Hsg đs9 cđ2 hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai

Một số bài toán trên mặt phẳng tọa độ ột số bài toán trên mặt phẳng tọa độ ố bài toán trên mặt phẳng tọa độ ặt phẳng tọa độ ẳng tọa độ ọa độ ột số bài toán trên mặt phẳng tọa độ...3 D ng

M C L C ỤC LỤC ỤC LỤC

CHUYÊN Đ II HÀM S B C NH T, HÀM S B C HAI Ề II HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI Ố BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI ẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI ẤT, HÀM SỐ BẬC HAI Ố BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI ẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI 2

CH Đ 1 Ủ ĐỀ 1 Ề II HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI HÀM S B C NH T Ố BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI ẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI ẤT, HÀM SỐ BẬC HAI 2

D ng 1 M t s bài toán trên m t ph ng t a đ ạng 1 Một số bài toán trên mặt phẳng tọa độ ột số bài toán trên mặt phẳng tọa độ ố bài toán trên mặt phẳng tọa độ ặt phẳng tọa độ ẳng tọa độ ọa độ ột số bài toán trên mặt phẳng tọa độ 3

D ng 2 ng d ng c a hàm s b c nh t trong ch ng minh b t đ ng th c và tìm GTLN, GTNN ạng 1 Một số bài toán trên mặt phẳng tọa độ ố bài toán trên mặt phẳng tọa độ ậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN ất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN ứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN ất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN ẳng tọa độ ứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN 7

CH Đ 2 Ủ ĐỀ 1 Ề II HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI HÀM S B C HAI Ố BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI ẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI 8

D ng 1 M t s bài toán m đ u v hàm s b c hai ạng 1 Một số bài toán trên mặt phẳng tọa độ ột số bài toán trên mặt phẳng tọa độ ố bài toán trên mặt phẳng tọa độ ở đầu về hàm số bậc hai ầu về hàm số bậc hai ề hàm số bậc hai ố bài toán trên mặt phẳng tọa độ ậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN 9

D ng 2 M t s v n đ nâng cao liên quan đ n ph ạng 1 Một số bài toán trên mặt phẳng tọa độ ột số bài toán trên mặt phẳng tọa độ ố bài toán trên mặt phẳng tọa độ ất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN ề hàm số bậc hai ến phương trình bậc hai ương trình bậc hai ng trình b c hai ậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN 12

D ng 3 V n d ng đi u ki n có nghi m c a ph ạng 1 Một số bài toán trên mặt phẳng tọa độ ậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN ề hàm số bậc hai ện có nghiệm của phương trình bậc hai trong các bài toán GTLN, ện có nghiệm của phương trình bậc hai trong các bài toán GTLN, ương trình bậc hai ng trình b c hai trong các bài toán GTLN, ậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN GTNN 18

D ng 4 Đ nh lý Vi-et v i ph ạng 1 Một số bài toán trên mặt phẳng tọa độ ịnh lý Vi-et với phương trình bậc hai ới phương trình bậc hai ương trình bậc hai ng trình b c hai ậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN 22

D ng 5 Các bài toán t ạng 1 Một số bài toán trên mặt phẳng tọa độ ương trình bậc hai ng giao đ ường thẳng và parabol ng th ng và parabol ẳng tọa độ 31

D ng 6 ng d ng ph ạng 1 Một số bài toán trên mặt phẳng tọa độ ương trình bậc hai ng trình b c hai trong các bài toán s h c ậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN ố bài toán trên mặt phẳng tọa độ ọa độ 46

H ƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ VÀO 10 CHUYÊN NG D N GI I Đ THI H C SINH GI I VÀ VÀO 10 CHUYÊN ẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ VÀO 10 CHUYÊN ẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ VÀO 10 CHUYÊN Ề II HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI ỌC SINH GIỎI VÀ VÀO 10 CHUYÊN ỎI VÀ VÀO 10 CHUYÊN 49

CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI

a) Hàm số bậc nhất, xác định với mọi giá trị x  

b) Trên tập số thực, hàm số y ax b  đồng biến khi a 0 và nghịch biến khi a 0

3 Đồ thị hàm số y ax b  với a 0:

- Đồ thị hàm số y ax b  là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và cắt trục hoành

tại điểm có hoành độ bằng

b a



- a gọi là hệ số góc của đường thẳng y ax b 

4 Cách vẽ đồ thị hàm số y ax b  :

- Vẽ hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm

- Thường vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm của đồ thị với các trục tọa độ là A b;0 ,B0;b

6 Điều kiện để hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc:

Cho hai đường thẳng  d1 :y ax b  và đường thẳng d2:y a x b '  ' với , ' 0.

Chú ý: Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng y ax b  và trục Ox, nếu a 0 thì tan a.

B PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1 Một số bài toán trên mặt phẳng tọa độ

c) Khi  d1 / /d2 Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng   d1 , d2.

d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng  d1 và tính diện tích tam giác OMN với M N,

lần lượt là giao điểm của  d1 với các trục tọa độ Ox Oy, .

m 

thì  d1 / /d2.b) Vì A là điểm thuộc đường thẳng  d1 có hoành độ x 2 suy ra tung độ điểm A là

 

.Đường thẳng  d1 có hệ số góc là a 1, đường thẳng d2 có hệ số góc là a' a'.1 1 a'1.

Đường thẳng  d3 có dạng yx b Vì  d3 đi qua A2;4 suy ra 42 b b6 Vậy đường thẳng

 d3 là yx6

c) Khi  d1 / /d2 thì khoảng cách giữa hai đường thẳng  d1

và d2 cũng chính là khoảng cách giữa hai điểm A B, lần lượt

thuộc  d1 và d2 sao cho AB d1 ,ABd2

.Hình vẽ: Gọi B là giao điểm của đường thẳng  d3 và d2.

Vậy độ dài đoạn thẳng AB là:

d) Gọi M N, lần lượt là giao điểm của đường thẳng  d1 với các trục tọa độ Ox Oy, Ta có:

Cho y 0 x2 A2;0, cho y 0 x2 N2;0 Từ đó suy ra

Chú ý: Nếu tam giác OMN không vuông cân tại O ta có thể tính OH theo cách:

Trong tam giác vuông OMN ta có: 1 2 1 2 12  *

để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  d ta làm theo cách:

- Tìm các giao điểm M N, của  d với các trục tọa độ.

- Áp dụng công thức tính đường cao từ đỉnh góc vuông trong

tam giác vuông OMN (công thức (*)) để tính đoạn OH

Bằng cách làm tương tự ta có thể chứng minh được công thức sau:

Cho M x y 0; 0 và đường thẳng ax by c  0 Khoảng cách từ

a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng  d luôn đi qua.

b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng  d là lớn nhất.

c) Tìm m để đường thẳng  d cắt các trục tọa độ Ox Oy, lần lượt tại A B, sao cho tam giác OAB cân.

m 

không thỏa mãn điều kiện (do  d không cắt Oy) Xét

23

m 

, đường thẳng  d

cắt Ox Oy, tại các điểm A B, tạo thành tam giác cân OAB Do góc AOB900  OAB vuông cân tại O

Suy ra hệ số góc của đường thẳng  d phải bằng 1 hoặc -1 và đường thẳng  d không đi qua gốc O.

11

m Ta thấy chỉ có giá trị

12

Đường thẳng  d cắt trục Ox tại điểm A có tung độ bằng 0 nên

 Giá trị m 1 không thỏa mãn, do đường thẳng

 d đi qua gốc tọa độ.

Kết luận:

12

m 

Ví dụ 3.

Cho hai đường thẳng  d1 :mxm1y 2m 1 0, d2 : 1  m x my   4m 1 0.

a) Tìm các điểm cố định mà   d1 , d2 luôn đi qua.

b) Tìm m để khoảng cách từ điểm P0;4 đến đường thẳng  d1 là lớn nhất.

c) Chứng minh hai đường thẳng trên luôn cắt nhau tại điểm I Tìm quỹ tích điểm I khi m thay đổi.d) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác IAB với A B, lần lượt là các điểm cố định mà   d1 , d2

b) Để ý rằng đường thẳng  d1 luôn đi qua điểm cố định: A1;1 Gọi H là hình chiếu vuông góc của

P lên  d1 thì khoảng cách từ A đến  d1 là PH PA Suy ra khoảng cách lớn nhất là PA khi

Xét đường thẳng  d1 :mxm1y 2m 1 0 Nếu m 1 thì  d1 :x  1 0 không thỏa mãn điều kiện.

c) Nếu m 0 thì  d1 :y  1 0 và  d2 :x  1 0 suy ra hai đường thẳng này luôn vuông góc với nhau

và cắt nhau tại I  1;1 Nếu m 1 thì  d1 :x  1 0 và d2:y  3 0

suy ra hai đường thẳng này luôn

vuông góc với nhau và cắt nhau tại I1;3 Nếu m 0;1 thì ta

Do đó hai đường thẳng này luôn cắt nhau tại 1 điểm I .

Tóm lại với mọi giá trị của m thì hai đường thẳng   d1 , d2 luôn

vuông góc và cắt nhau tại điểm I Mặt khác theo câu a) ta có   d1 , d2

lần lượt đi qua hai điểm cố định A B, suy ra tam giác IAB vuông tại A Nên I nằm trên đường tròn đườngkính AB.

Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác IAB là 2 khi

và chỉ khi IH IK Hay tam giác vuông IAB vuông cân tại I .

Dạng 2 Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN

Ta có các kết quả quan trọng sau:

- Xét hàm số yf x  ax b với m x n  khi đó GTLN, GTNN của hàm số sẽ đạt được tại

với m x n  ta chỉ cần tính các giá trị biên

là f m f n ;   và so sánh hai giá trị đó để tìm GTLN, GTNN.

- Cũng từ tính chất trên ta suy ra: Nếu hàm số bậc nhất yf x ax b

Ví dụ 3.

Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện: a b c  1 Chứng minh rằng:

- Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x 0, nghịch biến khi x 0

- Nếu a 0 thì hàm đồng biến khi x 0, nghịch biến khi x 0

Đồ thị hàm số là một đường Parabol nhận gốc tọa độ O làm đỉnh, nhận trục tung làm trục đối xứng

Khi a 0 thì parabol có bề lõm quay lên trên, khi a 0 thì parabol có bề lõm quay xuống dưới

B PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1 Một số bài toán mở đầu về hàm số bậc hai

b) Đồ thị parabol có đỉnh là gốc tọa độ O0;0 bề lõm quay lên

trên có trục đối xứng là Oy đi qua các điểm

Ví dụ 2.

Một xe tải có chiều rộng là 2,4m chiều cao là 2,5m muốn đi qua một cái cổng hình parabol Biết khoảng

cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là 2 5m (Bỏ qua độ dày củacổng)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol  P :y ax 2 với a 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tảimuốn đi qua Chứng minh a 1

b) Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao?

(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội 2015-2016)

Lời giải:

a) Giả sử trên mặt phẳng tọa độ, độ dài các đoạn thẳng được

tính theo đơn vị mét Do khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m nên

2

MA NA  m Theo giả thiết ta có OM ON 2 5, áp dụng

định lý Pitago ta tính được: OA 4 vậy M2; 4 ,  N2; 4  Do

cổng

Xét đường thẳng  : 3

2

d y 

(ứng với chiều cao của xe) Đường

thẳng này cắt Parabol tại 2 điểm có tọa độ thỏa mãn hệ:

22

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A và B chạy trên parabol  P :yx2 sao cho A B O,  0;0

và OAOB Giả sử I là trung điểm của đoạn AB.

a) Tìm quỹ tích điểm trung điểm I của đoạn AB.

b) Đường thẳng AB luôn luôn đi qua một điểm cố định.

c) Xác định tọa độ điểm A và B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất.

Vậy tọa độ điểm I thỏa mãn phương trình: y2x2 1

Ta cũng có thể tìm điều kiện để OAOB theo cách sử dụng hệ số góc: Đường thẳng OA có hệ số góc là2

b) Phương trình đường thẳng đi qua A và B là  

luôn đi qua điểm cố định 0;1.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol  P :yx2

, trên  P lấy hai điểm A1;1 , B3;9

.a) Tính diện tích tam giác OAB

b) Xác định điểm C thuộc cung nhỏ AB của  P sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất

thuộc cung nhỏ  P với   1 c 3.

Diện tích tam giác: S ABC S ABB A' ' S ACC A' ' S BCC B' '

Các tứ giác ABB A AA C C CBB C' ', ' ' , ' ' đều là hình thang vuông nên ta có:

Dạng 2 Một số vấn đề nâng cao liên quan đến phương trình bậc hai

- Nếu  0 thì phương trình vô nghiệm

- Nếu  0 thì phương trình có nghiệm kép 2

b x a

Công thức nghiệm thu gọn: Khi b2 'b , ta xét  ' b'2 ac Khi đó:

- Nếu  ' 0 thì phương trình vô nghiệm

- Nếu  ' 0 thì phương trình có nghiệm kép:

2 Sự tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai:

Để chứng minh một phương trình bậc hai có nghiệm Thông thường ta chứng minh:  0 dựa trên các kỹthuật như biến đổi tương đương để đưa về dạng Ax B 2 0

, kiến thức về bất đẳng thức, bất phương trình,trong một số bài toán khó ta cần nắm bắt được những tính chất đặc biệt của tam thức bậc hai để vận dụng.Ngoài các kiến thức cơ sở trong SGK ta cần nắm thêm một số kết quả, bổ đề quan trọng sau:

- Mọi tam thức bậc hai: f x  ax2 bx c với a 0 đều có thể phân tích thành dạng:

- Xét a f    a f    a f2     f   0

trong hai số af   và af  có một số không

dương, tức là af  0 hoặc af    0 phương trình có nghiệm

.c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

Nếu a b c  0 thì từ giả thiết ta suy ra a b c  0 Do vậy phương trình có vô số nghiệm

Dưới đây ta xét trường hợp: a b c  0

Cho phương trình ax2bcx b 3c3 4abc0 1  a0 vô nghiệm Chứng minh rằng trong hai phương

trình sau có một phương trình vô nghiệm và một phương trình có nghiệm: ax2bx c 0 2  và

a) Hai phương trình trên lần lượt có:  '1 16 1 48a  bc, ' 2 16 1 24b  ac.

Vì a b, là các số dương nên ' , '1  2 lần lượt cùng dấu với 1 48bc và 1 24ac Mặt khác ta lại có:

Dẫn đến   '1 '2 0 Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm

b) Ba phương trình đã cho lần lượt có:  1 a2 4; 2 b2 4; 3 c2 4.

c) Nếu trong ba số a b c, , có một số bằng 0, chẳng hạn a  2  2 có nghiệm x 0.

Ta xét a b c, , là các số thực khác 0, khi đó ba phương trình đã cho là ba phương trình bậc hai lần lượt có:

Ví dụ 5.

a) Cho tam thức bậc hai f x x2bx c

trong đó b c, là các số nguyên Chứng minh rằng, tồn tại số

nguyên k để được f k  f 2015  f 2016

b) Cho tam thức bậc hai f x x2bx c

Giả sử phương trình f x  x

có hai nghiệm phân biệt

Chứng minh rằng phương trình f f x    x có 4 nghiệm nếu: b12 4b c 1

Lời giải:

a) Để chứng minh sự tồn tại của số k ta cần chỉ ra tính chất:

Với mọi đa thức bậc hai dạng: f x  x2 px q

Ta luôn có f f x  x f x f x   1 với mọi x Thật vậy, ta có:

- Để chứng minh trong n số a a1, , ,2 a n có ít nhất một số không âm (hoặc một số dương) ta chỉ cần

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm

Cách 2: Gọi f x  là vế trái của phương trình (1) Ta có:

 Trong bốn số f 0 ,f a f b f c ,  ,   luôn tồn tại hai số có tích không dương.

Dẫn đến phương trình đã cho luôn có nghiệm

- Nếu a 0 b 0 f x  là đa thức không, do đó f x  sẽ có nghiệm trong 0;1 .

- Nếu a 0, từ giả thiết 1

Dạng 3 Vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai trong các bài toán GTLN, GTNN

Bài toán 1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

2 2

ax bx c y



  với mx2nx p 0,x.Phương pháp:

Gọi y0 là một giá trị của biểu thức Khi đó:

suy ra biểu thức y luôn xác định với mọi x Gọi y0 là một giá

trị của biểu thức khi đó ta có: (*)

285

x 

.(*)Trường hợp 2: P 1 0  P1 phương trình (1) có nghiệm khi:

Ta chia tử số và mẫu số cho y2 và đặt

x t y

 thì

2 2

t 

suy ra A 0 2 là một giá trị của biểu thức nhận được.

+ Nếu A 0 2 thì (*) là một phương trình bậc hai có:

3

x

 

Khi x 1 t  2 y z 2 nên GTNN của x là 1.

Nhận xét p 1 là một giá trị của biểu thức.

Khi p 1 *  là phương trình bậc hai của x nên điều kiện để phương trình có nghiệm là:

b

a c

Một số ứng dụng cơ bản của định lý Vi-ét:

+ Nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai:

Nếu a b c  0 thì phương trình có hai nghiệm là: 1 1; 2

Bước 1: Kiểm tra điều kiện  0, sau đó áp dụng định lý Vi-ét

Bước 2: Biểu diễn biểu thức g x x 1, 2 theo Sx1x P x x2,  1 2 từ đó tính được g x x 1, 2.

 Một số biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm thường gặp:

 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là x x1, 2 cho trước:

Bước 1: Tính Sx1x P x x2,  1 2

Bước 2: Phương trình bậc hai nhận hai nghiệm x x1, 2 là X2 S X P0

 Tìm điều kiện để phương trình bậc hai (*) (a b c, , phụ thuộc vào tham số m), có hai nghiệm x x1, 2thỏa mãn một điều kiện cho trước h x x  1, 2 0 1  .

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình (*) có nghiệm, nghĩa là  0 Sau đó áp dụng định lý Vi-ét để tính

 Dấu của nghiệm phương trình bậc hai: ax2 bx c 0,a0

Bài toán 1: Phương trình có hai nghiệm trái dấu  ac0

Bài toán 2: Phương trình có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm dương có giá trị tuyệt đối bé hơn (hoặc

nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn)

00

ac S

Bài toán 3: Phương trình có hai nghiệm trái dấu trong đó có nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn (hoặc

nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bé hơn)

00

ac S

Bài toán 5: Phương trình có hai nghiệm dương

000

P S

Bài toán 9: Phương trình có đúng một nghiệm dương:

- Trường hợp 1: Phương trình có hai nghiệm trái dấu

- Trường hợp 2: Phương trình có nghiệm kép dương    0, 2 0

b

- Trường hợp 3: Phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương

Bài toán 10: Phương trình có đúng một nghiệm âm  Giải tương tự như bài toán 9

Chú ý: Nếu chỉ là phương trình có nghiệm âm mà không nói phân biệt thì thay  0 bằng  0

Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi    ' 0 2m  4 0 m2

Vì x1 là nghiệm của phương trình nên 2   2 2   2

Cho phương trình: x2 2mxm 13 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m 1

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệmcòn lại.

b) Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:  ' m2 m13 0 * .

Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình, theo hệ thức Vi-ét ta có:

Thay hai nghiệm x x1, 2 vào (1), ta được

Cho phương trình bậc hai: x2  2m1x m 2 2m 3 0 với m là tham số

+ Chứng minh rằng: Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

+ Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để x1 4 x2

Trường hợp 2: x1 m1;x2 m 3 điều kiện bài toán trở thành: m 4 m 3

Phương trình tương đương với  2 2

Tìm m để phương trình x2 2m 1x m 2 m 3 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 sao cho

Khi đó  ' 3 nên phương trình có 2 nghiệm là:

41

21

 yêu cầu bài toán tương đương với: m 4 2 m2  1 m9

thỏa mãn điều kiện

TH2:

1

2

24

Ngoài cách làm trên, ta có thể xử lý giả thiết: x1 2x2 1 theo cách: Do vai trò bình đẳng của x x1, 2 nên điều

kiện x1 2x2 1 tương đương với x1 2x2 1 x2 2x11 0

a) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x x1, 2.

b) Chứng minh rằng khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thì 3 3 2 2

và chỉ khi m  10 0 hoặc m  12 0 hay m 10 hoặc m 12

b) Theo định lý Vi-ét ta có:

1 2

1 2

2210

x x

x x m

 3      

4 124

Ví dụ 9.

Cho phương trình: x2  4m 1x3m2  2m0

.a) Giải phương trình khi m 1

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x1, 2 sao cho  1 2

 2  2  2

nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt Để phương

trình có 2 nghiệm x x1, 2 sao cho  1 2

1

13

m m

Giả sử phương trình x2ax b 0 có 2 nghiệm lớn hơn 1 Chứng minh rằng:

Cho các số thực a b c, , thỏa mãn: a0; 2a3b6c0 Chứng minh rằng: Phương trình ax2bx c 0

có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 và tìm giá trị nhỏ nhất của Px1 x2

do a 0, nên phương trình luôn có

2 nghiệm phân biệt x x1, 2.

b) Nếu đường thẳng  d :y mx n 

ta thường xét phương trình hoành độ giao điểm của  P và  d

là: ax2 mx n  ax2  mx n 0, từ đó ta xét số giao điểm dựa trên số nghiệm của phương trình

  Mọi câu hỏi liên quan đến

nghiệm x x1, 2 ta đều quy về định lý Vi-ét.

Chú ý: Đường thẳng  d có hệ số góc a đi qua điểm M x y 0; 0 thì có dạng: y a x x   0 y0

Ví dụ 1.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol  

2:2

m 

tìm tọa độ các giao điểm của  P và  d .

b) Chứng minh đường thẳng  d luôn cắt  P tại 2 điểm M N, nằm ở 2 phía trục tung Gọi I là điểm

cố định mà  d luôn đi qua Tìm m để diện tích tam giác CID bằng 4 5 với C D, lần lượt là hình chiếuvuông góc của M N, lên trục Ox.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của  P và  d là:

22

x

x m

với m 0 hay mx2 4x 4m0

43

phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt tức là

 d cắt  P tại 2 điểm phân biệt Hơn nữa

m 

để diện tíchtam giác ICD bằng 4 5

Ví dụ 2.

Trong mặt phẳng cho Parabol  P :yx2 và đường thẳng  d :ym 2x3

a) Chứng minh rằng khi m thay đổi  P luôn cắt  d tại 2 điểm phân biệt nằm về 2 phía trục tung.

b) Gọi x x1, 2 là các hoành độ giao điểm A B, của  d với  P và x10x2 Xét các điểm

thẳng  d luôn cắt  P tại 2 điểm phân biệt A B, Theo hệ thức

Vi-ét ta cũng có x x  1 2 3 0 suy ra 2 giao điểm A B, nằm về 2

phía trục tung

b) Vì các điểm A C, có cùng hoành độ và C Ox nên ACCO, tương tự BDOD.

Tam giác ACO vuông tại C BDO, vuông tại D nên ta có:

          , do m 22  0 m suy ra   8 0 nên phương trình luôn

có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2, hay  d luôn cắt  P tại 2 điểm phân biệt A x y 1; 1,B x y 2; 2 Vì

x x có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1 Hay A B, nằm về 2 phía điểm M .

Gọi C E D, , lần lượt là hình chiếu vuông góc của A M B, , lên

Ví dụ 4.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng  d :y2m1x m2m

và parabol  P :yx2

.a) Khi m 1 tìm tọa độ giao điểm của  P và  d .

b) Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng  d cắt  P tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là x x1, 2 sao

Với x 1 thì y 1, với x 2 thì y 4 Vậy  d cắt  P tại 2 điểm A1;1 , B2;4.

b) Để  d cắt  P tại 2 điểm phân biệt điều kiện là  2  2 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol  P :y2x2 và đường thẳng  d :y2mx m 1

Tìm m để đường thẳng  d cắt parabol  P tại 2 điểm phân biệt x x1, 2 sao cho

đường thẳng  d luôn cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt A B, Ta thấy:

b) Gọi x x1, 2 là hoành độ các giao điểm của  d và  P Tìm m sao cho 2 2 3 3

với mọi m nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

Suy ra đường thẳng  d luôn cắt parabol  P tại 2 điểm phân biệt.

biệt Hay  ' m122m 4 0  m2 3 0  m  3

.Yêu cầu bài toán là: x12x22  4 x1x22 2x x1 2 4 0 3  

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của  d và  P là:

x mx  x  mx 

Ta có  m216 0 với mọi m nên phương trình luôn

có 2 nghiệm phân biệt A B, , suy ra đường thẳng  d

luôn cắt  P tại 2 điểm phân biệtA B, .