Đs9 cđ6 phương trình bậc hai và hệ thức viet 1

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN, HỆ THỨC VIÉT I... Chú ý: Nếu ac < ⇒0 phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu... Cho m là tham số, giải các phương trình sau... Tìm các giá trị ngu

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN, HỆ THỨC VIÉT

I LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2+bx c+ =0(a≠ 0)

2 Các bước giải phương trình bậc hai

- Xác định các hệ số a, b, c ( hoặc b’)

- Tính ∆ =b2 −4ac hoặc ∆ =' b'2−ac rồi so sánh với 0

- Tính ∆ hoặc ∆' nếu ∆ >0 hoặc ∆ >' 0

2 Tìm hai số khi biết tổng và tích

c) Muốn tìm hai số u và v, biết u v S uv P+ = ; = , ta giải phương trình X2 −SX P+ = 0

4 Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm

Ví dụ: Tính 3 3

A x= +x

5 Phân tích đa thức thành nhân tử

Nếu ax bx c2 + + = 0(a≠ 0) có hai nghiệm là x x1 , 2 thì 2 ( )( )

ax bx c a x x x x+ + = − −

c Chú ý: Nếu ac < ⇒0 phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu

II Hệ thống bài tập sử dụng trong chuyên đề

Bắc Ninh 2012 – 2013; 2014; 2015; 2017 Bắc Giang 2012; 2015; 2017; 2020 - 2021

Chuyên Toán Lê Quý Đôn Quảng Trị 2014-2015

Chuyên Toán Quảng Ngãi Hải Dương 2012-2013

Chuyên Toán Lam Sơn Thanh Hóa 2014-2015

Chuyên Toán Lương Thế Vinh 2011-2012; 2013-2014 Chuyên Toán Hà Tĩnh

2014-2015

Chuyên Toán Lương Văn Chánh Phú Yên 2014-2015

A GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1) Định nghĩa: Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax bx c2 + + = 0(a≠ 0) 1( )2) Cách giải phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai (1) Ta xét các trường hợp đặc biệt sau

- c =0, khi đó phương trình (1) trở thành: 2 ( ) 0

x a

= 0

∆ > Phương trình có hai nghiệm phân biệt

∆ > Phương trình có hai nghiệm phân biệt

= = −

Bài 2: Giải các phương trình sau

Cho m là tham số, giải các phương trình sau

B GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Xét phương trình bậc hai ax bx c2 + + = 0(a≠ 0) 1( )

Từ cách giải phương trình bậc hai ta có:

- Phương trình (1) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0

- Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ ∆ < 0

- Phương trình (1) có hai nghiệm ⇔ ∆ > 0

Giải và biện luận phương trình là đi trả lời các câu hỏi sau:

- Khi nào phương trình có nghiệm? Vô ngiêm?

- Nếu phương trình có nghiệm thì có bao nhiêu nghiệm?

- Nghiệm của phương trình được biểu diễn như thế nào?

Vậy m ≥3 hoặc m ≤0 là những giá trị cần tìm

Bài 2:

Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

a) mx2 −(2m+ 3)x m+ + = 1 0 b) (m− 1)x2 −(2m+ 3)x m+ + = 1 0

Lời giải

a) Ta đi xét 2 trương hợp sau

- Trường hợp 1: m =0, khi đó phương trình trở thành 3 1 0 1 0

b) Ta đi xét hai trường hợp

+ Khi b ≠0 phương trình có hai nghiệm phân biệt là

2 1

x

a b b x

Bài 4: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Lên Quý Đôn Quảng Trị, năm học 2014 - 2015

Cho phương trình x2 +ax b+ = 0 có nghiệm nguyên và a b+ + = 1 2014. Tìm a b, nguyên

Vì phương trình x2 +ax b+ = 0 có nghiệm nguyên nên ∆ =a2 − 4b a= 2 − 4 2013( −a)

Vậy các cặp (a; b) cần tìm là: (1007;1006 , 2013;0 , 1011;3024 , 2017;4030) ( ) (− ) (− )

*) Chú ý: Phương trình x bx c2 + + = 0 ,(a b Z∈ ) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi ∆ là số chính phương

Bài 5: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Quảng Ngãi Hải Dương, năm học 2012 - 2013

Xét phương trình x m x2 − 2 + 2m+ = 2 0 1 ( ) Tìm các giá trị nguyên dương của m để (1) có nghiệm nguyên

Lời giải

Ta có ∆ =m4 − 4 2( m+ 2)=m4 − 8m− 8

Phương trình có nghiệm khi ∆ ≥ ⇔ 0 m4 − 8m− > 8 0 2( )

Với m = ⇒ ∆ =3 49 nên (1) có hai nghiệm x= 1;x= 8

Bài 7:

Tìm m để phương trình sau có nghiệm nguyên: x mx m2 − + 2 + 2m− = 1 0

Lời giải

*) Nhận xét: Với bài toán này ta không còn áp dụng được cách giải như ở bài 6 vì trong bài

đưa về cách giải ở bài toán 6

Bài 8: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Lam Sơn Thanh Hóa, năm học 2014 - 2015

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x3 +y3 − 3xy= 3

+ a =1 ta có 6y2 − 6y− = 2 0, phương trình không có nghiệm nguyên

+ a =2 ta có 9y2 − 18y+ = 5 0, phương trình không có nghiệm nguyên

Vậy phương trình có nghiệm nguyên là ( ) ( ) (x y ∈; { 2;0 , 0; 2 − ) }

C CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ NGHIỆM, VÔ NGHIỆM

Để chứng minh một phương trình bậc hai vô nghiệm ta chứng minh phương trình có ∆ < 0

Để chứn minh phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh phương trình bậc hai có ∆ ≥ 0 Ngoài ra để chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm ta còn có cách dựa vào tính chất sau: Cho f x( )= ax2 +bx c+ (1)

Nếu có 1 số thực m sao cho a f m < ( ) 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt

m m

Phân tích: Vì bài toán yêu cầu chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt nên phương

0

cần chứng minh ∆ =b2 − 4ac> 0 hoặc chỉ ra số thực m sao cho a f m <. ( ) 0 với f x( )=ax bx c2 + +

Cách 1: Để chứng minh ∆ =b2 − 4ac> 0, ta biến đổi giả thiết bài toán như sau:

- b ≠0 thì phươn trình đã cho có nghiệm x c

b

−

=

trình có nghiệm, ta có thể chứng minh ∆ =b2−4ac≥0 hoặc chỉ ra số thực m thỏa mãn

Cách 2: Để chỉ ra số thực m thỏa mãn a f m < ta xử lí như sau ( ) 0

Chú ý: Khi đề bài cho a, b, c thỏa mãn ma nb pc+ + = 0 và yêu cầu chứng minh phương trình 2

ax bx c+ + có ngiệm, ta có thể chứng minh như sau

Cách 1: Chứng minh ∆ =b2 − 4ac≥ 0 (khi a ≠0)

Cách 2: Chỉ ra tồn tại x, y, z thỏa mãn: x f. ( )α +y f. ( )β +z f. ( )γ =ma nb pc+ + khi đó trong ba

đi xét tổng ∆ + ∆ '1 ' 2 Nếu ∆ + ∆ ≥ '1 '2 0 thì trong hai số ∆ ∆ ' , '1 2 có ít nhất một số không âm Ta có

2 3

2 3

0 0

0 0

dương Điều này gợi ý ta đi chứng minh ∆ ∆ <2 3 0

2 2

2 3

(*)⇔(b −4 )(ac c −4 ) 0ab < ⇔ ∆ ∆ < ⇒ 0 trong hai số ∆ ∆2, 3 có một số âm và một số dương dẫn đến trong hai phương trình (2)(3) luôn có một phương trình có hai nghiệm phân biệt và một phương trình vô nghiệm

Bài 10: Tuyển sinh Bạc Liêu, năm học 2021 - 2022

Cho phương trình: x2 −(m+ 2)x m+ + = 1 0(1)

a) Giải phương trình với m = −3

b) Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi số thực m

Lời giải

Khi m = −3 phương trình (1) trở thành: x2 + − =x 2 0

Vì 1 1 2 0 + − = nên phương trình có hai nghiệm x1= 1;x2 = − 2

∆ = −  +  − + = + + − − = ≥ với mọi m

Bài 11: Tuyển sinh Cà Mau, năm học 2021 - 2022

Cho phương trình x2 + (2m− 1)x m+ 2 − 4m+ = 7 0 (mlà tham số)

a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm

b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt

Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt

0 0 0

b a c a