026 đề hsg toán 9 như thanh 21 22

6,0 điểm Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB2 .R EFlà dây cung di động trên nửa đường tròn sao cho E thuộc cung AF và 2.. Chứng minh ON MB 3 Xác định vị trí EFtrên nửa đường tròn để

PHÒNG GD & ĐT

NHƯ THANH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HOÁ

LỚP 9 CẤP HUYỆN Năm học 2021-2022 MÔN : TOÁN

Câu 1 (4,0 điểm)

1) Cho biểu thức

.

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị biểu thức Akhi x  3 2 2 Chứng minh rằng A 6với mọi x

thỏa mãn điều kiện xác định

2) Cho ba số thực a b c, , khác không thỏa mãn

2

Chứng minh rằng a b b c c a        0

Câu 2 (4,0 điểm)

1) Giải phương trình ẩn x x2  3x  5 2 x 3 x2  2x 2

2) Tìm cặp số x y; đồng thời thỏa mãn 2 đẳng thức    1 , 2 sau đây :

Câu 3 (4,0 điểm)

1) Tìm các số nguyên xvà ythỏa mãn 5x22xy y 2 4x 40 0

2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 4p 2 1và 6p 2 1đều là các số nguyên tố

Câu 4 (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB2 R EFlà dây cung di động trên nửa đường tròn sao cho E thuộc cung AF và 2 .

AB

EF 

Gọi Hlà giao điểm

1) Chứng minh rằng ACI∽ ABE

2) Đường thẳng AFcắt tiếp tuyến tại B ở N, các tiếp tuyến tại A F, của (O) cắt nhau

ở M Chứng minh ON MB

3) Xác định vị trí EFtrên nửa đường tròn để tứ giác ABEFcó diện tích lớn nhất

Câu 5 (2,0 điểm) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abc 1.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức            

P

ĐÁP ÁN Câu 1 (4,0 điểm)

3) Cho biểu thức

.

c) Rút gọn biểu thức A

0

.

1

.

.

x

x

x

a) Tính giá trị biểu thức Akhi x  3 2 2 Chứng minh rằng A 6với mọi x

thỏa mãn điều kiện xác định

Thay x 3 2 2 x  2 1 vào A ta có :

2 4 2

Với mọi x0,x1ta có :  x 12  0

x

4) Cho ba số thực a b c, , khác không thỏa mãn

2

Chứng minh rằng a b b c c a        0

     

2

2

0

b c a b a c

Câu 2 (4,0 điểm)

3) Giải phương trình ẩn x x2  3x  5 2 x 3 x2  2x 2 2  

2

2

2

 

    

4) Tìm cặp số x y; đồng thời thỏa mãn 2 đẳng thức    1 , 2 sau đây :

   

   

Vậy x y  ;   1;3

Câu 3 (4,0 điểm)

3) Tìm các số nguyên xvà ythỏa mãn 5x22xy y 2 4x 40 0

     

Vì x y,  ; 2x1là số nguyên lẻ và 41 16 25   nên :

2

2

1

x x







Giải 4 hệ phương trình :

Tìm được 4 nghiệm của phương trình đã cho là :

x y ;  3;1 , 3; 7 , 2;6 , 2; 2        

4) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 4p 2 1và 6p 2 1đều là các số nguyên

tố

• Khi p = 2 3 4p" + 1 = 17 là số nguyên tố

2

6p 1= 25 không là số nguyên tố Vậy p = 2 không thoả

• Khi p = 3  4p21=37 là số nguyên tố

2

6p  1 55 không là số nguyên tố Vậy p = 3 không thoả,

• Khi p = 5  4p2 1 101là số nguyên tố

2

6p  1 151là số nguyên tố Vậy p = 5 thoả mãn

• Khi p = 7 4p2 1 197;6p2 1 295 không là số nguyên tố

Vậy p = 7 không thoả

Đến đây có thể dự đoán p = 5 là số nguyên tố duy nhất thoả mãn Ta chứng minh dự đoán này

Ta có 4p2  1 5p2 p 1  p 1 , 6 p2  1 5 p2 1 p 2 p 2

Xét 5 số nguyên liên tiếp  p 2 ,  p1 , , p p 1 ,  p2 ắt có một và chỉ một số chia hết cho 5 Số chia hết cho 5 không thể là một trong bốn số (p - 2), (p − 1),

 p 2 ,  p 1

Thật vậy: Nếu p  1hoặc (p 1)chia hết cho 5 thì  p1  p 1 5

2

  chia hết cho 5 mà 4p  2 1 1(vô lý)

Nếu

2 5

2 5

p

p









 thì  p 2  p 2 5  6p2  1 5 mà 6p  2 1 1(vô lý)

Vậy p5mà p nguyên tố nên p 5

Câu 4 (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB2 R EF là dây cung

di động trên nửa đường tròn sao cho E thuộc cung AFvà 2 .

AB

EF 

Gọi Hlà giao điểm của AF BE C, , là giao điểm của AE BF, , I là giao điểm của CH AB,

X

K M

N

I

C

H

F

B O

A

E

4) Chứng minh rằng ACI∽ ABE

Ta có AEBAFB90  BE CF, là đường cao ABCmà H là giao điểm EB AF, nên H

là trực tâm ABC CH ABtại I

Xét ACI và ABEcó : AICAEB90 , CABchung

( )

5) Đường thẳng AFcắt tiếp tuyến tại B ở N, các tiếp tuyến tại A F, của (O) cắt nhau ở M Chứng minh ON MB

Xét MAOvà ABNcó OAM NBA90

OMA BAN

  (cùng phụ với NAM)

2 ( )

1 2

MAO ABN g g

ON MB

6) Xác định vị trí EFtrên nửa đường tròn để tứ giác ABEFcó diện tích lớn nhất

Dễ thấy OMNlà tam giác đều nên MN R.Gọi K là trung điểm EF  OK EF

OMN

2

.

R

S OK EF 

Dựng EX FY, lần lượt vuông góc với ABtai E, F thì EXFYlà hình thang vuông

Dựng KPAB Plà trung điểm của XY  KPlà đường trung bình hình thang EXFY

Mà S AEFB S OMN S AOES OBFmà S OMNkhông đổi

max

OKP

 vuông có

2

KP KO   S S 

Dấu bằng xảy ra khi

/ /

P O  DK EF  EF AB

Câu 5 (2,0 điểm) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abc 1.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức            

P

Đặt 2 ; 2; 2

xy yz zx

, khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

           

2

1

xy z zx y yz x

xy z  zx y  yz x     

Để ý đến bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có xy z 22 x2 z2 y2 z2

Suy ra      

2

x y y z

xy z   

Hoàn toàn tương tựu ta được :

4 2 2 4 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2 2

xy z zx y yz x

x y z y z x z x y

x y x z y z



Cũng theo đánh giá như trên

xy z 2 zx y 2 yz x 2  x2 y2 y2 z2 z2 x2

Khi đó ta có            

xy z zx y yz x  x y y z z x

Do đó ta được bất đẳng thức

4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

2

xy z zx y yz x

xy z zx y yz x

x y z y z x z x y x y z

x y x z y z



Ta cần chứng minh

4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

1

x y z y z x z x y x y z

x y x z y z



Để ý ta phân tích được :

4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x y z y z x z x y  x y z  x y x z y z

Do đó

4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

1

x y z y z x z x y x y z

x y x z y z



Như vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a b c   1