195 đề hsg toán 8 kim thành 22 23

3,0 điểm Cho tam giác ABCvuông tại A ABAC.. Vẽ đường cao AHH thuộc BC.. Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH HA.Qua K kẻ đường thẳng d song song với AH, d cắt đường thẳng AC t

UBND HUYỆN KIM THÀNH

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC 2022-2023 Câu 1 (2,0 điểm)

1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3 2x2 x xy2

2) Cho đa thức A x  x2022ax2021 3a2x22020và B x  x 1 Tìm hệ số ađể

đa thức A(x) chia cho đa thức B(x) dư 5

Câu 2 (2,0 điểm)

1) Cho biểu thức

     

Rút gọn A và tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên

2) Cho a b c, , là các số nguyên và thỏa mãn a3b3  5c3 11d3 Chứng minh rằng tổng

a b c d   chia hết cho 6

Câu 3 (2,0 điểm) Giải các phương trình sau :

2)

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A (ABAC) Vẽ đường cao AH(H thuộc BC) Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH HA.Qua K kẻ đường thẳng (d) song song với AH, (d) cắt đường thẳng AC tại P Gọi Q là trung điểm của BP, tia AQ cắt đường thẳng BC tại I Chứng minh :

2

2

1) AB HB

AC HC

2) Tam giác ABPvuông cân và BHQ∽ BPC

Câu 5 (1,0 điểm)

1) Chứng minh x3y3 xy x y   với x y, là các số dương

2) Cho a b c, , là các số dương và thỏa abc 1.Chứng minh rằng :

1

ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm)

3) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3 2x2 x xy2

x  x  x xy x x  x  y x x  y x y

4) Cho đa thức A x  x2022ax2021 3a2x22020và B x   x 1 Tìm hệ số a

để đa thức A(x) chia cho đa thức B(x) dư 5

Gọi thương của phép chia A x  cho B x  là Q x  Theo bài ra ta có :

2022 2021 3 2 2 2020 1 5

x ax  a x   x Q x  (với mọi x) (1)

Thay x 1vào (1) ta được 1 a 3a 6 2020 0 5    2a2020 a1010

Vậy a 1010

Câu 2 (2,0 điểm)

3) Cho biểu thức

     

Rút gọn A và tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên

2 1 3



2

1 (2) 1; 2 2;3 ( )

x

A

4) Cho a b c, , là các số nguyên và thỏa mãn a3b3 5c311d3 Chứng minh rằng tổng a b c d   chia hết cho 6

Với a b c, , là các số nguyên , ta có : a3b3  5c3 11d3

3 3 3 3 6 3 12 3 6 3 2 3 3 3 3 3 6 1

Xét hiệu a3b3c3d3 a b c d   a3 a  b3 b  c3 c  d3 d

Do a a 1 a1 6, cmtt b b 1 b1 , c c1 c1 , d d 1 d1 cũng chia hết cho 6 Vậy a3 b3 c3 d3 a b c d   

chia hết cho 6 (2)

Từ (1) và (2) suy ra a b c d   6

Câu 3 (2,0 điểm) Giải các phương trình sau :

1 2 4 1 2 4

x x x x   x   x 

          

0

1000

S



2)

4; 5; 6; 7

13(

x



) 2( ) 13; 2

m

S







Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A (AB AC ) Vẽ đường cao AH(H thuộc BC) Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH HA.Qua K kẻ đường thẳng (d) song song với AH, (d) cắt đường thẳng AC tại P Gọi Q là trung điểm của

BP, tia AQ cắt đường thẳng BC tại I Chứng minh :

Q P

K

H B

2

2

1) AB HB

AC HC

Chứng minh AB2 BH BC. , chứng minh AC2 CH BC.

2

2

AB BH BC BH

AC CH BC CH

2) Tam giác ABPvuông cân và BHQ∽ BPC

AKH

 vuông cân tại H nên AKC  45 Từ (1)  K 1BPC45  BAPvuông cân tại A

Chứng minh

2

Xét



BAP

 vuông cân tại A, AQ là trung tuyến nên cũng là phân giác

AI

 là phân giác ngoài của tam giác  2

ABC

 3

Từ (2) và (3) ta có :

1 1



Câu 5 (1,0 điểm)

3) Chứng minh x3y3 xy x y  với x y, là các số dương

2

3 3

0

(luôn đúng với x y , 0).Dấu bằng xảy ra  x y

4) Cho a b c, , là các số dương và thỏa abc 1.Chứng minh rằng :

1

Với a b c, , là các số dương và a b c  . 1 Áp dụng phần a, ta có :

3 3

1

1 1

a b ab a b a b abc ab a b c a b ab a b c

a b ab a b c

Tương tự, ta có : 3 3     3 3    

b c  bc a b c  a c  ac a b c 

Từ (1), (2), (3) ta có :

1

a b b c c a ab a b c bc a b c ac a b c

a b c

do abc abc a b c abc

 

 

1

      Dấu bằng xảy ra khi a b c  1