Đs9 cđ8 tam thức bậc hai 1

Tìm nghiệm duy nhất đó c Tìm m để phương trình trên có một nghiệm bằng 2.. Chứng minh rằng phương trình luôn có hainghiệm phân biệt với mọi m... Điều kiện để phương trình có hai nghiệm p

CHUYÊN ĐỀ: TAM THỨC BẬC HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1: Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ax2bx c  0

A Kiến thức cần nhớ

*) Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai ax2bx c 0

+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt   b2 4ac 0

Cho phương trình m1x2 2x 3 0 (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình trên có nghiệm

b) Tìm m để phương trình trên có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm duy nhất đó

c) Tìm m để phương trình trên có một nghiệm bằng 2 Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại (nếucó)

Khi đó để phương trình có nghiệm thì

2 ' 3 2 0

m 

thì phương trình có nghiệm

b) Với m 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất

3 2

x 

Với m 1, để phương trình có nghiệm duy nhất thì

2 ' 3 2 0

x y x

x

Do P nguyên nên P 12 bằng 0 hoặc 1.

+ Nếu P12  0 P 1 x1 (không thỏa mãn điều kiện xác định)

Vì a b c, , là độ dài bâ cạnh của tam giác nên a b c  0,a b c  0,a b c  0,a b c  0

Do đó   0 Vậy phương trình vô nghiệm

- Nếu a b c    0 x 1 là nghiệm của phương trình

- Nếu a b c    0 x 1 là nghiệm của phương trình

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x1 , 2 thỏa mãn

Từ giả thiết x x1 , 2 là 2 nghiệm của phương trình x2  2mx m   1 x2 2mx m  1 0 

(P) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

1) Tìm a để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm A B,

2) Gọi x x A, B là hoành độ của hai điểm A B, Tìm GTNN của

6 4 3 2.8 17

80 5.8 4 3 2.8

Cho phương trình x2 2m1x m 2 2 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2thỏa mãn hệ thức 3x x1 2  5x1 x2  7 0

Bài 9:

Cho phương trình x2 5x m  2 0  (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m 12

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 ; 2 thỏa mãn 1 2

Phương trình đường thẳng đi qua điểm I0;1 có hệ số góc  có dạng y ax 1 d

Xét phương trình hoành độ giao điểm của  d và  P là: x2 ax 1 x2 ax1 0 *  

Đường thẳng  d cắt  P tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hainghiệm x x1 , 2   a2  4 0 (luôn đúng)

Khi đó tọa độ các giao điểm là  2  2

x2 x12 1 x1 x22 40 x1 x22 4x x1 2   1 x1 x22 40  2

Thay (1) và (2) ta được a2  4 1  a2  40  a4  5a2  36 0   a 2

Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y2x1 và y2x1

Bài 3: Hệ không đối xứng giữa các nghiệm

Bài 1: Phú Thọ, năm học 2016Cho phương trình x2 2x m  5 0  Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1 , 2 thỏa mãnđiều kiện 2x1  3x2  7

Bài 2:

Cho phương trình x2 2m1x 2m0 Chứng minh rằng phương trình luôn có hainghiệm phân biệt với mọi m Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình, tìm tất cả các giátrị của m sao cho x12x1  x2   5 2m

Cho phương trình x22m1x m 2 3 0 1   (m là tham số)

1) Giải phương trình (1) với m 2

2) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1 , 2 sao cho x12x22  4

Kết hợp với điều kiện m 2 suy ra m 1 là giá trị cần tìm

Bài 5: Nam Định, năm học 2016

Cho phương trình x2 2 2 m1x4m2 2m 3 0 (m là tham số)

1) Giải phương trình với m 1

2) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 thỏa mãn

Cho phương trình x2 2x m 22m0 1 , m là tham số

1) Giải phương trình (1) khi m 1

2) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 thỏa mãn điều kiện

3 2

Khi đó theo Viét ta có

m

m m

1 2

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là

Bài 4: Biện luận dấu của nghiệm

Phương trình ax2 bx c  0 có hai nghiệm x x1 , 2

Cho phương trình ax2 bx c  0 (1)

1) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu

0 0

2) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu P 0

3) Phương trình (1) có hai nghiệm dương

0 0 0

P S

P S

b) Hai nghiệm dương phân biệt

c) Hai nghiệm âm phân biệt

Bài 2:

Cho Parabol  P y x:  2 và đường thẳng y5x 3m1 Tìm m để Parabol cắt đường thẳngtại hai điểm phân biệt A B, nằm ở

a) Hai nửa mặt phẳng khác nhau có bờ là trục Oy

b) Nằm cùng ở nửa mặt phẳng bên trái trục Oy

c) nằm cùng ở nửa mặt phẳng bên phải trục Oy

a) Hai điểm A B, nằm hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ Oy  x x A, B trái dấu

Để phương trình (*) có hai nghiệm x x A, B trái dấu

1 0

3

b) A B, nằm cùng nửa bên trái trục Oy  x x A, B cùng âm

c) Điều kiện  x x A, B cùng dương

Bài 3:

Cho phương trình m1x2 2m 1x m  2 0 Tìm m để phương trình có

a) Hai nghiệm trái dấu

b) Hai nghiệm âm phân biệt

c) Hai nghiệm dương phân biệt

m b

S

m P m

Để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt thì phương trình t2 6t m  0 có hai

nghiệm dương phân biệt

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

Lời giải

a) Ta có  ' m12   3 m m2 m  4 0 m

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  P    0 3 m  0 m  3

c) Phương trình có hai nghiệm cùng âm

Vậy phương trình có hai nghiệm x1  1; x2  m 4

Khi đó để phương trình có ít nhất một nghiệm không âm thì m 4 0   m 4

Bài 5: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Cho phương trình x2bx c  2 0  với b c, nguyên có nghiệm kép x 0 2 Tìm GTNN của

Cho phương trình x2 mx m  1 0  Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình Tìm giá

trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức  

Phương trình có hai nghiệm vì  

Dấu “=” xảy ra khi m   1 0 m 1

Vậy giá trị lớn nhất của B là 1 khi m 1

Cách 1: Đưa về phương trình bậc hai với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện chotham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

2 2

2 1 0

1 2

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là  b2  4ac 0

Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x1 x2, theo định lí Viét ta có

x x a

 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

Dấu “=” xảy ra  2m   1 1 0 m0 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy m 0 là giá trị cần tìm Khi đó P min 3

Bài 6: Nghiệm chung của hai phương trình

Vậy ít nhất một trong hai phương trình ban đầu phải có nghiệm.

+ TH2: x 0 1 là nghiệm chung của hai phương trình  m   3 0 m 3

b) Nếu 2 phương trình có nghiệm và có cùng tập nghiệm  hai phương trình có nghiệmchung

Thay m 3 vào phương trình (2)  x2  2x   1 0 x 1

Như vậy 2 phương trình không tương đương

3

1 4

Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x0  

2

0 0 2

1 0 1 0 1

0

* 0

1 0 1 0 1

0

2 0

Mặt khác theo Viét từ phương trình (1) ta có x x1 2 bc

Mà x1     c x2 b, tức là phương trình (1) luôn có nghiệm nữa là x b

Tương tự phương trình (2) còn có nghiệm nữa là x a

Theo Viét đảo, a và b là hai nghiệm của phương trình x2  a b x ab    0 x2cx ab 0

Bài 5:

Cho phương trình bậc hai 2bx c  0 có một nghiệm dương x1 Chứng minh phươngtrình cx2bx a  0 cũng có một nghiệm dương x2 và x1 x2  2

Lời giải

Theo giả thiết ax12bx1  c 0, x1  0

Chia hai vế cho x 12 0 ta được

+ Nếu a 1 thì (1) trở thành x2   x 8 0, phương trình vô nghiệm

(2) trở thành x2   x 1 0, phương trình vô nghiệm

+ Nếu a 1 thì 0

8 1

a x a





 Thay vào (2) và rút gọn ta có a3 24a 72 0   a 6

Với a 6, phương trình (1) trở thành x2  6x  8 0, có hai nghiệm x1  2;x2  4

phương trình (2) trở thành x2 x 6 0  , có hai nghiệm x1  2;x2  3

Do đó (1) và (2) có 1 nghiệm chung là x 2

Vậy với a 6 thì 2 phương trình có một nghiệm chung

*) Một số bài toán khác:

Bài 7:

Cho f x  x2bx c 0 Chứng minh rằng nếu m n k, , là ba số nguyên đôi một khác nhau

n n

n n n

Tổng trên chỉ xác định khi a b c, , đôi một khác nhau

Nếu thay d bằng x và đặt tổng trên bằng f x  thì

Chứng minh rằng với a b c, , là các số đôi một khác nhau thì

Theo Viét đảo suy ra b c, là nghiệm phương trình x2  2a3  a x  2a2  0

Phương trình có nghiệm khi 2 4 2  2 1 2 2

Trừ theo từng vế của hai đẳng thức trên ta có  3 3  2 2  

a

2) Nếu y 0, đặt

2 2

Dấu “=” xảy ra khi

Thay vào (1) ta được