Đs9 cđ6 phương trình bậc hai và hệ thức viet 2

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN, HỆ THỨC VIÉTI.. Định nghĩa:Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2bx c 0a0 2... Chú ý:Nếu ac  0 phương trình luôn có hai nghi

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN, HỆ THỨC VIÉT

I LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa:Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2bx c 0(a0)

2 Các bước giải phương trình bậc hai

- Xác định các hệ số a, b, c ( hoặc b’)

- Tính  b2 4ac hoặc  ' b'2ac rồi so sánh với 0

2 Tìm hai số khi biết tổng và tích

c) Muốn tìm hai số u và v, biết u v S uv P  ;  , ta giải phương trình X2 SX P  0

(Điều kiện để có u và v là S2  4P 0)

5 Phân tích đa thức thành nhân tử

Nếu ax bx c2    0a 0 có hai nghiệm là x x1, 2 thì 2   

1 2

ax bx c a x x x x    

c Chú ý:Nếu ac  0 phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu

II Hệ thống bài tập sử dụng trong chuyên đề

Chuyên Toán Quảng Ngãi Hải Dương 2012-2013

Chuyên Toán Hà Tĩnh

2014-2015

2 Tìm hai số khi biết tổng và tích

c) Muốn tìm hai số u và v, biết u v S uv P  ;  , ta giải phương trình X2 SX P  0

(Điều kiện để có u và v là S2  4P 0)

5 Phân tích đa thức thành nhân tử

Nếu ax bx c2    0a 0 có hai nghiệm là x x1, 2 thì 2   

1 2

ax bx c a x x x x    

B Các ứng dụng của định lí Viét

Ứng dụng 1: Tính giá trị biểu thức hai nghiệm

Bài toán:Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình ax bx c2    0. Tính giá trị của biểu thức

 1 , 2

P F x x

Cách giải:Để tính giá trị của P ta thường có hai cách sau:

Cách 1:Tính giá trị x x1, 2 rồi thay vào biểu thức để tính

Cách 2:Biểu diễn biểu thức F x x 1 , 2 qua tổng và tích hai nghiệm rồi sử dụng định lí Vi-ét

Để phân tích F x x 1 , 2 qua tổng và tích hai nghiệm, ta cần chú ý:

*) Chú ý 1: Biểu thức F a b , được gọi là đối xứng nếu F a b , F b a , mọi biểu thức đốixứng hai biến luôn biểu diễn được thông qua tổng và tích của hai biến đó

Một số biểu diễn cơ bản: Đặt S a b P ab  ,  , khi đó ta có:

a b  a b  ab S  P

+ a b  2  a b 2  4ab S 2 4P

Bài 1: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Lương Thế Vinh, năm học 2013 - 2014

Bài 2: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Lương Thế Vinh, năm học 2011 - 2012

Cho phương trình x2  5 1x  5 0  Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình trên (x x1 2).Tính giá trị của biểu thức Ax1  2x2  3

Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình x2   x 1 0. Không giải phương trình, chứng minhrằng P x 1 P x 2 với P x  3x 33x 25.

Bài 4:Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Lương Văn Tụy, năm học 2014 - 2015

Cho hai phương trình x bx c2    0 1  và x b x bc2  2   0 2  (trong đó x là ẩn, b và c là các

Cho phương trình x2  4x  3 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 Không giải phương trình hãy

Bài 6:Tuyển sinh Đồng Nai, năm học 2021 - 2022

- Phương trình (1) có hai nghiệm (có thể trùng nhau) cùng dấu 0

a) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

b) Có hai nghiệm cùng dương

Lời giải

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu P c m 2 0 m 2

a

      

Vậy m 2 là giá trị cần tìm.

b) Phương trình có hai nghiệm cùng dương ' 00

0

P S

a) x2  2m 1x m   1 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu

b) x2  8x 2m  6 0 có hai nghiệm phân biệt

c) x2  2m 1x m   1 0 có hai nghiệm phân biệt âm

d) x26x2m 1 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dương

e) x2  2m 1x m   1 0 có đúng một nghiệm dương

Lời giải

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  ac   0 m 1

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt   8 4 22  m6  0 m 5

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm  

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:

a) ac      3 m 0 m 3 có hai nghiệm trái dấu

b) ac      3 m 0 m 3 có hai nghiệm âm

c) ac      3 m 0 m 3 có hai nghiệm lớn hơn m

d) mx22m2x 3m20 có hai nghiệm cùng dấu

Lời giải

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu    1 m 2

b) Phương trình có hai nghiệm âm   02 3

  



m m

c) Phương trình có hai nghiệm lớn hơn m   m 1

d) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu    1 m 0

Bài 6: Tuyển sinh vào 10, Hải Phòng, năm học 2012 -2013

a Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

b Tìm m để pt (1) có ít nhất 1 nghiệm không dương

Lời giải

a)  (m2)2   0 m dpcm

b) Phương trình có ít nhất 1 nghiệm không dương nên ta có các trường hợp

+) Phương trình có hai nghiệm trái dấu      P m 1 0 m 1

Bài 7:Tuyển sinh vào 10, Chuyên Toán Long An, năm học 2012 -2013

phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 sao cho x1 x2 2

Lời giải Cách 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 4 0 1(*)

4

    m  mKhi đó:

Bài 8:Tuyển sinh Chuyên Toán Lương Văn Chánh, Phú Yên, năm học 2014 - 2015

Cho phương trình x3(2m1)x2(2m m2 2)x(2m23m2) 0 (m là tham số ) Tìm

Tìm m để phương trình (m2 1)x2 (2m21)x m 2 0 có hai nghiệm phân biệt

P

m m

Ứng dụng 3:Tìm tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho

trước

Dạng 1:Các nghiệm thỏa mãn một biểu thức đối xứng

Bài toán thường gặp: Tìm m để phương trình ax bx c2    0a 0 có hai nghiệm (phân biệt)

- ax bx c2    0a 0 có hai nghiệm phân biệtt x x     1 , 2 0 ' 0 

Bước 2: Biến đổi biểu thức đối xứng đối với x x1, 2 về tổng x x1 2 và tích x x1, 2

Bước 4: Giải ra tìm m và đối chiếu điều kiện

Bài 1: Tuyển Sinh vào 10 PTNK, Hồ Chí Minh, năm học 2013 - 2014Cho phương trình x3  4x x m   1 0 1 

1 2 82.

x x 

Lời giải

Đặt t x x t   0 , ta có phương trình t2     4t m 1 0 2 

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

Phương trình có hai nghiệm x x1, 2 khi  m2  12 0  (luôn đúng với mọi m)

Khi đó theo định lí Vi-ét ta có x x1 2 m x x, 1 2   3

1) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m

dài cạnh huyền bằng 5

Lời giải

1) ta có   (m 1) 2   0 phương trình luôn có nghiệm với mọi m

2 Ta tìm được hai nghiệm của phương trình là x1 3;x2  m 2

Yêu cầu của bài toán 12

Bài 4:Tuyển Sinh vào 10, Hà Nội, năm học 2012 - 2013Cho phương trình x2  (4m 1)x 3m2  2m 0 (m là tham số)

m

m m

Bài 5:Tuyển Sinh vào 10, Hà Nội, 30/06/2014

Cho phương trình: x2  2(3 m x)   4 m2  0(1) (m là tham số)

2) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn: x1  x2  6

Lời giải

2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt 2

1 , 2 ' 0 2 6 13 0

x x     m  m  (luôn đúng)Vậy phương trình luôn có hai nghiệm hai nghiệm phân biệt với mọi m

Bài 6: Tuyển Sinh vào 10, Bắc Ninh, 20/06/2014

Cho phương trình x2  2mx 2m  6 0(1) ( m là tham số)

Bài 7: Tuyển Sinh vào 10, Bắc Giang, 06/06/2017

Cho phương trình x2  (2m 5)x 2m  1 0(1) (m là tham số)

2

m

2) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt x x1, 2 sao cho biểu thức

Vậy m 2 là giá trị cần tìm.

Bài 9:

Cho phương trình x2  2m 3x 2m  1 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân

a) Giải phương trình  1 khi m 2

Bài 13:Tuyển Sinh vào 10, Hải Phòng 2020 - 2021Cho phương trình x2  2(m 1)x m 2   1 0 (1) (m là tham số).

Dấu “=” xảy ra m  1 (thỏa mãn)

Vậy m  1 thỏa mãn bài toán

Bài 14:Tuyển Sinh vào 10, Nam Định 2020 - 2021Cho phương trình x2  (2m 1)x m m 2   0 (m là tham số)

Bài 16:Tuyển Sinh vào 10, Thanh Hóa 2020 - 2021

nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn hệ thức

Để phương trình đã cho cso hai nghiệm phân biệt thì   0

Vậy m   5 5 2 thảo mãn bài toán

Bài 17:Tuyển sinh Bến Tre, năm học 2021 - 2022Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình: x2  2m 3x 6m  7 0 với m là tham số Tìm giá

            với mọi m thuộc 

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

Vậy C  min 344 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m 9

Bài 18:Tuyển sinh Bạc Liêu, năm học 2021 - 2022Cho phương trình x2 m 2x m   1 0 (1)

a) Giải phương trình với m 3

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi số thực m

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 ; 2 là độ dài hai cạnh góc vuông củamột tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là 2

5

h  Theo câu b) ta có:  m2

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giácvuông

m

m

m m

4 2

Cho phương trình x2  (m 2)x  8 0 (1), với m là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi m 4

1 1 2 1

lớn nhất

Lời giải

a) Giải phương trình (1) khi m 4

Thay m 4 vào phương trình (1) ta được: x2  2x  8 0

Ta có:       1 8 9 3 2  0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1

2

1 9 2

x x

    



    

Vậy phương trình có tập nghiệm S  { 4;2}

b) Phương trình (1) có:   (m 2) 32 0 2   m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phânbiệt x x1, 2

Khi đó theo Vi-ét ta có: 1 2

1 2

2 8

Vậy Q max 49 Dấu "=" xảy ra khi m 2

Vậy giá trị lớn nhất của Q bằng 49 khi m 2

Bài 20:Tuyển sinh Cao Bằng, năm học 2021 - 2022Cho phương trình m m2   1x2 m2  2m 2x  1 0 (m là tham số) Giả sử x1và x2 là cácnghiệm của phương trình trên Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức S x x 1 2

Phương trình (1) có hai nghiệm x x1; 2 khi và chỉ khi   0

3

S S

3 khi m  2, giá trị lớn nhất của S là 2 khi m 0

Bài 21:Tuyển sinh Đà nẵng, năm học 2021 - 2022Cho phương trình x2  4(m 1) 12 0 (*)x  , với m là tham số

a) Giải phương trình (*) khi m 2

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (*) có hai nghiệm x x1 , 2 thỏa mãn điều

4 x  2 4 mx  x x x x   8

Lời giải

a) Thay m 2 vào phương trình (*), ta có: x2  4(2 1) 12 0  x   x2  4 12 0x 

Ta có:   ' 2 12 16 4 2    2  0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 2 4 2

2 4 6

x x

   



     

Vậy với m 2 thì tập nghiệm của phương trình (*) là S {2;6}

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa

Bài 22:Tuyển sinh Hà Tĩnh, năm học 2021 - 2022Cho phương trình x2  2(m 1)  x m 2  0 (m là tham số)

a) Giải phương trình với m 1

b) Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn 2 2

1 2 6 4 1 2

x x   x x

Lời giải

a) Với m 1, phương trình đã cho trở thành x2  4 1 0x 

Ta có    2 1 3 0 2    nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1

2

2 3

2 3

b x

a b x

Vậy khi m 1 tập nghiệm của phương trình là S  {2 3}

b) Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x x1, 2 thóa mãn: 2 2

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn là m 5

Bài 23:Tuyển sinh Hải Phòng, năm học 2021 - 2022Cho phương trình x2  2(m 1)x m 2   2 0 (x là tham số, m là tham số)

a) Giải phuơng trình (1) khi m 1

m  là thỏa mãn bài toán

Bài 24:Tuyển sinh Nam Định, năm học 2021 - 2022

Cho phương trình x2  2m 1x m 2  2m 0 (với m là tham số) Tìm tất cả các giá trị của m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1; 2(với x x1 2) thỏa mãn: x1  3 x2

1 2

P x x đạtgiá trị nhỏ nhất

Ta có a b c    1 -3 2 0   nên phương trình có hai nghiệm x1 1,x2  2

b) Chứng minh rằng phương trình  1 luôn có nghiệm với mọi m

Vậy phương trình  1 luôn có nghiệm với mọi m.

c) Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình  1 theo định lý Vi-ét ta có 1 2

2

P  x  x  x x   2 x x m  2 m  1 m  2m   1 1 m 1  1 1  m

Dấu " "  xảy ra khi m   1 0 m 1

Vậy với m 1 thì P đạt giá trị nhỏ nhất là 1.

Bài 26:Tuyển sinh Quảng Bình, năm học 2021 - 2022Cho phương trình x2  6x m   4 0 1  (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m 1

Vậy khi m 1 thì tập nghiệm của phương trình là S {1;5}

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn

Bài 27:Tuyển sinh Quảng Trị, năm học 2021 - 2022Cho phương trình ẩn x: x2  2(m 2)x m 2   7 0

4

m  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Gọi x x1, 2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình Tìm m để 2 2

Ta có a b c    1 16 17 0  

nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1( )

17( )

m tm c

a) Giải phương trình với m  2

b Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn

1 2 3 1 2 2 | 3|

x x  x x  m  m

Xét phương trinh: x2  2x m   1 0 (*)

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2       0 1 (m  1) 0

Với m 2 thi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2

Áp dụng hệ thức Vi- ét ta có: 1 2

1 2

2 1

Vậy với m { 3;1} thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 30:Tuyển sinh Thanh Hóa, năm học 2021 - 2022Cho phương trình x2  2x m   1 0 (m là tham số ) Tìm các giá trị của m để phương trình có

1 1 2 2

x x x x

Lời giải

Ta có    , 2 m

Phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 khi và chỉ khi     , 0 m 2

Với m 2, theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2

1 2

2 (*)

Vậy m 2 là giá trị duy nhất cần tìm

Bài 31:Tuyển sinh Thừa Thiên Huế, năm học 2021 - 2022Cho phương trình x2  3x m  0 (1) (x là ẩn số)

a) Giải phương trình (1) khi m 2

c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x x, thỏa mãn x x3 x x 3  2x x2 2  5

m  thì phương trình (1) có nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.

Dạng 2:Kết hợp định lí Vi-ét để giải các nghiệm(Các nghiệm thỏa mãn một biểu thức không đối xứng)

Bước 4: Thay x x1, 2 vừa tìm được vào x x1 2 c

- Với x1   3 x2  9 thay vào x x1 2     m 3 m 30 (thỏa mãn)

- Với x1  2 x2  4 thay vào x x1 2    m 3 m 5 (thỏa mãn)

m  thảo mãn điều kiện bài toán.

Bài 8: Tuyển sinh Lào Cai, năm học 2020 - 2021Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x2  2m 1x m 2   6 0 có hai nghiệm

Bài 10:Tuyển sinh Quảng Ninh, năm học 2020 - 2021Cho phương trình x2  4x 3m  2 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m  1

c) Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x x1 , 2 sao cho x1  2x2  1

Lời giải

c) Ta có   2 

' 2 3m 2 6 3m

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt      ' 0 6 3m   0 m 2

Bài 11:Tuyển sinh Gia Lai, năm học 2021 - 2022

cho có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x1 3x2  6

3

m 

Dạng 3: Giải các nghiệm dựa vào   , ' là bình phương

   nên hai nghiệm của phương trình là xm  1 m   1 x 2,x 2m

- Trường hợp 1:Xét x1  2;x2  2m thay vào x1   3x2 ta được: 2 3.2 1 

   nên hai nghiệm của phương trình là x   2 a 2  x a 4,x a

- Trường hợp 1: Xét x a1   4;x2  a thay vào 2

2 2

- ax bx c2    0a 0 có hai nghiệm phân biệt x x     1 , 2 0 ' 0 

Bước 2:Sử dụng x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình ax bx c2    0 nên

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 khi        ' 0 2 m 0 m 2

Do x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình x2  2x m   1 0

Cho phương trình x2  2mx 2m  1 0 Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

1) Giải phương trình (1) khi m = 2

Biết rằng x2  19x  7 0 có hai nghiệm x x1, 2 Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu

BÀI TOÁN TRONG CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH

Bài 1: Bắc Ninh, năm 2012 - 2013Cho phương trình: mx2  (4m 2)x 3m  2 0(1) ( m là tham số)

1) Giải phương trình (1) khi m = 2

2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

3) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có các nghiệm là nghiệm nguyên

Lời giải

1 Thay m = 2 vào phương trình, ta có:

Ta thấy: 1 – 3 +2 = 0 nên pt có 2 nghiệm: x1  0; x2  2

        hay m là ước của 2 m = {-2; -1; 1; 2}

Kết luận: Với m = {  1; 2;0} thì pt có nghiệm nguyên

Bài 2:Bắc Ninh, 17/07/2015Cho phương trình: x2  2mx 2m 10 0(1)  ( m là tham số)

1) Giải phương trình (1) khi m = -3

2) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 sao cho 2x x1 2   4

2) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1

Cho phương trình x2  (2m 1)x 2m  4 0( : )x an (m là tham số)