004 đề hsg toán 9 ứng hòa 21 22

Với giá trị nào của mthì đường thẳng d3cắt hai đường thẳng d d1 , 2lần lượt tại hai điểm Avà B sao cho Acó hoành độ âm còn B có hoành độ dương 2.. 5 điểm Cho ABCcó ba góc nhọn cân tại A

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN ỨNG HÒA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP 9 ĐỢT 1 NĂM HỌC 2021-2022

ĐỀ THI MÔN TOÁN

Bài 1 (6 điểm)

1 Cho biểu thức

2

P

    (với x0;x1)

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm xnguyên để biểu thức Pnhận giá trị nguyên

2 Tính A  4 10 2 5  4 10 2 5  5

Bài 2 (4 điểm)

1 Giải phương trình 10x x 216 3 3  x 2 8 x

2 Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :

x y xy 

Bài 3 (4 điểm)

1 Cho các hàm số bậc nhất 1 2 3

1

2

d y x d yx d y mx

Với giá trị nào của mthì đường thẳng d3cắt hai đường thẳng d d1 , 2lần lượt tại hai điểm Avà

B sao cho Acó hoành độ âm còn B có hoành độ dương

2 Cho a b, là các số dương Chứng minh

2 2 2

a b a b



Bài 4 (5 điểm) Cho ABCcó ba góc nhọn cân tại A Các đường cao AD BE, cắt

nhau tại H

1) Chứng minh ABC∽ DEC

2) Chứng minh cos

DE ABC

AB



1

BH BE

DE BD BC  AB CH

Bài 5 (1 điểm) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ Chứng minh

rằng trong các điểm đã cho có thể tìm được 3điểm lập thành tam giác có diện tích không lớn hơn

1 32

ĐÁP ÁN Bài 1 (6 điểm)

3 Cho biểu thức

2

P

    (với x0;x1)

c) Rút gọn biểu thức P

2

1

P

x







d) Tìm xnguyên để biểu thức Pnhận giá trị nguyên

1

x

P



4 Tính A  4 10 2 5  4 10 2 5  5

2

2

8 2 6 2 5 8 2 5 1

t

Bài 2 (4 điểm)

3 Giải phương trình 10x x 216 3 3  x 2 8 x

 

2

2

1( )

x ktm x





Vậy x 3

4 Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :

x y xy 

6 (37) 1;1;37; 37 ; 43;7 ; 31;5 ;(5; 31);(7; 43)

x xy y

x y xy

Bài 3 (4 điểm)

3 Cho các hàm số bậc nhất 1 2 3

1

2

d y x d yx d y mx

Với giá trị nào của mthì đường thẳng d3cắt hai đường thẳng d d1 , 2lần lượt tại hai điểm Avà B sao cho Acó hoành độ âm còn B có hoành độ dương

Điều kiện để mlà đồ thị hàm số bậc nhất là m 0

Phương trình hoành độ giao điểm của  d1 và mlà :

0,5x  3 mx m 0,5 x 3

Điều kiện để phương trình này có nghiệm nguyên âm là m 0,5 0  m0,5

Phương trình hoành độ giao điểm của  d2 và mlà :

6  x mx  (m 1)x 6

Điều kiện để phương trình này có nghiệm dương là m   1 0 m  1

Vậy điều kiện cần tìm là  1 m0,5;m0

4 Cho a b, là các số dương Chứng minh

2 2 2

a b a b



 

2

2

2

2

2

a b

a b

a ab b a b luon dung





Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 4 (5 điểm) Cho ABCcó ba góc nhọn cân tại A Các đường cao AD BE, cắt nhau tại H.

H D

E A

4) Chứng minh ABC∽ DEC

Xét ABC& DECcó : ;

EC DC

C

BC AC  chung

ABC DEC

  ∽ 

5) Chứng minh cos

DE ABC

AB



Vì ABCcân tại A và ADBC ADcũng là đường trung tuyến  BD CD

Xét BECvuông tại E có EPlà đường trung tuyến 2

BC

AB AB

1

BH BE

DE BD BC  AB CH

Xét BHD&BCEcó : CBE chung, BDH BCE90  BHD∽ BCE g g( )

.

.

BH BE BC BD

.

BH BE

DE BD BC  DE   DE

Ta cần chứng minh

2

2

1 DE DE cos ABC CD

 

cos ABC sin CHD 1

Ta có A1 B1(cùng phụ với ACB)

Xét BHCcó HB HC  BHCcân tại H suy ra B1 C1

Suy ra A1 C1  90   A1  90   C1  ACBCHD

Mặt khác ACBABC(vì ABCcân tại A) sin2CHDsin2ABC 2

Từ (1), (2) 1 cos  2 ABC sin2 ABC(luôn đúng)

1

BH BE

DE BD BC  AB CH

Bài 5 (1 điểm) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ Chứng minh rằng trong các điểm đã cho có thể tìm được 3điểm lập thành tam giác có diện tích không lớn hơn

1 32

Chia hình vuông đã cho thành 16 hình vuông con

Dễ dàng tính được, cạnh của một hình vuông con là

1

4và diện tích là

1 16

Gieo 33 điểm đã cho vào hình vuông ban đầu, 33 điểm đó sẽ nằm trong 16 hình vuông con Theo nguyên tắc Dirichlettồn tại ba điểm nằm trong cùng 1 hình vuông con Khi đó diện tích của tam giác lấy 3 điểm đã cho làm đỉnh sẽ không lớn hơn

1 2

diện tích hình vuông con, tức là không lớn hơn

1