N u ế t n t i, ồ ạ hãy tìm t t c các hàmấ ả

s ố F(x) nh ư v y.ậ

Định nghĩa 2.2 Hàm s ố F(x) đ ượ ọ c g i là m t ộ nguyên hàm c a hàm s ủ ố f (x) trên m t t p ộ ậ

Đ nhị lý sau đây nói r ngằ nguyên hàm c aủ m tộ hàm số cho trướ không ph ic ả là duy

nh t, n uấ ế bi tế m tộ nguyên hàm thì ta có thể miêu tả đượ t tc ấ cả các nguyên hàm khác

Định nghĩa 2.3 Tích phân b t đ nh c a m t hàm s ấ ị ủ ộ ố f (x) là h các nguyên hàm ọ F (x) +

Các công thức tích phân dạng đơn giản

v ề các tích phân đã có trong b ngả các công th cứ tích phân đ nơ gi nả ở trên M tộ

phương pháp đ nơ gi nả là phươ pháp khai tri n.ng ể Phươ pháp này d ang ự trên

Ta phân tích hàm số d iướ d uấ tích phân thành t ngổ (hi u)ệ c aủ các hàm số đ nơ

gi n màả đã bi tế đượ nguyên hàm c ac ủ chúng, các h ngằ số đượ đ ac ư ra bên ngoài

2 Phương pháp biến đổi biểu thức vi phân

Nh nậ xét: n uế f (x)dx = F(x) + C thì f (u)du = F(u) + C , trong đó u =

u (x) là m t hàm s kh vi liên t c ộ ố ả ụ Ta có th ki m tra l i b ng cách đ o hàm hai ể ể ạ ằ ạ

2 − arcsin x arcsin xd(arcsin x)

3 Phương pháp đổi biến

∫

Phép đổi biến thứ hai:

Đ t ặ t = ψ(x), trong đó ψ(x) là m t hàm s có đ o hàm liên t c, và ta vi t đ c hàmộ ố ạ ụ ế ượ

dx = 4 sin t cos tdt,

∫

vdu Xét tích phân I =

∫

f (x)dx Ta c n bi u di nầ ể ễ

f (x)dx = [g(x)h(x)] dx = g(x) [h(x)dx] = udv

th ng s d ng ph ng pháp này khi bi u th c d i d u tích phân ch a m t trongườ ử ụ ươ ể ứ ướ ấ ứ ộ

các hàm s sau đây: ố ln x, a x, hàm s l ng giác, hàm s l ng giác ng c C th :ố ượ ố ượ ượ ụ ể

• Trong các tích phân x n e kx dx; x n sin kxdx; x n cos kxdx , n nguyên d ng,ươ

ta th ng ch n ườ ọ u = x n

• Trong các tích phân x α ln n xdx, α ƒ= −1 và n nguyên d ng,ươ ta th ng ch nườ ọ

• Trong tích phân x n arctgkxdx; x n arcsin kxdx, n nguyên d ng, ta ươ

th ng ch n ườ ọ u = arctgkx ho c ặ u = arcsin kx; dv = x n dx.