Đs9 cđ6 phương trình bậc hai và hệ thức viet 2

Chú ý: Nếu ac < ⇒0 phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.. - Phương trình 1 có hai nghiệm có thể trùng nhau cùng dấu 0a có hai nghiệm phân biệt trái dấu b Có hai nghiệm cùng dương...

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN, HỆ THỨC VIÉT

I LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2+bx c+ =0(a≠ 0)

2 Các bước giải phương trình bậc hai

- Xác định các hệ số a, b, c ( hoặc b’)

- Tính ∆ =b2 −4ac hoặc ∆ =' b'2−ac rồi so sánh với 0

- Tính ∆ hoặc ∆' nếu ∆ >0 hoặc ∆ >' 0

2 Tìm hai số khi biết tổng và tích

c) Muốn tìm hai số u và v, biết u v S uv P+ = ; = , ta giải phương trình X2 −SX P+ = 0

(Điều kiện để có u và v là S2 − 4P≥ 0)

5 Phân tích đa thức thành nhân tử

Nếu ax bx c2 + + = 0(a≠ 0) có hai nghiệm là x x1, 2 thì 2 ( )( )

ax bx c a x x x x+ + = − −

c Chú ý: Nếu ac < ⇒0 phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu

II Hệ thống bài tập sử dụng trong chuyên đề

Chuyên Toán Lương Thế Vinh 2011-2012; 2013-2014

Chuyên Toán Hà Tĩnh

2014-2015

2 Tìm hai số khi biết tổng và tích

c) Muốn tìm hai số u và v, biết u v S uv P+ = ; = , ta giải phương trình X2 −SX P+ = 0

(Điều kiện để có u và v là S2 − 4P≥ 0)

3 Xét dấu các nghiệm

5 Phân tích đa thức thành nhân tử

Nếu ax bx c2 + + = 0(a≠ 0) có hai nghiệm là x x1, 2 thì 2 ( )( )

ax bx c a x x x x+ + = − −

B Các ứng dụng của định lí Viét

Ứng dụng 1: Tính giá trị biểu thức hai nghiệm

Bài toán: Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình ax bx c2 + + = 0. Tính giá trị của biểu thức ( 1 , 2)

P F x x=

Cách giải: Để tính giá trị của P ta thường có hai cách sau:

Cách 1: Tính giá trị x x1, 2 rồi thay vào biểu thức để tính

Cách 2: Biểu diễn biểu thức F x x( 1 , 2) qua tổng và tích hai nghiệm rồi sử dụng định lí Vi-ét

Để phân tích F x x( 1, 2) qua tổng và tích hai nghiệm, ta cần chú ý:

*) Chú ý 1: Biểu thức F a b( ), được gọi là đối xứng nếu F a b( ), =F b a( ), mọi biểu thức đối xứng hai biến luôn biểu diễn được thông qua tổng và tích của hai biến đó

Một số biểu diễn cơ bản: Đặt S a b P ab= + , = , khi đó ta có:

a b+ = a b+ − ab S= − P

+ (a b− ) (2 = a b+ )2 − 4ab S= 2− 4P

Bài 1: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Lương Thế Vinh, năm học 2013 - 2014

Cho x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình x2 − − =x 1 0. Tính giá trị của biểu thức

Bài 2: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Lương Thế Vinh, năm học 2011 - 2012

Cho phương trình x2 + 5 1x+ − 5 0 = Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình trên (x x1< 2) Tính giá trị của biểu thức A=(x1 + 2)(x2 + 3)

A x x

Bài 3: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Hà Tĩnh, năm học 2014 - 2015

Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình x2 − − =x 1 0. Không giải phương trình, chứng minh rằng P x( )1 =P x( )2 với P x( )= 3x− 33x+ 25

Bài 4: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Lương Văn Tụy, năm học 2014 - 2015

Cho hai phương trình x bx c2 + + = 0 1( ) và x b x bc2 − 2 + = 0 2( ) (trong đó x là ẩn, b và c là các

Cho phương trình x − 4x− = 3 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 Không giải phương trình hãy

- Phương trình (1) có hai nghiệm (có thể trùng nhau) cùng dấu 0

a) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

b) Có hai nghiệm cùng dương

b) Phương trình có hai nghiệm cùng dương ' 00

0

P S

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:

a) x2 − 2(m− 1)x m+ + = 1 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu

b) x2 − 8x+ 2m+ = 6 0 có hai nghiệm phân biệt

c) x − 2(m− 1)x m+ + = 1 0 có hai nghiệm phân biệt âm

d) x2−6x+2m+ =1 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dương

e) x2 − 2(m− 1)x m+ + = 1 0 có đúng một nghiệm dương

Lời giải

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac< ⇔ < −0 m 1

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ =8 4 22− ( m+6)> ⇔ <0 m 5

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm ( )

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:

a) ac= − − < ⇔ > −3 m 0 m 3 có hai nghiệm trái dấu

b) ac= − − < ⇔ > −3 m 0 m 3 có hai nghiệm âm

c) ac= − − < ⇔ > −3 m 0 m 3 có hai nghiệm lớn hơn m

d) mx2 −2(m−2)x+ +3(m−2)=0 có hai nghiệm cùng dấu

Lời giải

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ − < <1 m 2

b) Phương trình có hai nghiệm âm ⇔  >02 3

≤ − −



m m

c) Phương trình có hai nghiệm lớn hơn m ⇔ < −m 1

d) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu ⇔ − ≤ <1 m 0

Bài 6: Tuyển sinh vào 10, Hải Phòng, năm học 2012 -2013

Cho phương trình x2+mx m− − =1 0(1) ( m là tham số )

a Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

b Tìm m để pt (1) có ít nhất 1 nghiệm không dương

Lời giải

a) ∆ =(m+2)2 ≥ ∀ ⇒0 m dpcm

b) Phương trình có ít nhất 1 nghiệm không dương nên ta có các trường hợp

+) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ = − − < ⇔P m 1 0 m> −1

Bài 7: Tuyển sinh vào 10, Chuyên Toán Long An, năm học 2012 -2013

phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 sao cho x x1< 2 <2

Lời giải Cách 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 4 0 1(*)

Bài 8:Tuyển sinh Chuyên Toán Lương Văn Chánh, Phú Yên, năm học 2014 - 2015

Cho phương trình x3−(2m+1)x2+(2m m2− +2)x−(2m2−3m+2) 0= (m là tham số ) Tìm

Yêu cầu bài toán 2 2 2 2

2

3

2 1

P

m m

Dạng 1: Các nghiệm thỏa mãn một biểu thức đối xứng

Bài toán thường gặp: Tìm m để phương trình ax bx c2 + + = 0(a≠ 0) có hai nghiệm (phân biệt)

- ax bx c2 + + = 0(a≠ 0) có hai nghiệm phân biệtt x x ⇔ ∆ > ∆ >1 , 2 0 ' 0( )

Bước 2: Biến đổi biểu thức đối xứng đối với x x1, 2 về tổng x x1+ 2 và tích x x1, 2

Bước 3: Sử dụng định lí Vi-ét, ta có x x1 2 b;x x1 2 c

− + = = thay vào biểu thức chứa tổng x x1+ 2

và tích x x1 2 ở trên

Bước 4: Giải ra tìm m và đối chiếu điều kiện

Bài 1: Tuyển Sinh vào 10 PTNK, Hồ Chí Minh, năm học 2013 - 2014 Cho phương trình x3 − 4x x m+ + = 1 0 1( )

a) Giải phương trình khi m = −33

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1 , 2 thỏa mãn 6 6

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

Khi đó theo định lí Vi-ét ta có: 1 2

1 2

4 1

Phương trình có hai nghiệm x x1, 2 khi ∆ =m2 + 12 0 > (luôn đúng với mọi m)

Khi đó theo định lí Vi-ét ta có x x1 + 2 =m x x, 1 2 = − 3

2) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 là độ dài hai cạnh góc vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5

Lời giải

1) ta có ∆ = (m− 1) 2 ≥ ⇒ 0 phương trình luôn có nghiệm với mọi m

2 Ta tìm được hai nghiệm của phương trình là x1 = 3;x2 = +m 2

Yêu cầu của bài toán 12

m

m m

Bài 5:Tuyển Sinh vào 10, Hà Nội, 30/06/2014

Cho phương trình: x2 − 2(3 −m x) − − 4 m2 = 0(1) (m là tham số)

1) Giải phương trình khi m =1

2) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn: x1 − x2 = 6

Lời giải

2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt 2

1 , 2 ' 0 2 6 13 0

x x ⇔ ∆ > ⇔ m − m+ > (luôn đúng) Vậy phương trình luôn có hai nghiệm hai nghiệm phân biệt với mọi m

Bài 6: Tuyển Sinh vào 10, Bắc Ninh, 20/06/2014

Cho phương trình x2 + 2mx− 2m− = 6 0(1) ( m là tham số)

2) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 sao cho 2 2

Bài 7: Tuyển Sinh vào 10, Bắc Giang, 06/06/2017

Cho phương trình x2 − (2m+ 5)x+ 2m+ = 1 0(1) (m là tham số)

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương là 1 2

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2

a) Giải phương trình ( )1 khi m =2

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ( )1 có hai nghiệm x x1 , 2 thỏa mãn

Bài 13:Tuyển Sinh vào 10, Hải Phòng 2020 - 2021 Cho phương trình x2 − 2(m+ 1)x m+ 2 − = 1 0 (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m =7

= + −

m≥ − ⇒ + ≥ ⇒m m+ ≥ ⇔ m+ − ≥ ⇒M min = 0

Dấu “=” xảy ra ⇔ = −m 1 (thỏa mãn)

Vậy m = −1 thỏa mãn bài toán

Bài 14:Tuyển Sinh vào 10, Nam Định 2020 - 2021 Cho phương trình x2 − (2m+ 1)x m m+ 2 + = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m =4

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 với mọi m Tìm m để

Bài 16:Tuyển Sinh vào 10, Thanh Hóa 2020 - 2021 Cho phương trình x2 + 5x+ = 4 0 (m là tham số) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 thỏa mãn hệ thức

Vậy m = − ±5 5 2 thảo mãn bài toán

Bài 17:Tuyển sinh Bến Tre, năm học 2021 - 2022 Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình: x2 − 2(m− 3)x− 6m− = 7 0 với m là tham số Tìm giá

∆ = −  −  − − − = + > với mọi m thuộc 

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

Vậy C = −min 344 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m =9

Bài 18:Tuyển sinh Bạc Liêu, năm học 2021 - 2022 Cho phương trình x2 −(m+ 2)x m+ + = 1 0 (1)

a) Giải phương trình với m =3

5

h =

Lời giải

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi số thực m

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 ; 2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là 2

5

h = Theo câu b) ta có: ∆ =m2

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1 ; 2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông

a) Giải phương trình (1) khi m =4

Thay m =4 vào phương trình (1) ta được: x2 + 2x− = 8 0

Ta có: ∆ = + = = ′ 1 8 9 3 2 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1

2

x x

 = − + =



= − − = −

Vậy phương trình có tập nghiệm S = −{ 4;2}

b) Phương trình (1) có: ∆ = (m− 2) 32 0 2 + > ∀m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

Khi đó theo Vi-ét ta có: 1 2

1 2

2 8

Vậy Q =max 49 Dấu "=" xảy ra khi m =2

Vậy giá trị lớn nhất của Q bằng 49 khi m =2

Bài 20:Tuyển sinh Cao Bằng, năm học 2021 - 2022 Cho phương trình (m m2 + + 1) (x2 − m2 + 2m+ 2)x− = 1 0 (m là tham số) Giả sử x1và x2 là các nghiệm của phương trình trên Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức S x x= + 1 2

  nên phương trình (1) là phương trình bậc 2 ẩn x với mọi m

Phương trình (1) có hai nghiệm x x1; 2 khi và chỉ khi ∆ ≥ 0

1

m m S

* Nếu S ≠1, khi đó phương trình (*) có:

3

S S

3 khi m = −2, giá trị lớn nhất của S là 2 khi m =0

Bài 21:Tuyển sinh Đà nẵng, năm học 2021 - 2022 Cho phương trình x2 + 4(m− 1) 12 0 (*)x− = , với m là tham số

a) Giải phương trình (*) khi m =2

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (*) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn điều

4 x − 2 4 −mx = x x x x+ − − 8

Lời giải

a) Thay m =2 vào phương trình (*), ta có: x2 + 4(2 1) 12 0 − x− = ⇔ x2 + 4 12 0x− =

Ta có: ∆ = ' 2 12 16 4 2 + = = 2 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 2 4 2

x x

= − + =



 = − − = −

Vậy với m =2 thì tập nghiệm của phương trình (*) là S ={2;6}

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa

Bài 22:Tuyển sinh Hà Tĩnh, năm học 2021 - 2022 Cho phương trình x2 − 2(m 1) + x m+ 2 = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình với m =1

b) Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn 2 2

1 2 6 4 1 2

x +x + = x x

Lời giải

a) Với m =1, phương trình đã cho trở thành x2 − 4 1 0x+ =

Ta có ∆ = ′ 2 1 3 0 2 − = > nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1

2

b x

a b x

b) Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x x1, 2 thóa mãn: x1 +x2 + = 6 4x x1 2

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn là m =5

Bài 23:Tuyển sinh Hải Phòng, năm học 2021 - 2022 Cho phương trình x2 − 2(m+ 1)x m+ 2 + = 2 0 (x là tham số, m là tham số)

a) Giải phuơng trình (1) khi m =1

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x =1 1 và x2 c 3.

a

= =Vậy với m =1 thì phương trình có tập nghiệm là: S ={1;3}

4

3

m ktm m

m = là thỏa mãn bài toán

Bài 24:Tuyển sinh Nam Định, năm học 2021 - 2022 Cho phương trình x2 − 2(m+ 1)x m+ 2 + 2m= 0 (với m là tham số) Tìm tất cả các giá trị của m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1; 2(với x x1< 2) thỏa mãn: x1 = 3x2

a) Giải phương trình (1) với m =3

c) Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình ( )1 Tìm giá trị của m để biểu thức 2 2

1 2

P x= +x đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có a b c+ + = + 1 -3 2 0( )+ = nên phương trình có hai nghiệm x1 = 1,x2 = 2

b) Chứng minh rằng phương trình ( )1 luôn có nghiệm với mọi m

Vậy phương trình ( )1 luôn có nghiệm với mọi m

c) Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình ( )1 theo định lý Vi-ét ta có 1 2

Dấu " " = xảy ra khi m− = ⇔ = 1 0 m 1

Vậy với thì đạt giá trị nhỏ nhất là

Bài 26:Tuyển sinh Quảng Bình, năm học 2021 - 2022 Cho phương trình x2 − 6x m+ + = 4 0 1( ) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m =1

Vậy khi m =1 thì tập nghiệm của phương trình là S ={1;5}

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1 , 2 thỏa mãn ( 1 2) 1 2

2021

m =

Bài 27:Tuyển sinh Quảng Trị, năm học 2021 - 2022 Cho phương trình ẩn x: x2 − 2(m+ 2)x m+ 2 + = 7 0

b) Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình Tìm m để 2 2

1 2 1 2 12

x +x =x x +

m > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình Tìm m để 2 2

1 2 1 2 12

x +x =x x + Với 3

a) Giải phương trình với m = −2

x +x − x x = m + m−

b Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn

1 2 3 1 2 2 | 3|

x +x − x x = m + m−

Xét phương trinh: x2 − 2x m+ − = 1 0 (*)

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 ⇔ ∆ > ⇔ − ′ 0 1 (m− > 1) 0

Với m <2 thi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

Áp dụng hệ thức Vi- ét ta có: 1 2

1 2

2 1

Vậy với m∈ −{ 3;1} thì thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 30:Tuyển sinh Thanh Hóa, năm học 2021 - 2022 Cho phương trình x2 − 2x m+ − = 1 0 (m là tham số ) Tìm các giá trị của m để phương trình có

Với m ≤2, theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2

1 2

2 (*)

Vậy m =2 là giá trị duy nhất cần tìm

Bài 31:Tuyển sinh Thừa Thiên Huế, năm học 2021 - 2022 Cho phương trình x2 − 3x m+ = 0 (1) (x là ẩn số)

a) Giải phương trình (1) khi m =2

=



 =

 Vậy với m =2 thì phương trình (1) có hai nghiệm x= 1,x= 2

m = thì phương trình (1) có nghiệm thỏa yêu cầu bài toán

Dạng 2: Kết hợp định lí Vi-ét để giải các nghiệm (Các nghiệm thỏa mãn một biểu thức không đối xứng)

Bước 3: Giải hệ x x1+ 2 và biểu thức đã cho để tìm x x1, 2 theo m

Bước 4: Thay x x1 , 2 vừa tìm được vào x x1 2 c

- Với x1= − ⇒ 3 x2 = 9 thay vào x x1 2 = + ⇒ = −m 3 m 30 (thỏa mãn)

- Với x1= ⇒ 2 x2 = 4 thay vào x x1 2 = + ⇒ =m 3 m 5 (thỏa mãn)

Cho phương trình x −(m− 3)x− = 5 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

Bài 8: Tuyển sinh Lào Cai, năm học 2020 - 2021 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x2 − 2(m− 1)x m+ 2 − = 6 0 có hai nghiệm

a) Giải phương trình khi m =2

c) Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để 2

Theo bài ra ta có 2 2 ( ) 2 ( )

x +mx x− = ⇔ x x x m+ − = ⇔x x x x x+ = ⇔ x x x x+ =( 1 2) 4 ( 1 2) ( 2)( 1 0) 2

Bài 10:Tuyển sinh Quảng Ninh, năm học 2020 - 2021 Cho phương trình x2 + 4x+ 3m− = 2 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = −1

c) Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x x1, 2 sao cho x1+ 2x2 = 1

∆ = − nên hai nghiệm của phương trình là x=(m+ ± 1) (m− ⇔ = 1) x 2,x= 2m

- Trường hợp 1: Xét x1 = 2;x2 = 2m thay vào x1 = − 3x2 ta được: 2 3.2 1( )

∆ = − nên hai nghiệm của phương trình là x= − ± 2 (a− 2)⇔ = −x a 4,x= −a

- Trường hợp 2: Xét x1= −a x; 2 = −a 4 thay vào x x1= 2 − 6 ta được:

Bài 4:

Cho phương trình x2 − 2mx m+ 2 − = 4 0 Tìm a để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 phân biệt thỏa mãn

- ax bx c2 + + = 0(a≠ 0) có hai nghiệm phân biệt x x ⇔ ∆ > ∆ >1 , 2 0 ' 0( )

Bước 2: Sử dụng x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình ax bx c2 + + = 0 nên

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 khi ∆ > ⇔ − > ⇔ < ' 0 2 m 0 m 2

Do x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình x2 − 2x m+ − = 1 0