061 đề hsg toán 9 yên bái 21 22

Cho avà blà các số thực dương thỏa mãn.. Kẻ các đường cao ADvà BH của tam giác ABC.Gọi M là trung điểm của BH AM.. cắt đường tròn O tại N N A a Chứng minh rằng DM BH và BMDNlà một tứ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH YÊN BÁI

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS

NĂM HỌC 2021-2022

Môn thi : TOÁN Thời gian : 150 phút (không kể giao đề)

Ngày thi : 02/4/2022

Câu 1 (4,0 điểm)

1 Cho xvà y là các số thực thỏa mãn x y 4và xy 2.Tìm giá trị của biểu thức

P x  y

2 Cho avà blà các số thực dương thỏa mãn

.

Chứng minh a b

Câu 2 (3,0 điểm)

1 Giải phương trình : 9x 5 3 2   x 9x 5 1  

2 Cho đường thẳng d y mx m:   1,với mlà tham số thực và m 0

a) Đường thẳng dcắt hai trục Ox Oy, lần lượt tại Avà B.Tìm tọa độ của Avà B theo m

b) Tìm tất cả các giá trị của mđể đường thẳng dtiếp xúc với đường tròn tâm O

bán kính

1 5

Câu 3 (7,0 điểm)

Cho tam giác ABCcân tại A AB BC nội tiếp đường tròn tâm O Kẻ các đường cao ADvà BH của tam giác ABC.Gọi M là trung điểm của BH AM. cắt đường tròn (O) tại N N A

a) Chứng minh rằng DM BH và BMDNlà một tứ giác nội tiếp Từ đó chỉ ra

BN DN

b) Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn  O cắt nhau tại S SNcắt đường tròn (O) tại

E E N  Chứng minh rằng SB2 SN SE. và ODNElà một tứ giác nội tiếp

c) Chứng minh rằng ba điểm C O E, , thẳng hàng

d) Chứng minh rằng nếu đường thẳng SNđi qua trung điểm của đoạn thẳng BDthì tan BAC 2

Câu 4 (3,0 điểm)

1 Chứng minh rằng nếu nlà một số chính phương thì n3 nchia hết cho 60

2 Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố p q r, , thỏa mãn q 2và p q 2r3

Câu 5 (3,0 điểm)

1 Cho x y z, , là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :

x y z   y z x   z x y    

2 Trên bẩng cho một dãy gồm nsố nguyên dương đầu tiên n,n3được sắp xếp theo thứ tự tăng dần từ 1 đến n Bạn An xóa đi ba số hạng liên tiếp trong dãy, sau đó tính tổng tất cả các số còn lại trên bảng thì nhận được kết quả bằng

2022.Tìm ba số mà bạn An đã xóa

ĐÁP ÁN Câu 1 (4,0 điểm)

3 Cho xvà y là các số thực thỏa mãn x y 4và xy 2.Tìm giá trị của biểu thức P x 3 y3

2

P x y

4 Cho avà blà các số thực dương thỏa mãn

.

Chứng minh a b

2

          

2 2

ab

Câu 2 (3,0 điểm)

3 Giải phương trình : 9x 5 3 2   x 9x 5 1  

Điều kiện

5

2

9 x

3 2 9 5 1

9 5 1

3

9 5 1 9 5 1

PT

x x x

x

 

4 Cho đường thẳng d y mx m:   1,với mlà tham số thực và m 0

c) Đường thẳng dcắt hai trục Ox Oy, lần lượt tại Avà B.Tìm tọa độ của Avà

B theo m

y mx m   m

dcắt Ox tại A A a ;0

1

m



Vậy

1

;0

m A m



dcắt Oy tại B  B0;b  b m 0 m  1 b m  1 Vậy B(0;m 1)

d) Tìm tất cả các giá trị của mđể đường thẳng dtiếp xúc với đường tròn tâm

Obán kính

1 5

dtiếp xúc với đường tròn O,

1 5

R 

Tâm O (0;0) đến d bằng

1 5 Khoảng cách từ tâm O (0;0) đến PT d là :

2

.0 0 1 1

5 1

4 3

3 4

m

m

m

        

  









 



Câu 3 (7,0 điểm)

Cho tam giác ABCcân tại A  

AB BC nội tiếp đường tròn tâm O Kẻ các đường cao ADvà BH của tam giác ABC.Gọi M là trung điểm của BH AM. cắt đường tròn (O) tại N N A

S N

O M

H

D

A

e) Chứng minh rằng DM BH và BMDNlà một tứ giác nội tiếp Từ đó chỉ ra

BN DN

Có

/ /

/ /

IN BC

IH BC





   BMDN là tứ giác nội tiếp (O)

BN AC

BN DN

IC AB

f) Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn  O cắt nhau tại S SNcắt đường tròn (O) tại E E N  Chứng minh rằng SB2 SN SE. và ODNElà một tứ giác nội tiếp

Xét SBNvà SNEcó : S chung; B N  SBN∽ SNE g g( )  SB2 SN SE  ODNElà

tứ giác nội tiếp

g) Chứng minh rằng ba điểm C O E, , thẳng hàng

Có SB2 SN SE AB. ; AO O C E, , thẳng hàng

h) Chứng minh rằng nếu đường thẳng SNđi qua trung điểm của đoạn thẳng

Câu 4 (3,0 điểm)

3 Chứng minh rằng nếu nlà một số chính phương thì n3 nchia hết cho 60 Khó

4 Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố  p q r, , thỏa mãn q 2và p q 2 r3

Vì q 2nên q lẻ

Xét TH : rlẻ nên pchẵn nên p 2

q r

   (vô nghiệm nguyên tố)

Xét TH : rchẵn nên r 2 p q 28

Giả sử p3k1k q2 3k 7 q2 1 3k 2 q21 3 (vô lý)

Giả sử p3k2

         (do q nguyên tố)

2

3 8 17

p

Vậy phương trình có nghiệm p q r ; ;  17;3;2

Câu 5 (3,0 điểm)

3 Cho x y z, , là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :

x y z   y z x   z x y    

Gọi P là biểu thức vế trái và đặt S x y z x3   y z x y3   z x y z3   

Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có P P S . x y z  3

Vậy ta cần chứng minh

x y z3 x y z 2

 

xyz x y z x y z x y z x y z x y z

x y z xyz x y z xy x y yz y z zx z x

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi x y z

4 Trên bảng cho một dãy gồm nsố nguyên dương đầu tiên n,n3được sắp xếp theo thứ tự tăng dần từ 1 đến n Bạn An xóa đi ba số hạng liên tiếp trong dãy, sau đó tính tổng tất cả các số còn lại trên bảng thì nhận được kết quả bằng 2022.Tìm ba số mà bạn An đã xóa

1

1 2 2022 2

3 & 2022 65

n n

n



     

Mà nnhỏ nhất nên n 65

Vậy ba số cần tìm là 40; 41; 42