057 đề hsg toán 9 yên thành 21 22

6,0 điểm Cho đoạn thẳng AB.Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng ABvẽ tia Ax By, vuông góc với AB.. Hai đường thẳng ABvà CD cắt nhau tại E... Cho tam giác ABCvuông tại A có AB

PHÒNG GD&ĐT YÊN THÀNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2021-2022 Môn thi : TOÁN 9

Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4,0 điểm)

a) Cho

Tính giá trị của biểu thức :

M a b c  abc

b) Tìm số nguyên xđể B x 4  2x3 2x2 x 3là một số chính phương

Câu 2 (5,0 điểm)

1) Giải phương trình :

2

a x  x  x

b x   x  x

2) Cho đa thức P x  x3ax b có nghiệm 1 3( ,a blà các số hữu tỉ)

Chứng minh P x  chia hết co đa thức x2  2x 2

Câu 3 (3,0 điểm) Cho các số thực x y z, , không âm thỏa mãn x2 y2z2 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x y  y z  z x

Câu 4 (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB.Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là

đường thẳng ABvẽ tia Ax By, vuông góc với AB Gọi Ilà trung điểm của đoạn

thẳng AB.Trên tia Axlấy điểm D, trên Bylấy điểm C sao cho AD BC và

90

CID

   Hai đường thẳng ABvà CD cắt nhau tại E Từ Ikẻ IH CD H CD   Chứng minh rằng :

a DH IC CH ID

)

b DIlà tia phân giác của ADC

2

2

)AH AE

c

BH BE

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho tam giác ABCvuông tại A có AB1,AC2.Có 6 điểm thuộc tam giác

ABC(nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC).Chứng minh rằng tồn tại hai điểm có khoảng cách không vượt quá 1

ĐÁP ÁN Câu 1 (4,0 điểm)

c) Cho

Tính giá trị của biểu thức :

M a b c  abc

2

.

          

         

4

x y

A a b c abc

           

    

d) Tìm số nguyên xđể B x 4 2x3 2x2 x 3là một số chính phương

Đặt x42x32x2  x 3 y2 1 với y là số tự nhiên ta có :

      2 

y  x  x x  x  x  x x  x  x

Ta sẽ chứng minh  

2

a y  a với a x 2x Thật vậy:

2

y  a x   x x   

  suy ra y2 a2

       

2

2

           

Do a2  y2 a 22  y2 a 12 x2 x 2 x2  x 3  x2  x 12

 2  2 2   2 2  2  2 1

2

x

x





 Vậy giá tri nguyên của x cần tìm là x   2;1

Câu 2 (5,0 điểm)

3) Giải phương trình :

   

2

2 2

64 2 16 16 16 48

2

2

3 5 5

0( )

15( )

x

x

x ktm















 

 Vậy x 3

4) Cho đa thức P x  x3ax b có nghiệm 1 3( ,a blà các số hữu tỉ)

Chứng minh P x  chia hết cho đa thức x2 2x 2

Vì x  1 3là nghiệm của P(x) nên P x  x3ax b , nên :

3

Mà a b,  , 3Inên :

3

P x x x

P x x  x  x x  x

Vậy P x( ) x2  2x 2 ( dfcm)

Câu 3 (3,0 điểm) Cho các số thực x y z, , không âm thỏa mãn x2y2z2 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x y  y z  z x

A x y  y z  z x

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia copxki , ta có :

2

2

1 1 1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

x y z  2 1 2  1 2  1 2 x2 y2 z2  3.1 3   x y z   3 2 

Từ (1) và (2)  x y  y z  z x   6 3  A 6 3

Vậy Max A 6 3  x y z

Câu 4 (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB.Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng ABvẽ tia Ax By, vuông góc với AB Gọi Ilà trung điểm của đoạn thẳng AB.Trên tia Axlấy điểm D, trên Bylấy điểm C sao cho AD BC và

90

CID

   Hai đường thẳng ABvà CD cắt nhau tại E Từ I kẻ

IH CD H CD

H

E

D

I

C

Chứng minh rằng :

2 2

a DH IC CH ID

Xét DICvuông tại I, đường cao IH Theo hệ thức cạnh – góc , ta có :

2 2

2 2

.

.

DI DC

IC

CH DC IC

DC CH















DI IC

DH IC CH DI

)

b DIlà tia phân giác của ADC

Gọi K là giao điểm của CI và DA

Chứng minh IAK IBC g c g( ) IK ICmà DI CK

DKC

  cân tai D nên DI là phân giác ADC

2

2

)AH AE

c

BH BE

Chứng minh được tứ giác ADHI BCHI, nội tiếp

AE AD AD

BE BC AK (Vì AKBClà hình bình hành )

Tương tự câu a,

2 2

AD ID

AC IK

HE ID ID

BE IK IC mà

ID AH

IC BH (do AHB∽ DIC g g( )) dfcm

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho tam giác ABCvuông tại A có AB1,AC2.Có 6 điểm thuộc tam giác

ABC(nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC).Chứng minh rằng tồn tại hai điểm có khoảng cách không vượt quá 1

P

M I

H

B

Kẻ AH BC BH AB 1.M là trung điểm của BC HM MA MC  1

Kẻ HI AC MP, HC

Có 6 điểm mà chỉ có 5 tam giác: AHB AHI IHM, , ,HPM,MPCnên có tồn tại 1 tam giác có chứa 2 trong 6 điểm trên, gọi là C, D Lại có :

2R AHB  2R IMH  2R MPH  2R MPC  1; 2R AHI  1

Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Trong đường tròn thì đường kính là dây cung lớn nhất nên CD2R1

Vậy luôn tồn tai hai điểm có khoảng cách không vượt quá 1