006 đề hsg toán 9 nam đàn 21 22

6,0 điểm Cho tam giác ABCvuông tại A... Vậy ta có đpcm Câu 4... 6,0 điểm Cho tam giác ABCvuông tại A.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN NAM ĐÀN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9

NĂM HỌC 2021-2022 Môn : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1 (3,5 điểm)

a) Rút gọn biểu thức

x A

   với x0,x4

b) Cho

3 5 13 48 2.

2 6

 Tính giá trị của biểu thức :

 2 3 12022

M  x  x

Câu 2 (3,0 điểm) Giải các phương trình sau :

a) x 2 2 x 1 3

b) x2 4x 5 2 2x3

Câu 3 (4,5 điểm)

a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương thỏa mãn phương trình :

2x  2y  5xy x  2y  3 0

b) Tìm số tự nhiên nđể : Bn2  82 36

là một số nguyên tố c) Tìm số tự nhiên nđể n2 3n 11 49 

Câu 4 (3 điểm)

a) Cho a1;b1;c1.Chứng minh 1 1 1 12

b  c  a  b) Tìm các số thực x để : x 3;x22 3và

2

x x



đều là các số nguyên

Câu 5 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABCvuông tại A Đường cao AH,trung tuyến AM H M( , thuộc

).

BC Gọi D, E thứ tự là hình chiếu của Htrên AB AC, .Chứng minh rằng :

a) AD AB AE AC 

b) AM vuông góc với DE

c) BD2CE2 BC2 3AH2

ĐÁP ÁN Câu 1 (3,5 điểm)

c) Rút gọn biểu thức

x A

   với x0,x4

0

4

2

2

x x

A

x

x x

x









d) Cho

3 5 13 48 2.

2 6

 Tính giá trị của biểu thức :

 2 3 12022

M  x  x

2

2

3 5 2 3 1

3 5 13 48

3 1

x



1 2 3.1 12022 1

M

Câu 2 (3,0 điểm) Giải các phương trình sau :

c) x 2 2 x 1 3

        

d) x2 4x 5 2 2x3

   

2

2

3

4 3 2 2 2 3

2

4 3 2 2 3 2

1 ( 3) 2 2 3 1

2 2 3 1

1 ( 3)

2 3 1 4

2 3 1

4

2 3 1

x

x x

x

x

x

       

 

 

 

 

Câu 3 (4,5 điểm)

d) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương thỏa mãn phương trình :

x y xy x y

x y xy x y

x x y y x y x y

x y x y

     

     

) 1; 2

m

x y



  

 Vậy x1;y2

e) Tìm số tự nhiên nđể : Bn2  82 36

là một số nguyên tố

16 100 20 100 36

Vì B là số nguyên tố nên

6 10 1; 6 10 à

6 10 1; 6 10 à





Mà n   n  0 n2 6n 10 1  Do đó:

2

2

6 10 1

3( )

6 10:

n n

n tmdk





 



f) Tìm số tự nhiên nđể n2 3n 11 49 

Giả sử tồn tại ntự nhiên sao cho n2 3n 11chia hết cho 49, khi đó ta có :

2

3 11 49 4 3 11 49

4 12 44 49 4 12 9 35 49 2 3 35 49 1

Do 35 và 49 đều chia hết cho 7 nên suy ra  

2

2n 3  7

Vì 7 là số nguyên tố nên    

2

2n 3 7  hay 2n 3  49 2

Từ (1) và (2) suy ra điều giả sử sai Vậy ta có đpcm

Câu 4 (3 điểm)

c) Cho a1;b1;c1.Chứng minh 1 1 1 12

b  c  a 

a b c  a  b  c 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương ta có :

b  c  a  b c a  a b c

1

a

a

 Đẳng thức xảy ra khi a 4

Tương tự, ta có : 1 4; 1 4

b  c  Vậy

3

3 4.4.4 12

b  c  a  

Dấu bằng xảy ra khia b c   4

d) Tìm các số thực x để : x 3;x22 3và

2

x x



đều là các số nguyên

x

Từ a x  3 x a  3 ;b x 22 3 x2  b 2 3

2

Nếu  

1

b a

a

 

4

3 0

b

b a



 Với x 3 1  a1,b4,c2nguyên

Câu 5 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABCvuông tại A Đường cao AH,trung tuyến AM H M( , thuộc BC).Gọi D, E thứ tự là hình chiếu của Htrên AB AC, .Chứng minh rằng :

I

D

M

C

d) AD AB AE AC.  .

AHB

 vuông tại H có HDABtại D (gt)

AHC

 vuông tại H có HEACtại E (gt)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

2

.

.

AH AD AB

AD AB AC AE

AH AC AE





e) AM vuông góc với DE

AM là đường trung tuyến của ABCnên

1 2

AM MB MC  BC

(tính chất đường trung tuyến tam giác vuông)  AMBcân tại M ABM MAB

Gọi AM giao với DE tại I

Tứ giác ADHElà hình chữ nhật có O là trung điểm AH (gt) nên O là trung điểm

DE mà DE AH  OA OD OH OE    AODcân tại D nên OADODA

Mà OAD  B 90   ODA  B 90 , lại có  B MAB

90

        vuông tại I nên AM DE

f) BD2CE2 BC2 3AH2

Có :

BC  AH  BH HC  AH BH HC  BH HC AH

Mà BH HC AH2

BD CE HD HE AH BD CE DE AH

Mà tứ giác ADHElà hình chữ nhật nên DEAH  DE2 AH2

Do đó : BC2 3AH2 BD2CE2