069 đề hsg toán 9 kim thành 21 22

Tìm giá trị nhỏ nhất của P ĐÁP ÁN Câu 1.

UBND HUYỆN KIM THÀNH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2021-2022 Môn thi: Toán

Ngày thi : 05/10/2021 Thời gian làm bài : 120 phút

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Cho biểu thức

.

A

    Rút gọn B 1 2A 4 x1(với

1 0

4

x

 

) b) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c   5và a b c3

4

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình 3x2  5x  1 x2  2  3x2  x 1  x2  3x 4

b) Giải hệ phương trình

2







Câu 3 (2,0 điểm)

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 5x25y26xy 20x 20y24 0

b) Tìm x y z  , , thỏa mãn x2 3  y z

Câu 4 (3,0 điểm)

1) Cho tam giác ABCnhọn, ba đường cao AA BB CC', ', '.Trên BB'lấy M, trên

'

CC lấy Nsao cho AMCANB 90 

a) Chứng minh rằng AC C' ∽ AB B' và AM AN

b) Gọi S S, 'lần lượt là diện tích của tam giác ABCvà tam giác A B C' ' '.

Chứng minh rằng

S

2) Cho tam giác nhọn ABC.Gọi h h h a, ,b clần lượt là các đường cao và m m m a, b, c

lần lượt là trung tuyến của các cạnh BC CA AB R r, , ; , lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.Chứng minh rằng :



Câu 5 (1,0 điểm) Cho a b c , , 0thỏa mãn 2ab 5bc 6ca 6abc Tìm giá trị nhỏ nhất của

P

ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm)

c) Cho biểu thức

.

A

    Rút gọn B 1 2A 4 x1(với

1 0

4

x

 

)

2

1

4

A

d) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c   5và a b c 3

4

Vì

5 5

5 3

5

a b c



  

     

4

VP dfcm

Câu 2 (2,0 điểm)

c) Giải phương trình 3x2  5x  1 x2  2  3x2  x 1  x2  3x 4

Ta nhận thấy 3x2 5x 1  3x2 3x 3  2x 2 x2 2  x2 3x 4  3x 2

Ta có thể trục căn thức 2 vế :



Dễ dàng nhận thấy x 2là nghiệm đuy nhất của phương trình

d) Giải hệ phương trình

 

 







Từ (2) suy ra x2y0

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có :

 

2

2

2 2

2

3



Dấu bằng xảy ra  x2y

Mặt khác, dễ dàng chứng minh được  

4



Thật vậy,

 2

(do cả 2 vế đều 0)

         (luôn đúng với mọi x y, )

Dấu bằng xảy ra khi x2y

Từ (3) và (4) suy ra

2 4 2 2 2 4 2

2

Dấu bằng xảy ra  x2y

Do đó  2  x2y0(vì x2y0) Khi đó, (1) trở thành :

2

Vậy nghiệm của hệ đã cho là

1 1;

2

x y

Câu 3 (2,0 điểm)

c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 5x25y26xy 20x 20y24 0 (*)

Ta có  *  5x y 2 4xy 20x y 24 0 Đặt x y a xy b  ,  thu được

 

2

4

2

4

a

Từ (1) và (2) được :

   

2

Vì anguyên nên a 2hoặc a 3

2 1

9

4

Vậy x1,y1thỏa mãn yêu cầu

d) Tìm x y z  , , thỏa mãn x2 3  y z

Đặt x y z   a   2 yz 3a *

Do đó 3yz   Điều này kéo theo y2 3 ,k k2   Thay vào (*)

 2   

Ta thấy 2 k 1  , 3

là một số vô tỷ và tích của chúng là một số nguyên Điều này chỉ có thể xảy ra khi





Vậy x y z ; ;   4;1;3 ; 4;3;1   

Câu 4 (3,0 điểm)

3) Cho tam giác ABCnhọn, ba đường cao AA BB CC', ', '.Trên BB'lấy M, trên

'

CC lấy N sao cho AMCANB 90 

N M

A'

B' C'

A

c) Chứng minh rằng AC C' ∽ AB B' và AM AN

Xét ABB'và ACC'có Achung, B'C' 90   ABB' ∽ ACC g g'  

Áp dụng hệ thức lượng vào các tam giác vuông:

 

AB AC

ABB ACC cmt AB AC AB AC

Từ (1) và (2) suy ra AM AN

d) Gọi S S, 'lần lượt là diện tích của tam giác ABCvà tam giác A B C' ' '.

Chứng minh rằng

S

Theo câu a,ta có AC C' ∽ AB B'

2 ' '

'

AB C ABC

S

Tương tự :

2

4) Cho tam giác nhọn ABC.Gọi h h h a, ,b clần lượt là các đường cao và

bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.

Chứng minh rằng :



Gọi O và I là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ABC

1 , , 1 1

 

1

R

2S a b c r S a b c

r



Câu 5 (1,0 điểm) Cho a b c , , 0thỏa mãn 2ab5bc6ca6abc Tìm giá trị nhỏ nhất của

P

2 2 2

2 5 6

c a b

P

Vậy Min P2 3 a b c  1